应用概率

第10章 应用概率

奥运会开幕当天主会场是否会受到降雨的影响？保险公司推出的最新险种能否确保赢而不亏？投资者购买的股票能否确保涨而不跌？盈亏涨跌，起起伏伏，瞬息万变，一切似乎都是偶然，其实偶然中蕴含了必然的科学规律．概率理论就是通过偶然事件探寻内在必然规律、应用数学语言描述随机事件、计算事件发生可能性大小、寻找现象之间的各种联系．运用概率知识能够科学理性地度量和控制风险、预测和把握商机，合理地做出经济决策．

学习目标要求

1．理解随机现象、随机试验和随机事件的概念；掌握事件的运算和运算法则；理解事件的关系．

2．了解古典概型的定义，会计算简单的古典概型中的相关概率．

3．理解概率的定义，掌握概率的基本性质，会用这些性质进行概率的基本运算． 4．理解条件概率的概念．会用条件概率公式和乘法公式进行概率计算． 5．掌握全概率公式和贝叶斯公式，会用它们进行概率计算．

6．理解事件独立性的定义及充分必要条件，理解对立、互不相容与相互独立三者的关系．

7．理解n重贝努利试验的定义，掌握贝努利概型的概率计算公式．

8．理解随机变量的概念，掌握分布函数的概念及性质，会用分布函数求概率． 9．理解离散型随机变量及其分布函数的概念与性质，会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数．

10．掌握3个常用的离散型概率分布，会计算这些分布的相关概率．

11．理解连续型随机变量及其概率密度的函数，掌握概率密度的性质，清楚概率密度与分布函数的关系，会用概率密度求分布函数，也会用分布函数求概率密度．

12．掌握均匀分布和指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表，能熟练掌握正态分布的概率计算．

13．会求离散型随机变量简单函数的分布律．

14．理解数学期望的定义，熟记期望的性质，掌握随机变量期望的计算 15．理解方差、标准差的定义，熟记方差的性质，熟练掌握方差的计算．

10．1 随机事件与样本空间

某君是个七位数传统体育彩票爱好者，每次经过体育彩票售票站就有一种购买的冲动． 而且该君悉心研究彩票中奖规律，经常归纳近期彩票七位数中奖号码的数字特点，描述数字变化趋势．某日，该君又花2元钱买了一注七位数传统体彩，结果喜从天降，该君中了该期仅有的一个特等奖．同学们，你如何看待买彩票这种现象？你能算出一注彩票中特等奖的可能性大小码？

283

10．1．1 随机试验与随机事件

在一定条件下，事先就能断定结果发生或不发生的现象称为确定性现象；具有多种可能发生的结果，但事先不能断定出现哪种结果的现象称为随机现象．

要对随机现象的规律性进行研究，就需要对随机现象进行观察或重复试验．对随机现象的观察或试验称为随机试验．例如游戏中的掷飞镖就是很典型的随机试验．每一次投掷都可能出现中靶和脱靶中的一种，在中靶的情况下事前也不知道确切的环数．

随机试验的每一可能发生的结果称为随机事件，简称事件，通常用大写字母A,B,C等表示．

在随机事件中，我们把最简单的、不能再分解的随机事件称为基本事件．由两个或两个以上基本事件组合而成的事件称为复合事件．

在试验中必然会发生的事件称为必然事件，用符号?表示；在试验中必然不发生的事件称为不可能事件，用符号?表示．必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端情况．

例如，打靶练习中脱靶记为“0环”， 在一次射击的随机试验中，观察其出现的环数．“0环”，“1环”，“2环”，?“10环”分别是十一个基本事件；事件“不小于8环” 是一个复合事件，它是由“8环”“9环”“10环”这三个基本事件组合而成的；事件“环数小于10”是必然事件；事件“环数为12”则是不可能事件．

10．1．2．样本空间与事件的集合表示

一个随机试验的所有基本事件构成的集合称为该随机试验的样本空间，仍用?表示．样本空间中的每一个基本事件又称为一个样本点．

事实上，样本空间也可以看作是一个事件，其构成表明它等同于必然事件．由于任一事件实际上都是基本事件的集合，因而从集合论的观点来看，所有的随机事件都是样本空间的子集．

样本空间的构成按照所含基本事件的数目，可以划分为有限样本空间和无限样本空间，无限样本空间又可以分为无限可列和无限不可列两种．

例如，射击一次，以0，1、2、3、?10对应于不同环数的基本事件，则样本空间??{0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9,10}，事件A=“不大于3环”可表示为A={0,1,2,3}．

又如，观察某门户网站在一天内被登陆的次数，以0，1，2，?对应于登陆不同次数的事件，则样本空间??{0，1，2，3，?}，这里样本点有无穷多个．事件B=“登陆次数为奇数”可表示为B={1，3，5，?}．

再如，测试一个开关的寿命，样本空间??{t0?t???}，这里样本点有无穷不可列个．复合事件C=“开关寿命超过5000次”可表示为C??n5000?n????

10．1．3 事件的关系与运算

284

在下面的讨论中我们假定样本空间?已经事先给定，且所涉及的事件是指同一试验的事件，即每个事件都是?的子集．

1．事件的包含与相等

事件A包含于事件B，或称事件B包含事件A，记作A?B或B?A，即A中的任何样本点都属于B，其涵义是事件A发生必然导致事件B发生．事件A与事件B相等，记作A?B，指的是A?B且B?A．

2．事件的和（并）

两个事件A与B的并，即“A或B” 这一事件，又叫做事件A与B的和，记作A?B或A?B，A?B包含A与B中的所有样本点，其涵义是A,B中至少有一个发生．

事件的并可以推广到多个或无穷多个的情况．多个事件A1,A2,?,An的和（并）简记为

nA1?A2???An??i?1nAi 或 A1?A2???An??Ai．

i?1无穷可列个事件A1,A2,?,An,?的和（并）简记为

?A1?A2???An????i?1?Ai 或 A1?A2???An????Ai．

i?13．事件的积（交）

两个事件A与B的交，即“A且B” 这一事件，又叫做事件A与B的积，记作A?B或AB，AB所含的样本点是A与B的公共样本点，其涵义是A,B同时发生．

事件的积也可以推广到多个或无穷可列个的情况，分别简记为

nn??A1A2?An??i?1Ai??Ai 或

i?1A1A2?An???Ai??Ai．

i?1i?14．事件的差

事件A与B的差记作A?B，其涵义是事件A发生而事件B不发生，A?B所含的样本点是A所含的样本点去掉B所含的样本点．

5．互不相容事件（互斥事件）

如果事件A与B不能同时发生，即AB??，则称事件A与B互不相容，又称为事件A与B互斥．互不相容的两个事件没有公共的样本点．显然，基本事件之间是互不相容的．

6．对立事件（互逆事件）

事件“非A”称为事件A的对立事件，或称为事件A的逆事件，记作A．A所含的是样本空间中所有不属于A的样本点，即A?A??，AA??．

互逆事件一定互斥，反之不成立．

285

7．完备事件组

如果事件A1,A2,?,An为两两互不相容的事件，即AiAj??(1?i?j?n)，并且

A1?A2??An??，则称A1,A2,?,An构成一个完备事件组．

随机试验的一个完备事件组，相当于按照某一要求将样本空间中的所有基本事件划分为几类，每一类由若干基本事件组成．显然，事件A与A是一个完备事件组，所有基本事件也构成一个完备事件组．

事件的运算即集合的运算，满足交换律、结合律、分配律等各项运算律． 这里读者可自行验证如下各组等式都是成立的： (1)AA??; (2) A?A?? (3)A?A; (4) A?B?AB (5) A?AB?AB (6) A?B?A?AB (7) A?B?AB; (8) AB?A?B

其中(5),(6)两等式就是众所周知的集合论中的交并对偶法则，这一法则对于三个或 更多个事件也同样成立，如

A?B?C?ABC，ABC?A?B?C，

用文字表述为“和之逆等于逆之积，积之逆等于逆之和”．这在集合运算和后面的概率计算中有很多的应用，又称为德·摩根律．

例1 某人射击3次，以Ai表示第i次击中目标（i?1,2,3），试用Ai表示下列事件：（1）三次都击中目标；（2）至少击中目标一次；（3）至多击中目标2次；（4）一次都没有击中目标

解 （1）A1A2A3；（2）A1?A2?A3；（3）A1A2A3?A1?A2?A3；

（4）A1A2A3?A1?A2?A3．

例2 幼儿园某班级共有20名学生，其中男生12人，女生8人，现从中任意抽取5名学生，设Ai={抽取的学生中有i名男生}．

(1) 用Ai表示事件A={抽取的学生中至多有3名男生} (2) 事件B?A1?A2?A3表示什么事件？ (3) 事件C?A1A2A3表示什么事件？ (4) 判断所有事件Ai能否构成完备事件组？ 解 i的可能取值为0,1,2,3,4,5

(1) A?A0?A1?A2?A3或者A?A4?A5；

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(2) B表示事件{至少有1个，至多有3个男生}； (3) C表示事件{至少抽到4个男生或者没有抽到男生}；

(4) 显然A0,A1,A2,A3,A4,A5两两互不相容，同时A0?A1?A2?A3??， 因此，A0,A1,A2,A3,A4,A5构成完备事件组． 同步训练

写出下列各随机试验的样本空间：

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；

(2)一个口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任选4只，观察它们具有哪几种颜色．

同步练习10．1

1．同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和，请写出样本空间?． 2．同时抛掷两枚面值不同的硬币，观察朝上正反面情况，请写出样本空间?． 3．某人进行一次投掷飞镖（10环靶）试验，观察其命中环数，写出样本空间?，并指出A={至少命中8环}所含基本事件．

4．抽查一批产品，设事件A表示“至少有2件是不合格品”，B表示“有4件不合格品”，C表示“至多有1件不合格品”，试分析事件A,B,C之间的关系．

5．在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示“西方经济学书”，B表示“中文版书”，

C表示“精装书”，试说明下列事件：（1）ABC；（2）(A?B)C；（3）(AB)?(AB)．

6．某射手射击目标4次，设Ai={第i次击中目标}（i?1,2,3,4），试说明下列事件：

(1) A1?A2?A3?A4；(2)A1A2A3A4 ；(3)A1?A2?A3?A4． 7．已知A,B,C为一次试验中的三个事件，试用A,B,C表示下面的事件：

(1) A、B发生， C不发生； (2) A,B,C至少有一个不发生； (3) A,B,C恰好有一个发生； （4）A,B,C至多有一个发生．

10．2 随机事件的概率

随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，结果往往事先无法预言．但是在做大量重复试验时，其发生可能性的大小是客观存在的，是事件本身的固有属性．概率是随机事件发生可能性大小的度量，事件A的概率表示为P(A)．这样，较大的概率P(A)预示着相应

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事件发生的可能性较大．反之，则发生的可能较小．

在不同类型的概率问题中，概率的计算方法有所不同． 10．2．1 概率的古典定义

具有下列两个特征的随机试验称为古典型随机试验，简称为古典概型： （1）有限性：所有的基本事件只有有限个；

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性都相等．

例如，抛硬币、掷骰子、或在一副扑克牌中任意抽取一张，这些随机试验都符合古典概型的特征．

如果古典概型的样本空间?中含有n个基本事件，事件A中含有m个基本事件，则事件A的概率为：

P(A)?A含基本事件个数?中基本事件总数=

A含的点数?含的点数?mn．

例1 某班级的30名学生分成3组，每组10人，从中任意抽出3人代表班级参加计算机与软件学院组织的网页设计比赛，试求下列事件的概率：

(1)被抽到的3名学生来自第1组； (2) 被抽到的3名学生来自同一组； (3) 被抽到的3名学生来自不同组；

解 设事件A,B,C依次表示题设中的3个事件，由于它们有相同的前提条件， 所以

3概率计算中的基本事件总数是一样的，即n?C30．

3(1) 事件A包括的基本事件数mA?C10，故事件A的概率为

P(A)?C10C3303?6203

3(2) 事件B包括的基本事件数mB?C10，故事件B的概率为

P(B)?3C10C3033?18203

3(3) 事件C包括的基本事件数mC?C10，故事件C的概率为

P(C)?(C10)C33013?6203

例2 一个口袋中装有大小相同的5个白球、4个黑球，从中任取2球．（1）事件A为“取到的都是黑球”，求P(A)；（2）事件B为“至少取到一个白球”，求P(B)．

解 从9个球中取出2个，基本事件的总数为 n?C9．

20(1) 事件A包含的基本事件个数为 mA?C4C5，因此

2 288

P(A)?mAn?C4C5C2920?4?32?1?1?9?82?1?16；

1120220(2) 事件B包含的基本事件个数为mB?C5C4?C5C4或mB?C9?C4C5，因此

P(B)?mBn?C9?C4C5C29220?1?mAn?1?16?56．

这里，事件A和B正好是对立事件，故P(A)?P(B)?1． 10．2．2 概率的统计定义

古典概型要求基本事件具有等可能性以及其他限制性条件，其局限性是显而易见的．所以人们就转而考虑建立在大量重复试验基础上的统计解释．

一般地，在相同条件下的N次重复随机试验中，事件A发生的次数M称为事件A发生的频数，比值

MN称为事件A发生的频率．随着试验次数N的增加，事件A发生的频率

会稳定在某个常数p附近摆动，称p为事件A发生的概率，记作P(A)?p．这就是概率的统计定义．历史上有名的掷硬币试验形象地解释了概率的统计定义．

这里要注意频率与概率的区别．频率是试验值，只能近似地反映事件发生的可能性大小，可以得到多个不同值；而概率是一个理论值，它是由事件本身的性质决定的，只能取唯一值．

在实际应用中，事件的概率很难准确求得，通常用大量试验的频率或一系列频率的平均值来近似代替概率．很多概率值都是这样得到的，如某地一月份的降雪概率，某地段发生交通事故的概率，某果园生产的苹果是优等品的概率等等，就是通过大量以往的统计资料加以确定．

概率的运算性质

在概率的发展过程中，古典概型、统计概型等针对不同类型的问题给出了概率的概念并得到了应用．无论何种概率模型都具有下列共同的属性：

(1) 有界性 对于任意事件A，0?P(A)?1；

(2) 规范性 对于必然事件?和不可能事件?，P(?)?1，P(?)?0； (3) 单调性 对于任意两个事件A和B，若A?B，则P(A)?P(B)； (4) 互补性 对于任意事件A，P(A)?1?P(A)； (5) 可加性 对于任意两个事件A和B，

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)；

若A和B是互不相容事件，则

P(A?B)?P(A)?P(B)；

可加性的更一般形式是：若A1,A2,?,An,?为两两互不相容事件，则

289

???P??Ai???i?1???P(A)．

ii?1例如 P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 这些公式统称为概率的加法公式．

例3 有甲、乙两个射手，甲击中目标（事件A）的概率为0．6，乙击中目标（事件B）的概率为0．7．求

（1）当甲、乙同时击中目标的概率为0．5时，目标被击中的概率； （2）当目标肯定被击中时，甲、乙同时击中目标的概率． 解 根据题意有 P(A)?0.6，P(B)?0.7．

（1）目标被击中即事件A?B发生，已知P(AB)?0.5，于是

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.7?0.5?0.8；

（2）此时P(A?B)?1，于是

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.6?0.7?1?0.3．

例4 在100件产品中有3件次品，现从中一次抽取4件，求其中有次品的概率． 解 设事件A表示在取到的4件产品中有次品，则

P(A)?C97C10044?97?96?95?94/4!100?99?98?97/4!?0.8836

于是 P(A)?1?P(A)?1?0.8836?0.1164．

利用概率的运算性质进行相关的计算，关键在于明确各事件之间的关系． 同步训练

从5双不同号码的鞋子中任选4只，求4只鞋子中至多有2只配成一双的概率？

同步练习10．2

1．从某鱼塘里取100条鱼，做上记号后再放入该鱼塘中．现从该鱼塘里任意捕来30条鱼，发现其中5条有记号，问鱼塘内大约有多少条鱼？

2．房间内有4个人，问至少一个人的生日是5月份的概率是多少？至少两个人的生日是同一个月的概率是多少？

3．某产品有一等品、二等品、三等品和废品四种，若一等品率为0．6，二等品率为0．2，三等品率为0．15，求产品的合格率和废品率．

4．学校开设文学欣赏和影视天地选修课．调查结果表明，有40%的学生选修文学欣赏课，有50%的学生选修影视天地课，两类课都选的学生有20%．求共有百分之多少的学生

290

参加了选修课学习．

10．3 条件概率与全概率公式

10．3．1 条件概率

前面讨论只涉及到一个事件的概率的计算，而在实际问题中还需要考虑在“已知事件发生”这一前提下事件发生的概率．一般说来，“事件A的概率”“事件B发生前提下事件A发生的概率”，两者不一定相同．

例1 经济管理学院有学生1000人，其中男女学生各占一半，男女同学获得本年度黄炎培奖学金的人数分别为5人与3人．从中任选一名学生，试问：

(1)该生获得黄炎培奖学金的概率是多少？

(2)已知选出的是男生，他获得黄炎培奖学金的概率是多少？

解 设A表示“选出的学生为黄炎培奖学金获得者”，B表示“选出的学生为男生”， 按照古典概型的计算方法可得 (1) P(A)?81000?2250; (2) P(AB)?3500．

P(A)?P(AB),一般情况下，显然，另外P(AB)与P(AB)P(A)与P(AB)是不同的，

也不相同，P(AB)是A发生且B发生，即A与B同时发生的概率，在本例中AB表示“选 出的学生是男学生而且获得黄炎培奖学金”，则P(AB)?P(AB)又有着密切的联系，进一步计算可得

P(AB)?3500?3/10001/2?P(AB)P(B)31000?P(AB)．但是P(AB)与

．

这一关系式是从本例得出的，但它具有普遍意义．例如考虑古典概型，设样本空间?包含的基本事件总数为n，事件B包含的基本事件数为nB，事件AB所包含的基本事件为nAB，则有

P(AB)?nABnB?nAB/nnB/n?P(AB)P(B)． P(AB)P(B)定义10．1 对于事件A,B，且P(B)?0，则称P(AB)?下事件A的条件概率，记作 P(A|B)．

为事件B发生前提

条件概率揭示了条件概率与事件概率三者之间的关系．显然当P(A)?0时，P(BA)?P(AB)P(A)．

例2 已知袋中有8个大小相同的球，其中5个红球3个白球．现在从袋中连续不放回

291

地取两次球，每次取一个，若已知第一次取得白球，求第二次取得红黑球的概率．

解 设A={第一次取得白球}，B={第二次取得红球}

直接计算．因为第一次取走了一个白球，袋中只剩下7个球，其中5个是红球，从中再任取一个，取得红球的概率为P(BA)?57．

例3 某工厂的全部产品中有 8%是废品、有23%为一等品，现从中任取一件为合格品，求它是一等品的概率．

解 设A表示“任取一件为合格品”，B表示“任取一件为一等品”，P(A)?8%，

P(AB)?P(B)?23%，则所求概率为P(BA)?P(AB)P(A)?23?%?0.25．

10．3．2 乘法公式 将条件概率公式变形可得

P(AB)?P(B)P(A|B) (P(B)?0．)

将A,B互换位置，又得

P(AB)?P(A)P(B|A) (P(A)?0．)

这两个公式称为概率的乘法公式．

概率的乘法公式可以推广到多个事件的情形，例如

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．

例4 设P(A)?0.6,P(B)?0.5，P(BA)?0.25,求P(AB)． 解 P(AB)?P(A)P(BA)?0.6?0.25?0.15,P(AB)?P(AB)P(B)?0.150.5?0.3．

例5 设20件产品中有5件不合格品，用下面的方法抽取时，求抽得2件都是合格品的概率．（1）不放回地顺序抽取；（2）有放回地顺序抽取．

解 设Ai={第i次抽得合格品}（i?1,2），则A1A2?{两次都取得合格品}． （1）P(A1)?因此

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?15201520?1419?0.5526．

15201520，第二次面对19件产品，其中14件合格品，故P(A2|A1)?1419，

（2）P(A1)?因此

，第二次面对20件产品，其中15件合格品，故P(A2|A1)?，

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?

1520?1520?0.5625．

292

例6 一个筐子中有8只乒乓球，其中5只红球，3只白球．连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到白球的概率．

解 设Ai={第i次取到红球}（i?1,2,3），则 P(A1)?58，P(A2A1)?P(A1A2)P(A1)?47, P(A3A1A2)?36?12，

于是由乘法公式得到所求概率为

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3A1A2)?10．3．3 事件的独立性

条件概率反映了某一事件B的发生对另一事件A发生所产生的影响，一般来说，

P(A)?P(A|B)，但在某些情况下，事件B发生与否对事件A发生的概率没有影响，这时P(A)?P(A|B)．

58?47?12?528．

一般地，如果两个事件A和B，其中任何一个事件是否发生都不影响另一个事件发生的概率，则称事件A和B相互独立．

事件A和B相互独立，意味着P(A)?P(A|B)，P(B)?P(B|A)，因此

P(AB)?P(A)P(B)．

显然，如果事件A与B相互独立，则事件A与B，A与B，A与B也是相互独立的．读者可以自行证明．

两个事件的独立性可以推广到多个事件的独立性，即多个事件的发生彼此互不影响．当事件A1,A2,?,An相互独立时，根据乘法公式有

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)．

这是独立条件下的乘法公式．在实际问题中，我们可以根据具体情况去判断事件之间是否相互影响．例如各人在互不干扰下的破译密码，各人在互不传染时生病，有放回情况下的抽样等．

例7 两人独立地破译一组密码，他们能译出的概率分别是0．5、0．6，求此密码能译出的概率．

解 用A1，A2分别表示两人译出密码的事件，A1?A2表示“密码被译出”，则有P(A1)?0.5，P(A2)?0.6，密码译出即事件A1?A2发生．A1,A2显然相互独立．

P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?0.5?0.6?0.3?0.8．

方法二 两人均不能译出的概率为P(A1A2)?P(A1)P(A2)?(1?0.5)(1?0.6)?0.2 A1?A2和A1A2互为逆事件，所以密码被译出的概率为

293

P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.2?0.8．

当相互独立的事件较多时，求事件之和的概率用方法二更加方便．

例8 袋中有5只红球和3只白球，从中有放回地连续取两次，每次取一只球，求两次取出的都是白球的概率．

解 设A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是互相独立的，所求概率为

P(AB)?P(A)P(B)?38?38?964．

10．3．4 全概率公式

当计算一个比较复杂的事件的概率时，我们经常把这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单事件之和，先求出这些简单事件的概率，然后利用概率的可加性得到所求事件的概率．

设A1,A2,?An是随机试验的一个完备事件组，则随机试验的任一事件B可表示为

B?B??B(A1?A2??An)?BA1?BA2??BAn ．

由于A1,A2,?An是一个完备事件组，因此A1,A2,?An两两互不相容，所以

BA1,BA2,?BAn也两两互不相容，根据概率的可加性和乘法公式得到．

P(B)?P(BA1?BA2??BAn)?P(BA1)?P(BA2)??P(BAn)

n =P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)??P(An)P(BAn)?这就是全概率公式：

n?P(A)P(BA)

iii?1P(B)?． ?P(A)P(B|A) （P(A)?0,i?1,2,?,n）

iiii?1nP(B)??P(A)P(BA) (P(A)?0,i?1,2,?,n)．

iiii?1从直观上可以这样理解全概率公式：导致事件B发生的情况有n种BA1,BA2,?BAn，每种情况下事件B发生的可能性又不同，事件B发生的概率是由它们共同决定的．

例9 袋中有3只红球和5只白球，从中不放回地连续取两次，每次取一只球，求第二次取到白球的概率．

解 设Ai表示“第i次取到白球(i?1,2)”，P(A1)?P(A2A1)?5758,P(A1)?38,P(A2A1)?47,

,由全概率公式得到

294

P(A2)?P(A1A2?A1A2)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A1A2)?58?47?38?57?3556．

例10 某工厂有三条流 线生产同一产品，已知这三条流水线的生产能力分别占总量的30%，35%，35%，每条流水线的次品率分别为1%，2%，4%．那么这家工厂的这种产品的合格率是多少？

解 从工厂的这种产品中任取一件，设

， Ai={取出的产品是第i条流水线生产的}（i?1,2,3）

B?{取出的产品为合格品}，

则

P(A1)?0.3,P(A2)?0.35,P(A3)?0.35，

P(BA1)?0.99,P(BA2)?0.99,P(BA3)?0.96

于是，根据全概率公式得

P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)

= 0.3?0.99?0.35?0.98?0.35?0.96?0.976

即这家工厂的这种产品的合格率为97．6%．

例11【摸彩问题】 设在n(n?2)张彩票中有一张奖券，甲乙两人依次每人摸一张彩票，分别求甲乙两人摸到奖券的概率．

解 设A表示“甲摸到奖券”，B表示“乙摸到奖券”，则P(A)?1n?11n1n，因为A发生会

影响到B发生的概率，即P(BA)?0,P(BA)?，于是由全概率公式得

n?1n1n?11nP(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)??0???．

1n还可以进一步证明，若还有第三人摸一张彩票，他摸到奖券的概率仍然是．这说明，

购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的．这就是所谓的“抽签公平性”．

10．3．5 贝叶斯公式

下面介绍贝叶斯公式，也叫逆概率公式

贝叶斯公式 设A1,A2,?An是样本空间的一个划分，B是任一事件，且P(B)?0， 则P(AiB)?P(Ai)P(BAi)P(B)?P(Ai)P(BAi)n,i?1,2,?n．

?P(A)P(BA)iii?1读者可以尝试证明该公式．

例12 在例9的条件下，若第二次取到白球，求第一次取到白球的概率．

295

解 设Ai表示“第i次取到白球(i?1,2)”，根据贝叶斯公式可得

P(A1A2)?P(A1A2)P(A2)?P(A1)P(A2A1)P(A2)?3556．

例13 已知男性中有5%是某疾病患者，女性中有1%是该疾病患者，现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是该疾病患者，问此人是男性的概率是多少？

解 设A1，A2分别是男性和女性，为B该疾病患者，则P(A1B)?5%,P(A2B)?1%,根据逆概率公式可得

2.5P(A1B)?P(A1B)P(B)?P(A1)P(BA1)P(A1B)?P(A2B)?5100?．

2.50.56?100100全概率公式的主导思想是由“因”导“果” ，“全”的意义就在对导致发生的可能原因全部加以考虑．而逆概率公式的主导公式是由“果”索“因”，这正是“逆”的意义所在．

同步训练

某人家有2个孩子，已知一个是女孩，求另一个也是女孩的概率？

同步练习10．3

1．一批种子的发芽率为0．9，播种以后最终长成活苗的概率为0．81．当你看到发芽的种子后，它们成为活苗的可能性有多大？

2．某城市的两家主要银行为争取城市居民存款储户展开竞争．已知银行甲争取到20万户的可能性为0．6，银行乙争取到20万户的可能性为0．5，又知当银行乙争取到20万户时银行甲也争取到20万户的可能性为0．3．求（1）甲、乙银行同时争取到20万户的概率；（2）当银行甲争取到20万户时银行乙也争取到20万户的概率．

3．为了加强安全生产，在矿内同时设有两套报警系统A与B．每套系统单独使用时，它们有效的概率分别为0．92和0．93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0．85．求：(1)发生意外时，这两套系统至少有一套有效的概率；(2)在B失灵的条件下，A有效的概率

4．小李忘了朋友家电话号码的最后一位数，他只能随意地拨最后一个号，他连拨了3次，求小李前两次都未拨通的条件下第三次拨通的概率．

5．在8把钥匙中有一把可以打开房间的门，某人先用一把试开，如果打不开就把这把钥匙放到一边，再取另一把试，直到打开为止．求该人在第四次试开时打开门的概率．

6．一批产品共有20件，其中有4件次品，16件正品．从中每次抽取1件，取后不放

296

回，直到取到正品为止，第三次才取到正品的概率是多少？

7．甲、乙两家银行在年内计划住房贷款额被突破的概率分别为0．1和0．12，且他们两家银行贷款额是否被突破彼此独立．求在年内这两家银行计划贷款额均未突破的概率．

8．有5个射手的命中率都是0．3，他们向同一目标射击，求目标被击中的概率． 9．一个工人管理三台机床，在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要人照看的概率分别是0．9、0．8、和0．7，求在一小时内：（1）没有一台机床需要照看的概率；（2）至少有一台机床不需要照看的概率．

10．审计局审核一个企业在某年内股票投资账目．为了保证审核的可靠性，由甲、乙、丙三人同时审核．若他们三人审核的正确率为0．96，0．9，0．85．求(1)他们三人都能审核正确的概率；(2)他们三人中至少有一人审核正确的概率．

11．银行利率的变化会影响股票价格的走势．根据经验，有人估计某支股票在利率下调的情况下股价上涨的概率为0．8，而在利率不变的情况下股价上涨的概率为0．4．现经过分析知银行利率下调的概率为0．6，利率不变的概率为0．4，试估计该支股票价格上涨的可能性．

12．某保险公司把被保险的人分成三类，“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”．统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0．05、0．15和0．30，如果被保险人“谨慎的”占20％，“一般的”占50％，“冒失的”占30％．现已知被保险人在一年内出了事故，问它是“谨慎的”客户的概率是多少？

13．对以往数据分析结果表明，当机器调整达良好时，产品的合格率为90%，而机器发生某一故障时，产品部的合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整达良好的概率为75%．已知某日早上第一件产品是合格品，试求机器调整达良好的概率．

10．4 随机变量及其分布

10．4．1 随机变量的概念与数量表示

上一节我们用事件来表示随机试验的各种结果，给概率的计算带来许多方便，但这种表示方式尚未做到完全的定量化，对于运用数学工具全面深入讨论随机试验结果的规律性有很大的局限性．为此需要将随机试验的结果数量化，即用数量来表示事件．

事实上，在很多随机试验中，试验的结果本身就由数量来表示．例如：抛掷一枚骰子观察点数的试验中，结果可以分别用数1，2，3，4，5，6来表示；某人在一天中收到的短信数可以用0，1，2，??来表示．在有些随机试验中，试验的结果虽不直接表现为数量，但

297

（1）系数A及B；（2）X落在区间(?1,1)内的概率；（3）X的分布密度． 17．某地区成年男子的体重Xkg服从正态分布N(?,?2)，若已知P(X?70)?0.5，

P(X?60)?0.25，求?与?各是多少．

18．某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10．2％，且具有3．2％的标准差，求这些公司股东所持有的股票利润率在15%至17．5％之间的概率．

19．设随机变量X与Y的分布列为

?1X～??0.720.23??-2?，Y~??0.80.1??0??， 0.2??求E(3X?2Y)及D(3X?2Y)．

2??1.5x,20．已知随机变量X的密度函数为f(x)????0,?1?x?1其他，求E(X)和D(X)．

21．盒中有5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取到黑球

数X的期望和方差．

328

P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)．

特定值的概率为零，说明概率为零的事件未必是不可能事件，它有可能发生．同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件．

密度函数f(x)本身不是概率，无穷小量f(x)dx才是概率，它表示随机变量X在点x处的概率，因此密度函数f(x)体现了随机变量X在x点处概率的相对密集程度．

我们也可以从几何角度来理解连续型随机变量在某个区间上的概率．由于积分的几何意义是曲边梯形的面积，所以随机变量X落在区间[a,b]上的概率等于密度曲线f(x)下方、x轴上方、介于区间[a,b]内的面积，如图10-1所

示．????? f(x)dx?1表示密度曲线下方的全部面积为1．

通过概率的几何意义，很多复杂的概率关系都可以直观地表示出来，给概率计算带来方便．例如从图10-1可

以看出：P(X?a)?1?P(X?a)．

例10 设随机变量X具有概率密度函数 图10-1

?x?k(1?),f(x)??x?0，?x?2其他

（1）试确定常数k；（2）求P(?1?X?1)． 解（1）因为?????f(x)dx?k?122?2(1?x2)dx?2k?(1?02x2)dx?2k(x20?x2240 )?2k?1，

所以k?．

（2）P(?3?X?3)??3?3f(x)dx??302e?2xdx?1?e?6 102x1P(?1?X?1)??1?112(1?x2)dx??10(1?x2)dx?x?40?1?14?0.75．

2．常见连续型随机变量的分布 （1）均匀分布

若随机变量X的概率密度函数为

?1,?f(x)??b?a?0,?a?x?b其他，

303

则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记为X~U(a,b)．均匀分布的密度函数曲线如图10-2所示．服从均匀分布的随机变量X在区间[a,b]上所有取值的可能性都相同．

例1 设X~U(a,b)，如果[c,d]?[a,b，]求

P(c?X?d)． 图10-2

?1,?解 X的密度函数为 f(x)??b?a?0,?P(c?X?d)?a?x?b其他，于是

?dcf(x)dx??dc1b?adx?d?cb?a．

由此可见，X落在[a,b]中的一个子区间的概率等于该小区间的长度与区间[a,b]的长度之比，而与该子区间的具体位置无关，这正是均匀分布的“均匀”性．

（2）指数分布

若随机变量X的概率密度函数为

??e??x,f(x)???0,x?0x?0，

其中??0是常数，则称X服从参数为?的指数分布，记作X~E(?)．指数分布的密度函数曲线如图10-3所

示． 图10-3

指数分布是一种重要的分布．电子元件的寿命，动植物的寿命，电话的通话时间、访问某网站的时间等都服从或近似服从指数分布．

例12 顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为0．3的指数分布，X的计时单位为分钟．求该顾客能在10分钟内接受服务的概率．

?0.3e?0.3x,x?0解 X的概率密度函数为f(x)??，因此

x?0?0,P(X?10)??1000.3e?0.3xdx??e?0.3x100?1?e?3．

常见连续型随机变量中，还有占有特殊地位的正态分布，我们将在后面专门讨论． 3．随机变量的分布函数

对于离散型随机变量来说，概率分布列全面描述了它的概率分布规律，既直观又便于计

304

算概率；对于连续型随机变量来说，用概率密度函数虽然能描述随机变量分布的本质，但不便于计算概率．为此我们引进随机变量的分布函数的概念．

设X是一个随机变量，称

F(x)?P(X?x)(???x???)

为X的分布函数，它表示X落在区间(??,x]内的概率．

用分布函数表示概率比较方便，例如

P(X?b)?F(b)，P(X?a)?1?F(a)，P(a?X?b)?F(b)?F(a)．

分布函数F(x)是随机变量X在区间(??,x]内所有取值的“累积概率”．分布函数在形式上统一了离散型随机变量和连续型随机变量的概率表现．

对于离散型随机变量X，若它的分布列为

P(X?xk)?pk（k?1,2,?），则X的分布函数为求

和累积

F(x)?P(X?x)??xk?xpk．

对于连续型随机变量X，若它的密度函数为f(x)，则X的分布函数为积分累积：

F(x)?P(X?x)??x??f(t)dt． 图10-4

F(x)的几何意义是在密度曲线f(x)之下、点x左方的所有面积，如图10-4所示．

比如对于均匀分布X~U(a,b)，从图10-4可以看出，当x?a时点x左方的面积为零，故P(X?x)?0；当x?b时点x左方包括整个矩形，其面积为1，故P(X?x)?1；当

a?x?b时点x左方包括区间[a,x]对应的矩形，其面积为P(X?x)?x?ab?a．综合起来

可得到均匀分布随机变量X~U(a,b)的分布函数为

?0,x?a??x?aF(x)??,a?x?b．

b?a??1,x?b?类似地可以求出指数分布随机变量X~E(?)的分布函数为

x?0?0,F(x)??． ??x,x?0?1?e随机变量的分布函数F(x)?P(X?x)本身就是概率，所以0?F(x)?1．离散型随

305

机变量的分布函数是跳跃式的阶梯函数，应用起来并不方便，因此分布函数主要还是用于表示连续型随机变量的概率．根据积分上限函数的求导规则可知连续型随机变量的分布函数

F(x)与密度函数f(x)有导数关系F?(x)?f(x)．

用分布函数计算连续型随机变量的概率比较方便，常见公式如下： (1)P(X?b)?F(b) (2) P(X?a)?1?F(a)

(3) 点概率P(X?a)?P(X?b)?0

(4)P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)?F(b)?F(a) 4． 正态分布

如果随机变量X的密度函数为

f(x)?12π?e?(x??)2?22 （??0），

2其中?和?为常数，则称X服从参数为?,?X~N(?,?2的正态分布(或者高斯分布)，记作

)．

正态分布是最常见也是最重要的分布．在自然界中取值受众多微小独立因素综合影响但没有一种影响占主导地位的随机变量，一般都服从或近似服从正态分布，如元件的测量误差、人群的身高体重、学生的考试成绩、社会各阶层的收入等，它们的分布都具有“中间大，两头小”的特点．另一方面，许多其他分布又可以用正态分布来近似或导出．因此，无论在理论上还是在实践中，正态分布都有着极其广泛的应用．

正态分布密度函数f(x)的图形如图10-5所示，称为正态曲线或高斯曲线，它是一条钟型曲线，以x??为对称轴，以x轴为水平渐近线，在x????处有拐点，当

x??时取最大值

12π?．整个正态曲线下方的面积为

1，即

?????????f(x)dx??12π??(x??)2?22edx?1． 图10-5

这个积分的计算过程要用到较多的微积分知识，此处从略．

当??0，??1时，称X服从标准正态分布，记为X~N(0,1)．标准正态分布的概率密度函数用?(x)表示，分布函数用?(x)表示，即

306

?(x)?12πe?x22， ?(x)??x??12πe?t22dt．

标准正态分布的密度函数?(x)的图形如图10-6所示．

5．正态分布的概率计算与3?原则

为了使用方便，标准正态分布函数?(x)的函数值已编制成表供查用（见附表1）．表中给出了x?0时

?(x)的值，若遇到负值，则可根据密度函数?(x)的 图10-6 对称性（参看图10-6），按公式?(?x)?1??(x)进行非负化换算．

标准正态分布有下列性质： (1)?(?x)?1??(x) (2)?(0)?12

例13 已知X~N(0,1)，求P(1?X?3)；P(X??3)；P(|X|?3)． 解 P(1?X?3)??(3)??(1)?0.9987?0.8413?0.1574；

P(X??3)??(?3)?1??(3)?1?0.9987?0.0013； P(|X|?3)?P(?3?X?3)??(3)??(?3)??(3)?[1??(3)]

?2?(3)?1?2?0.9987?1?0.9974．

一般地，当X~N(0,1)时，有

P(a?X?b)??(b)??(a) ，P(|X|?x)?2?(x)?12(x?0)．

对于一般的正态分布X~N(?,?)，在其分布函数F(x)的积分表达式中作变换

t??u??，便可化为标准正态分布的积分，从而得到公式

?x????b????a???， P(X?x)???P(a?X?b)?????????．

?????????这个公式实现了正态分布和非正态分布之间的换算． 例4 已知X~N(1,9)，求P(1?X?4)， P(X?4)．

307

解 P(1?X?4)??(4?13)??(1?13 )??(1)??(0)?0.8413?0.5?0.3413 ；

4?13)??(?4?13)

P(X?4)?P(?4?X?4)?F(4)?F(?4)??( ??(1)??(1.67)?1?0.8413?0.9525?1?0.8938．

例15 已知经济管理学院某班级学生的高等数学成绩X（分）近似服从正态分布

N(?,?)．为了提高学习效果，老师在制定教学计划时，计划在未来一年内使该班级学生

2高等数学平均分数?达到85分，使该班级分数在65分以下的学生人数减少到全班人数的8%以下．求计划中?的值不能超过多少？

解 根据题意，X~N(85,?2)，P(X?65)?8%．由

P(X?65)??(2065?85)??(?20)?1??(20)?0.08,

?20??得?(?)?0.92, 反向查附表可得

??1.41,于是??14.18．

例16 设X~N(?,?2)，计算P(|X??|?3?)．

??X解 P(X???3?)?P(??3???3? )???3???????3????????????

????????(3)??(?3)?2?(3)?1?0.9974．

这个结果说明，在一次随机试验中，X落在区间(??3?,??3?)内的概率超过99．7%，落在这个区间之外的可能性不到0．3%，几乎不可能发生．这就是通常说的3?原则．在实际工作中，人们往往根据“3?原则”来对产品的质量进行控制．

例17 某地区有1万人参加了某保险公司的一项人身意外保险．已知该地区人身意外死亡的概率为0．0001，每人投保的保费为10元，若投保人在一年内发生意外死亡，则保险公司赔付2万元．试求保险公司在这项业务上(1)亏损的概率；(2) 获利6万元以上的概率．

解 设X是一年内投保人意外死亡的人数，则X~B(10000,0.0001)．保险公司在这项业务上的总收入为1?10?10万元．由于n?10000很大，p?0.0001很小，故用泊松分布近似计算，??np?1．

(1) 保险公司在这项业务上亏损就是X?5，因此所求概率（查附表1）为

P(X?5)?P(X?6)?0.0006．

可见，保险公司在这项业务上亏损的可能性极小．

(2) 保险公司获利6万元以上就是X?2，因此所求概率（查附表1）为

308

P(X?2)?1?P(X?3)?1?0.08?0.92．

同步训练

某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0．1,试求该设备在一次试验中发生故障的元件数的分布律？

同步练习10．4

1．设随机变量X只可能取1,2,3,4这4个值，且取这4个值相应的概率依次为

58c12c，34c，

，

716c求常数c．

k152．设随机变量X的分布列为P(X?k)??1?2（k?1,2,3,4,5），试求：

（1）P??X?5?（2）P(1?X?4)；（3）P(X?2)． ?；2?3．某连锁总店每天向10家分店供应货物，每家分店订货与否相互独立，且每家分店订货的概率均为0．7，求10家分店中订货家数X的分布列．

4．某篮球运动员投篮命中率的统计值是0．7，现投篮10次，假设每次投篮是独立进行的，问他投中7次的概率是多少？

5．一张考卷上有4道选择题，每道题列出4个被选答案，其中有1个答案是正确的．求某学生靠猜测能答对至少3道题的概率．

6．某公交车站的候车人数服从参数为4的泊松分布，求（1）候车人数不超过5人的概率；（2）候车人数恰为3人的概率．

7．某一城市每天发生火灾的次数X服从参数??0.7的泊松分布，求该城市一天内发生4次或4次以上火灾的概率．

8．一个繁忙的路段每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0．0002，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松分布近似计算）？

?Ax2,9．已知随机变量X的密度函数为f(x)???0,|x|?1其他，求：

（1）常数A的值；（2）P(?12?X?12)．

10．某城镇每天的用电量X万度是连续型随机变量，其密度函数为

309

?kx(1?x2),f(x)???0,0?x?1其他，

试求（1）常数k的值；（2）当每天供电量为0．8万度时，供电量不够的概率．

11．某型号电子管，其寿命（单位：小时）为一随机变量，密度函数为

?100,?f(x)??x2?0,?x?100其他，

在一电子设备内配有三个这样的电子管，求它们使用200小时都不需要更换的概率．

12．若X~U(1,6)，试求P(X?3)．

13．公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在15分钟时间内到达车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过4分钟的概率．

14．某电子元件的寿命X服从参数为0．002的指数分布，求这个电子元件使用1 000小时后没有损坏的概率．

15．保险公司为某一年龄段的人设计推出了一项人寿保险，投保人在统一向保险公司交纳10元保险费后若一年内死亡，其受益人可获得5000元的赔偿．已知该年龄段人的死亡率为0．001，求：（1）若有5000人投保，保险公司获利不小于25000元的概率；（2）若有5000人投保，保险公司亏损的概率（利用泊松分布近似计算）．

?0,?16．设随机变量X的分布函数为F(x)??lnx,?1,?x?11?x?e，试求 x?e（1）P(X?2)；（2）P(0?X?3)；（3）P(2?X?2.5)． 17．设X~N(0,1)，求（1）P(X??1)；（2）P(?2.32?X?1.2)． 18．设 X~N(3,2)，求

（1）P(2?X?5)；（2）P(?4?X?10)；（3）P(X?2)．

19．某批袋装大米的重量Xkg服从参数为??10kg，??0.1kg的正态分布，任选一袋大米，求这袋大米重量在9．9kg到10．2kg之间的概率．

20．某班一次数学考试成绩X~N(75,100)，若规定低于60分为“不及格”，高于85分为“优秀”，试问该班级（1）数学成绩“优秀”的学生约占总人数的百分之多少？（2）数学成绩“不及格”的学生约占总人数的百分之多少？

2

10．5 随机变量的数字特征

310

在考察一些实际的随机问题时，往往并不需要详细了解总体的分布状况，只要知道某些主要特征．例如评价某班级的学习成绩，最关心的莫过于平均成绩和成绩的集中程度．又如评定某射击运动员的技术水平，特别关注他命中环数的平均值和波动程度．

对于随机变量来说也是如此．随机变量的分布函数完整地提供了随机变量的概率信息，但尚未突出显示一些特别重要的信息．随机变量的重要信息表现为它的数字特征，包括数学期望和方差．数学期望是指随机变量的取值在概率频度意义上的平均值，方差则刻画出随机变量对均值的平均偏离程度．

10．5．1 数学期望的概念

例1 经济管理学院大一某班级共有50名学生，其中18周岁35人，19周岁10人，20周岁5人，求该班级学生的平均年龄．

解 该班级平均年龄显然是

(18?35?19?10?20?5)?50?(630?190?100)?50?18.4．

这与年龄的简单平均(18?19?20)?3?19不同，是年龄的加权平均，权数0．7、0．2、0．1是各个年龄的频率．如果人数很多，那么频率渐近于概率，能以概率为权数作加权平均，平均值更加可靠．鉴于频率的渐近性，这种平均值叫做期望更为确切．

一般地，设X为随机变量，X可能取许多数值，这些取值以概率为权重的加权平均数，称为X的数学期望，记为E(X)．数学期望也可称为随机变量的均值．

如果X是离散型随机变量，它的分布列是P(X?xk)?pk（k?1,2,?），那么

?E(X)??xkpkk?1．

这是离散型随机变量数学期望的计算公式，离散型随机变量数学期望等于其所有可能取值与对应概率乘积的和．当然要求公式中的级数绝对收敛，否则数学期望不存在．

如果X是连续型随机变量，它的概率密度是f(x)，那么X的某一取值x所对应的概率是f(x)dx，加权平均即对两者的乘积xf(x)dx进行“积累”，这是连续的积累，可以用积分表示，因此连续型随机变量的数学期望是通过积分实现的加权平均，即

E(X)??????xf(x)dx．

这是连续型随机变量数学期望的计算公式．当然要求公式中的广义积分绝对收敛，否 则数学期望不存在．

例2 甲乙两人进行打靶比赛，所得分数分别记为随机变量X,Y，它们的分布律分别

311

为X~??0??010.32??0??，Y~??0.10.7??10.22??，试比较甲乙两人成绩的好坏． ?0.8?解 我们分别计算出X,Y的数学期望

E(X)?1?0.3?2?0.7?1.7,E(Y)?1?0.2?2?0.8?1.8,

显然乙比甲的成绩好．

从本例看出，在处理实际问题时，数学期望是评价随机变量的一个重要指标，应予以充分的关注．

2?,0?x?1?2例3 已知随机变量X的密度函数为f(x)???(1?x)，求E(X)．

?0,其他?解 根据连续型随机变量数学期望的计算公式，计算如下：

E(X)????xf(x)dx????1x?02?(1?x)2dx?1?ln(1?x)210?ln2?．

2．数学期望的性质

（1）常数不变性质 若C为常数，则有

E(C)?C．

（2）常数提取性质 若C为常数，X为随机变量，则有

E(CX)?CE(X)．

（3）逐项相加性质 设X,Y为任意两个随机变量，则有

E(X?Y)?E(X)?E(Y)．

这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情况，即

E(X1?X2???Xn)?E(X1)?E(X2)???E(Xn)．

（4）独立乘积性质 设X,Y为任意两个相互独立的随机变量，则有

E(XY)?E(X)E(Y)．

这一性质可推广到任意有限个随机变量的情况，即设X1,X2,?,Xn为相互独立的随机变量，则有

E(X1X2?Xn)?E(X1)E(X2)?E(Xn)．

312

随机变量分布函数很复杂，有的随机变量至今还未被研究透彻．此外，实际环境中常常不是只有单独一个随机变量，而是多个随机变量相互交织，形成随机变量的函数，其分布状况就更加复杂了．

这些情况都给实际应用带来不便，人们为寻求解决办法的研究工作从未停息过．经过几代数学家的艰苦努力，现在已经实现了多个方向的突破，获得了许多有益的成果，其中当数随机变量的极限性质最有应用价值．

设X1,X2,?,Xn为相互独立的n个随机变量，具有相同的数字特征，即

E(Xi)?a，D(Xi)?b，i?0,1,2,?,n．

2这些随机变量相互叠加形成一个新的随机变量

X?X1?X2???Xn，

根据数学期望和方差的性质，显然有E(X)?na，D(X)?nb2．当n很大时，无论它们原先是何种分布，叠加的结果都近似地服从正态分布，即

X~N(na,nb)．

2这里所谓n很大，通常要求n?50，有时候n?30也有很好的近似效果．

我们特别要提一下二项分布．设X~B(n,p)，则E(X)?np，D(X)?np(1?p)．前面曾对二项分布做过分解，二项分布的随机变量等于n个计数变量的和

X?X1?X2???Xn，

这说明二项分布变量符合上述极限性质的要求，所以当n很大时，二项分布渐近于正态分布，即

X~N(np,np(1?p))．

随机变量的极限性质为实际概率计算带来了很大方便，同时也说明了正态分布的普遍意义．一个随机变量之所以“随机”，往往因为它受到了许多相互独立的随机因素的影响，只要这些随机因素都不占主导地位，那么它们叠加的结果就一定是渐近的正态变量．

例8 某工厂有150台机床，开工率为0．85，每台机床在一个工作日内正常耗电10度，每台机床开工与否相互独立．试问供电部门至少供应多少电力，才能以95%的概率保证不因供电不足而影响生产？

解 设备运行问题属于伯努利概型，设X是150台机床中开工的台数，则

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X~B(150,0.85)，E(X)?150?0.85?127.5，D(X)?127.5?0.15?19.125．由于n?150已足够大，所以近似地有X~N(127.5,19.125)．工厂的用电量是10X，现在需

要求出供应的电力a，使得P(10X?a)?95%，即

a??a/10?127.5??0.95?P?X??????．

10?19.125???反向查附表1可得a/10?127.519.125?1.645，由此解出a?1347．供电部门至少要向该厂供

电1347度，才能以95%的概率保证不因供电不足而影响生产．

同步训练

某人用n把钥匙去开门，只有一把能打开．今逐个任取一把打开，打不开的钥匙不放回，求打开此门所需开门次数X的均值与方差．

同步练习10．5

1．设随机变量X的分布列为X~??0.4???100.32?2?，求，E(X)，E(2XE(X)?0.3?2 ?5)．

2??a?bx,2．设随机变量X的密度函数为f(x)????0,0?x?1其他，E(X)?35，试确定系

数a,b的值．

3．设随机变量X1,X2相互独立，且X1,X2的密度函数分别为

?2e?2x,x?0?3e?3x,?? ， f2(x)??f1(x)??x?0???0,?0,x?0x?0 ，

求E(2X1?3X2)，E(2X1?3X2)，E(X1X2)．

4．一高射炮对敌机连发三发炮弹，第一发炮弹击中敌机的概率为0．5，第二发炮弹击中敌机的概率为0．7，第三发炮弹击中敌机的概率为0．8，设射击是相互独立的，求在三发炮弹中平均击中敌机的次数E(X)．

??25．设离散型随机变量X的分布列为X~?1??61134?1?，求D(X)． ?2?2 319

?2lnx,?6．已知随机变量X的密度函数为f(x)??x?0,?1?x?e其他，求E(X)和D(X)．

7．已知X~N(1,2)，Y~N(3,4)，X与Y相互独立，求D(X?3Y?2)．

2??ax?bx?c,8．若随机变量X的概率密度为f(x)????0,0?x?1其他，且E(X)?0.5，

D(X)?0.15，求常数a,b,c．

9．一批零件中有9个合格产品和3个废品，安装机器时从这批零件中任取一个，若取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前取出的废品数的数学期望和方差．

10．设某射手每次击中目标的概率是0．9，现连续射击30次，求：

（1）“击中目标次数X”的分布列；（2）E(X)和D(X)．

本章小结

一、事件之间的运算

1．和时间：A?B(或者A?B) 2．积事件：AB(或者A?B) 3．差事件：AB(或者A?B) 4．互不相容事件(互斥事件)：AB??

(打麻将掷骰子出现的6个不同面)

5．互逆事件(对立事件)：AB??且A?B?? (抛硬币的正反面)

小结：互逆一定互斥，互斥不一定互逆 二、概率的加法和减法公式

1．P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

推广：若A,B互斥 (P(AB)?0)，则P(A?B)?P(A)?P(B)．

2．P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 推广：若A,B,C两两互斥，则P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)． 3．P(A?A)?1?P(A)?1?P(A)或者P(A)?1?P(A)

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(很多情况下，利用逆事件的概率间接求事件的概率更简单一点) 4．P(A?B)?P(A)?P(AB)

推广：若B?A,则P(A?B)?P(A)?P(B)． 三、条件概率 1．P(AB)?P(AB)P(B) 同理 2．P(BA)?P(AB)P(A)

条件概率的乘法公式

P(AB)?P(A)P(BA)?P(B)P(AB)

四、划分的定义

设事件A1,A2,?An满足如下两个条件：

(1) A1,A2,?An互不相容，且P(Ai)?0,i?1,2,?n； (2) A1?A2,??An??，即A1,A2,?An至少有一个发生，

则称A1,A2,?An为样本空间?的一个划分．当A1,A2,?An是?的一个划分时，每次试验有且只有其中的一个事件发生． 五、全概率公式

设随机试验对应的样本空间为?，设A1,A2,?An是样本空间的一个划分，B是任意一个事件，则

P(B)?P(BA1?BA2??BAn)?P(BA1)?P(BA2)??P(BAn)

n=P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)??P(An)P(BAn)??P(A)P(BA)

iii?1记忆技巧：B是次品，Ai(i?1,2?n)是n条生产线． 六、逆概率公式(贝叶斯公式)

P(AiB)?P(AiB)P(B)?P(Ai)P(BAi)n (分子是分母的一项)

?P(Ai?1i)P(BAi)记忆技巧：已知产品是次品，求其来自第i条生产线的概率． 小结：联系到第11章假设检验中的两类错误．

绝H0H0真??? (1)P?拒(2)P接受H0H0不真????

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(3)P接受H0H0真?1?? (4)P?拒绝H0H0不真??1?? 七、独立事件的定义 维数 定义 ??一维事件 定义：若P(AB)?P(A)P(B)，则A,B相互独立 性质：若A,B相互独立,则 A与B；A与B；A与B都相互独立) 定理：A,B相互独立?P(AB)?P(AB) 二维随机变量 1．离散型 定义： 若P(X?xi,Y?yj)?P(X?xi)?P(Y?yj)或Pij?Pi??P?j，则称X与Y相互独立 2．连续型 定义： 设F(x,y)，FX(x)和FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数(x,y)，有F(x,y)?FX(x)FY(y)，则称X与Y相互独立． 定理：1．F(x,y)?FX(x)FY(y)? 2．P?X?x,Y?y??P?X?x?P?Y?y?3．f(x,y)?f八、n重贝努利试验

定义：只有两个结果的独立重复试验，而且已知

P(A)?p,0?p?1．将试验独立重复进行n次，则称为

X? (x)fY(y) n重贝努利试验．(概型模型称为贝努利概型)

九、定理

在n重贝努利试验中，设每次试验中事件A的概率为p(0?p?1)，则事件A恰好发生k次的概率为

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