广州市高二数学竞赛试题

广州市高二数学竞赛试题

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z? A．

2．已知向量a??x?i，z是z的共轭复数，则z?z的值是 3?i11 B． C．2 D．4 42??2?,x?与向量b???3,2x?的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 3? A．??1??1??,2? B．???,????2,???

2??2?? C．???1?,0???0,2? D．?0,2? ?2?3. 已知函数f?x??2xsin2x?cos2x，则下列不等式中恒成立的是 A．f??3????????3? B．?f1?f?f1?f??f???????????

?2??4??4??2?????3?f????f?1??f?? ?4??2? C．f??????3??f????f?1? D．4???2?xyxyxy4. 若实数x,y满足9?9?23?3，则t?3?3的取值范围是

?? A．0?t?2 B．2?t?4 C．0?t?4 D．t?4

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．

?1?5. 已知n?N，an?3?5?7????2n?1?，则数列??的前n项和Sn? .

?an?*6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上 的点数是5”为事件B，则事件A、B中至多有一件发生的概率是 . 7. 函数f?x??x?1的最大值是 .

2x?3?x?1,?8. 设不等式组?x?2y?3?0,所表示的平面区域为?1，平面区域?2与?1关于直线

?y?x? 2x?y?4?0对称，对于?1中的任意一点A与?2中的任意一点B，AB的最小值等 于 . 9. 已知A,B,C是表面积为64?的球面上三点，AB?2,?ACB?30?，O为球心，则直 线OA与平面ABC所成角的余弦值是 .

10．若将函数f?x??x4表示为f?x??a0?a1?1?x??a2?1?x??a3?1?x??a4?1?x? 其中a0,a1,a2,a3,a4为实数，则a3的值为 .

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）

已知函数f?x??sin2x?acos2x(a?R，a为常数)，且 （1）求a的值； （2）若x???234?是函数y?f?x?的零点. 6????,?，求f?x?的最大值和最小值. ?122? 12．（本小题满分15分）

ABC是正三角形，D是AC的中点. 已知直三棱柱ABC?A1B1C1的底面

（1）证明：AB1∥平面BC1D；

（2）若BC?2，AB1?BC1，求三棱锥D?BC1C的体积.

A1ADC1CB1Bx2y213. （本小题满分20分）已知椭圆P:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1??c,0?、

aba2F2?c,0?，点M、N是直线x?上的两个动点，且F1M?F2N.

c （1）设圆C是以线段MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系； （2）若椭圆P的离心率为

1，MN的最小值为215，求椭圆P的方程. 214. （本小题满分20分）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别为i、j，O为坐标原点. 坐

???????????i?j；标平面上点An、Bn(n?N)分别满足下列两个条件：①OA1?2j，且AnAn?1?*????????????2?n②OB1?3i， 且BnBn?1????3i.

?3??????????? （1）求向量OAn及OBn的坐标；

（2）若四边形AnBnBn?1An?1的面积是an，求an的表达式；

（3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切n?N，都有an?M成立？

若存在，求M的值；若不存在，说明理由.

x15．（本小题满分20分）已知函数f(x)?(1?)(x?0)，e为自然对数的底数.

*1x （１）证明：f(x)?e；

ea?1?a?k?* （２）若n?N，且a?n，证明：??. ??ne?1?k?1?nn

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