和差倍分问题备课素材

8.3 实际问题与二元一次方程组

第1课时 和差倍分问题

情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣

图8－3－1

情景导入 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需要饲料675 kg；一周后又购

进12只大牛和5只小牛，这时1天约需要饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需要饲料18～20 kg，每只小牛1天约需要饲料7～8 kg.请你通过计算检验李大叔的估计是否正确．

1．怎样检验他的估计呢？

2．题目中包含怎样的等量关系？

[说明与建议] 说明：由优美的广袤草原图片引入，既让学生欣赏了辽阔的草原风光，同时自然引出有关“牛吃草”的问题，使导入环节自然流畅．建议：学生自主探究，思考后设出相应未知数，并独立做出判断，从而让学生体会判断说理必须有明确的依据．

复习导入 前面我们已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的相关知识，你能解

决下面的问题吗？(课件展示)

问题1：解二元一次方程组的基本思想是__消元__，解法有__代入消元法和加减消元法__．

问题2：七年级我们学习了列一元一次方程解应用题，那么你还记得它的一般步骤吗？

[说明与建议] 说明：通过复习旧知，为本节课的学习做好铺垫，扫除知识障碍．建议：让学生回顾前面所学方程的相关知识，小组内进行交流体会，教师给予必要的提示．

教材母题——第102页习题8.3第5题

有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t，3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？

【模型建立】

和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系(其中的两项)，求这几个数的应用题．包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题．这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单． 【变式变形】

1．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐．

(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐．

(2)若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐．请说明理由． 解：(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名，y名学生就餐，

??x＋2y＝1680，

依题意得?

??2x＋y＝2280，

??x＝960，

解得?即1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．

y＝360.??

(2)若7个餐厅同时开放，则有5×960＋2×360＝5520， 5520>5300.

答：(1)1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名，360名学生就餐．(2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐．

2．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．该公司的加工能力是：每天

可以精加工6吨或粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？

解：设该公司应安排x天精加工、y天粗加工，

??x＋y＝15，

依题意得?

?6x＋16y＝140，???x＝10，

解得?

??y＝5.

答：该公司应安排10天精加工、5天粗加工． 3．植物园门票价格如下表所示：

购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级(3)，(4)两个班共104人去植物园春游，其中(3)班人数较少，不到50人，(4)

班人数较多，有50多人，经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元．你能否算出两个班各有多少名学生？

解：设(3)班有x人，(4)班有y人，

??x＋y＝104，

由题意，得?

?13x＋11y＝1240，???x＝48，

解方程组得?

??y＝56，

经检验，符合题意．

答：(3)班有48人，(4)班有56人．

4．长18米的钢材，要锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小

明估计2米的有3段，你们认为他估计的是否准确？为什么呢？那2米和1米的各应取多少段？

解：设应取2米的x段，1米的y段，

???x＋y＝10，?x＝8，

依题意得?解得?答：小明估计的不准确.2米的应取8段，1米的应取

???2x＋y＝18，?t＝2.

2段．

[命题角度1] 余缺问题

解决余缺问题要抓住题目中的一些关键词语，找出其中的两个等量关系，列出方程组即可．

例 老师要把一些糖果分给学生，每人10块剩余6块；每人12块缺少6块，请问多少学生多少糖？

???10x＋6＝y，?x＝6，

解：设有x名学生，y块糖，根据题意，得?解得?

???12x＝y＋6，?y＝66.

答：有6个学生，66块糖果． [命题角度2] 数字问题

解决数字问题的关键是能够根据数字所处的位置用适当的形式表示出来，如个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，这个三位数就可以表示为100c＋10b＋a.再根据题目中的数量关系及相等关系列出方程组求解．

例 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．

解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，

???y－x＝5，?x＝4，则?解得? ?（10y＋x）＋（10x＋y）＝143，?y＝9.??

所以这个两位数是49.

P101 习题8.3 复习巩固

1．解下列方程组：

2x3y17＋＝，?3412?3x－y＝5，

(1)?(2)

xy1?5y－1＝3x＋5；?

－＝－.623

???

?x＝12，?

?x＝1，

答案：(1)?(2)?

11?y＝1.??y＝4；2．A地至B地的航线长9 750 km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5 h，它逆风飞行同样的航线需13 h．求飞机无风时的平均速度与风速．

??12.5（x＋y）＝9 750，

答案：设飞机的平均速度为x km/h，风速为y km/h.根据题意，得?

??13（x－y）＝9 750.??x＝765，

解得?

?y＝15.?

31

3．一支部队第一天行军4 h，第二天行军5 h，两天共行军98 km，且第一天比第二天少走2 km.第一天和第二天行军的平均速度各是多少？

答案：设第一天和第二天行军的平均速度分别为x km/h，y km/h.根据题意，得

???4x＋5y＝98，?x＝12，?解得? ??4x＋2＝5y.y＝10.??

综合运用

4．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？

答案：设用x张铁皮制盒身、y张铁皮制盒底使盒身与盒底正好配套．根据题意，得

???x＋y＝36，?x＝16，?解得? ?2×25x＝40y.?y＝20.??

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