《用函数观点看一元二次方程》教案2 人教版

《用函数观点看一元二次方程》教案

第课时

教学目标 1、 知识与技能

理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。 2、 过程与方法

逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。 3、 情感、态度与价值观

培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。 教学重点难点 1、 重点

探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与轴交点情况。 2、 难点

函数?方程?轴交点，三者之间的关系的理解与运用。 教与学互动设计

（一） 创设情境，导入新课

导语一：出示二次函数的图象，如图26-2-1所示，根据图象回答：、为何值时，？ [答案]或

、你能根据图象，求方程的根吗？ 、函数与方程之间有何关系呢？

导语二：、回忆：一次函数与一次方程有何关系？

、联想：二次函数与二次方程结构上有哪些相同呢？它们之间有哪些关系？ 导语三：选教材提出的问题，直接引入新课。 （二） 合作交流，解读探究

1、 二次函数与一元二次方程之间的关系

[探究]（）教材问题：如图26-2-2，以40m的速度将小球沿与地面成°角的方向击出时，球的

飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系：.

考虑以下问题：

（1） 球的飞行高度能否达到？如能，需要多少飞行时间？ （2） 球的飞行高度能否达到？如能，需要多少飞行时间？ （3） 球的飞行高度能否达到？为什么？ （4） 球从飞出到落地需要多少时间？ 学生交流各自愿 求解方法与结论。

[归纳]二次函数与一元二次方程有如下关系；、函数，当函数值为某一确定值时，对应自变量的值就是方程的根。

2、 特别是时，对应的自变量的值就是方程的根。 以上关系，反过来也成立。

[议一议]利用以上关系，可以解决什么问题？

解：利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。 、二次函数的图象与轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 [议一议]观察图26-2-3中的抛物线与轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ （1） 方程的根是， . （2） 方程的根是。 （3） 方程无实数根。

[归纳]一般地，从二次函数的图象可知：

（1） 如果抛物线与轴有公共点（，），那么就是

方程的一个根。

（2） 抛物线与轴的三种位置关系：没有公共点，

有一个公共点，有两个公共点。这对应着一

元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

（三） 应用迁移，巩固提高（见《全品新学案》“整合拓展创新”） 类型之一：根据二次函数图象看一元二次方程的根 例：（原创题）如图26-2-4所示，你能直观看出哪些方程的根？

解：根据图26-2-4所示的图象知： 方程的根为 。 方程的两根为， 。 方程的两根为， 。

[点评]此题充分展示了二次函数与一元二次方程的关系，即函数中，为某一确定值（如，，）时，相应值是方程(，，)的根。

变式题：已知：抛物线如图26-2-5所示，则关于的方程的根的情况是 （ ）

、有两个不相等的正实根 、有两个异号实根 、有两个相等的实根 、没有实数根 [解析]利用二次函数与二次方程之间的关系来判断。 解法一：根据图象知：方程的根是 。∴方程的 。 [点评]此题的解法较多，但以上解法最简单。

4ac?b2?3? ， 解法二：根据图象知

4a又∵方程中，△() ，∴△，方程有两个相等的实数根。 [答案]

类型之二：根据抛物线与轴的交点情况求特定系数的范围。 例：已知二次函数()的图象与轴交于两点，求的取值范围。 [解析] ∵此函数的图象与轴交于两点。∴方程()有两个不同的根。 ∴△一定大于，故可求的取值范围。

解：根据题意知△>，即[（）]××（）>，解得>?9. 8[点评]根据交点的个数来确定△的正、负是解题关键，故要熟悉它们之间的对应关系。 类型之三：根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与轴的交点情况

例：已知抛物线()。

（1） 求证：此抛物线与轴有两个不同的交点。 （2） 当，求此抛物线与坐标轴的交点坐标。 [解析]（）证明方程()有两个不相等的实数根即可。 （）通过解方程，求值即可。 解：（）∵△（）()>，

∴方程()有两个不相等的实数根 ∴抛物线与轴总有两个不同的交点。 （）当时，原抛物线.

由，得. 由，得 ， 。

∴此抛物线与轴的交点坐标为（，），与轴的交点坐标为（，），（，）。

??二次方程的根的情况????与轴交点的个数。 [点评]（）注意利用△值??（）了解抛物线与坐标轴交点的求法。 （四）总结反思，拓展升华

[总结]本节课所学知识：（）二次函数（≠）与二次方程之间的关系。当为某一确定值时，相应的自变量的值就是方程的根。

（）若抛物线与轴的交点为（，），则是方程的根。 （）有下列对应关系：

二次函数（≠）的图象与轴的位置关系 有两个公共点 只有一个公共点 无公共点 一元二次方程 （≠）根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 △值 △> △ △< 判断判断本节课所用的方法：分类讨论与数形结合的思想方法。

[反思]在判断抛物线与轴交点情况时，和抛物线中二次项系数的正负性有元关系？ [答案]没有关系。它只和△有关。只要满足（≠）就行。 [拓展]（见《全品新学案》例）图26-2-6是二次函数的图象，根据图象回答：方程的解是什么？

（1） 取什么值时，>？ （）取什么值时， 解：根据图象知：

（1） 方程的解为，. （2） < 或>时，>. （3） <时，<.

(五)当堂检测反馈（见《全品新学案》“当堂检测反馈”） 、已知：抛物线，它与轴的交点坐标为1?[解析]解方程得1?、已知方程的两根是

?2,0,1?2,0。

???2

57，，则二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为。 225[解析]根据题意知抛物线与轴的两个交点坐标为（，），（，）。

257∴这两个交点间的距离为（）。

22、抛物线与轴交点的个数为 （） 、个 、个 、个 、以上都不对 [解析]△（）×（）×> ∴抛物线与轴有两个不同的交点。

3、 原创题：图26-2-7是二次函数 的图象，根据图象知：

方程根的情况是有两个相等的实数根。 [解析]方程的两实根相等。

、抛物线 的一部分图象如图26-2-8所示。那么，该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标为 （）

1，） 、（，） 、（，） 、（，） 22a[解析] ∵???1， ∴此抛物线的对称轴为.

2a、（

又∵两交点关于对称轴对称。 ∴另一交点坐标必为（，）。

、求下列函数图象与轴交点的坐标，交作草图验证。

125x?x?1 （）y?2x2?4x? 2212解：（）由x?x?1?0，得<。∴抛物线与轴无交点。图略。

25512（3） 由2x?4x??0，得x1?,x2??，

222（）y?∴抛物线与轴交点的坐标为（

51，）和（?，） 22

、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。、你心里最崇拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。、你今天必须做别人不愿做的事，好让你明天可以拥有别人不能拥有的东西。、不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的得心应手了，大事自然水到渠成。、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。、别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给时间来定夺。、运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。13、你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。15、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上，就没有到不了的地方。16、你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。17、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。

∴抛物线与轴交点的坐标为（

51，）和（?，） 22

、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。、你心里最崇拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。、你今天必须做别人不愿做的事，好让你明天可以拥有别人不能拥有的东西。、不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的得心应手了，大事自然水到渠成。、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。、别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给时间来定夺。、运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。13、你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。15、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上，就没有到不了的地方。16、你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。17、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。

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