数学理卷·2011届山东省青岛市高三教学质量3月统一检测(2011

山东卷

山东省青岛市2011届高三教学质量统一检测 2011.03

数学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：

1. 答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：台体的体积公式为：V 下底面积，h为台体的高.

1

(S1 S2h，其中S1，S2分别为台体的上、3

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z

2i

，则复数z的共轭复数为 i 1

A.1 i B. 1 i C.1 i D. 1 i

2

2. 已知全集U R，集合A {x|x 2x 0}，B {x|y lg(x 1)}，则(ðUA) B等

于

A.{x|x 2或x 0} B.{x|1 x 2}

C. {x|1 x 2} D.{x|1 x 2}

3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是

1

11x

A.y log2x B. y C.y () D.y x3

x2

4. 已知直线 l、m，平面 、 ，且l ，m ，则 // 是l m的

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

262

5. 二项式(x )的展开式中，x项的系数为

x

A.15 B. 15 C.30 D.60

6. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x y 2x 6y 9 0圆心的抛物线方程是

2

2

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A.y 3x2或y 3x2 B.y 3x2

C.y2 9x或y 3x2 D.y -x2或y2 9x

7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为2和4

A.

28 7

B. C.28 D.7

33

侧视图

x y 0

8. 若 x y 0，若z x 2y的最大值为3，则a的值是

y a A.1 B.2 C.3 D.4

俯视图

9. 已知等差数列{an}的前项和为Sn，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且

(直线MP不过点O)，则S20等于 ON a15OM a6OP

A.15 B.10 C.40 D.20

10. 定义运算：

a1a3

a2a4

a1a4

a2a3，将函数f(x)

sinx

向左平移m个单位

cosx(m 0)，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是 A.

5 2

B. C. D.

6363

a

11. 下列四个命题中，正确的是

A.已知函数f(a) sinxdx，则f[f()] 1 cos1；

02

B.设回归直线方程为 y 2 2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位；

C.已知 服从正态分布N(0, 2)，且P( 2 0) 0.4，则P( 2) 0.2 D.对于命题p： x R,使得x2 x 1 0，则 p： x R，均有x2 x 1 0

12. 若f(x) 1

1

，当x [0，1]时，f(x) x，若在区间( 1，1]内

f(x 1)

g(x) f(x) mx m有两个零点，则实数m的取值范围是

1111

A.[0，) B.[， ) C.[0，) D.(0，]

2232

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第Ⅱ卷 (选择题 共60分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速 频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h的汽

车数量为

14. 执行如图所示的程序框图，若输出的b的值 为16，图中判断框内?处应填的数为 15. 若不等式|2a-1|?|x

1

|对一切非零实数x恒 x

成立，则实数a的取值范围

16. 点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到 直线y=x-2的距离的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

ur

17.(本小题满分12分)已知向量m=(sinx，-1)，

rurrur1.向量n=x，-)，函数f(x)=(m+n)m.

2

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T；

(Ⅱ)已知a，b，c分别为DABC内角A，B，C的对边，A

为锐角，a=c=4，且f(A)恰是f(x)在[0，

p

]上的最大值，求A，b和DABC的面积S. 2

18. (本小题满分12分)如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE^平面ABCD，

1CD=a，

PD2

(Ⅰ)若M为PA中点，求证：AC//平面MDE； (Ⅱ)求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值. ?BAD

?ADC

90 ，AB=AD=

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19. (本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调

根据上表信息解答以下问题：

(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用h表示这两人休年假次数之和，记“函数f(x)=x2-hx-1在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；

(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用x表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x的分布列及数学期望Ex.

20.(本小题满分12分)已知数列{bn}满足bn+1=和.

(Ⅰ)求证：数列{bn-

117

bn+，且b1=，Tn为{bn}的前n项242

1

是等比数列，并求{bn}的通项公式； 2

*

(Ⅱ)如果对任意nÎN，不等式

12k

?2n7恒成立，求实数k的取值范围.

12+n-2Tn

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-(Ⅰ)当a=

23

x+2ax2+3x. 3

1

时，求函数f(x)在[-2，2]上的最大值、最小值； 4

1

(Ⅱ)令g(x)=ln(x+1)+3-f (x)，若g(x)在(-，+ )上单调递增，求实数a的取2

值范围.

山东卷

22.(本小题满分14分)已知圆C1：(x+1)2+y2=8，点C2(1，0)，点Q在圆C1上运动，

QC2的垂直平分线交QC1于点P.

(Ⅰ)求动点P的轨迹W的方程；

(Ⅱ)设M、N分别是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若

uuuruuuruuur

OM+2ON=2OC1，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；

1

)且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定3

点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由.

(Ⅲ)过点S(0，-

青岛市高三教学质量统一检测 2011.03

高中数学 (理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A C B B D D B A B A A D

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13[ ,] 16．

13. 38 14. 3 15.

22

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

12

解: (Ⅰ

)f(x) (m n) m sinx 1 xcosx …………2分

2

1 cos2x11

1

2x 2x cos2x 2 22222

sin(2x ) 2…………5分

6

2

…………6分 因为 2，所以T 2

山东卷

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：f(A) sin(2A

6

2

5 x [0,]时, 2x

2666

由正弦函数图象可知,当2x 所以2A

6

2

时f(x)取得最大值3

6

2

,A

3

…………8分

2

222

由余弦定理，a b c 2bccosA∴12 b 16 2 4b

1

∴b 2………10分

2

从而S

11

bcsinA 2 4sin60 12分 22

18．（本小题满分12分）

(Ⅰ) 证明:连结PC,交DE与N,连结MN， PAC中，M,N分别为两腰PA,PC的中 点 ∴MN//AC…………2分

因为MN 面MDE,又AC 面MDE，所以AC//平面MDE…………4分

(Ⅱ) 设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为 ，以D为空间坐标系的原点，分别以

DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则P),B(a,a,0),C(0,2a

,0)

PB (a,a,),BC ( a,a,0)…………6分

设平面PAD的单位法向量为n1，

则可设n1 (0,1,0)…………7分

设面PBC的法向量n2 (x,y,1)，应有

(a,a,) 0 n2 PB (x,y,1)

( a,a,0) 0 n2 BC (x,y,1)

x ax ay 0 2，所以

即： ，解得：

ax ay 0 y

2

n2 …………10分

x n1 n2

1

…………11分

∴cos |n1||n2|2

山东卷

所以平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为19．（本小题满分12分）

1

…………12分 2

解:(Ⅰ) 函数f x x2 x 1过(0, 1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有

f(4) 0 16 4 1 01535

即： ，解得：

4636 6 1 0f(6) 0

所以， 4或 5…………3分

21111

C20 C10C15C20C156812

当 4时，P，当时，…………5分 5 P 1222

C50245C5049

4与 5为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式

所以P P1 P2

6812128 …………6分 24549245

(Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用 表示这两人休年假次数之差的绝对值，则 的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分

2111111

C52 C120 C2 CCC CC CC222201551010201520

于是P 0 ，， P( 1) 22

C507C5049111111

C5C20 C10C15C5C15310

，…………10分 P( 2) P( 3) 22

C5049C5049

从而 的分布列：

的数学期望：E 0 1 2 3 ． …………12分

749494949

20．（本小题满分12分）

*

解: (Ⅰ) 对任意n N,都有bn 1

11111bn ，所以bn 1 (bn ) 2422211

3，公比为…………2分 22

则{bn 成等比数列,首项为b1 所以bn

1

2

1111

3 ()n 1，bn 3 ()n 1 …………4分 2222

山东卷

(Ⅱ) 因为bn 3 ()

12

n 1

1 2

1)n111nn1n所以Tn 3(1 2 ... n 1) 6(1 n) …………6分 22222221 2

2n 712k*

因为不等式对任意n N恒成立…………7分 2n 7，化简得k n

2(12 n 2Tn)

3(1

设cn

2n 72(n 1) 72n 79 2n

c c n 1…………8分 ，则n 1nnn 1n

2222

当n 5,cn 1 cn,{cn}为单调递减数列，当1 n 5,cn 1 cn,{cn}为单调递增数列

133 c4 c5 ,所以, n 5时, cn取得最大值…………11分 163232

2n 73*

k n N所以, 要使k 对任意恒成立，…………12分 n

232

21．（本小题满分12分）

12312

时, f(x) x x 3x，f (x) 2x2 x 3 (2x 3)(x 1) 432

3

令f (x) 0,得x 1或x …………2分

解: (Ⅰ)a

可以看出在x 1取得极小值,在x 而f( 2)

取得极大值…………5分 2

48113,f(2) 由此, 在[ 2,2]上,f(x)在x 1处取得最小值 ,在x 332627

处取得最小值…………6分

8

22

(Ⅱ)g(x) ln(x 1) 3 f (x) ln(x 1) 3 ( 2x 4ax 3) ln(x 1) 2x 4ax

14x2 4(1 a)x 1 4a

g(x) 4x 4a …………7分

x 1x 1

'

在(

1

, )上恒有x 1 0 2

山东卷

考察h(x) 4x2 4(1 a)x 1 4a的对称轴为x (i)当

4 4aa 1

82

a 11

,即a 0时，应有 16(1 a)2 16(1 4a) 0 22

解得: 2 a 0，所以a 0时成立…………9分

a 1111

,即a 0时，应有h( ) 0即:1 4(1 a) 1 4a 0 (ii)当2222

解得a 0…………11分

综上：实数a的取值范围是a 0…………12分 22. （本小题满分14分）

解: (Ⅰ) 因为QC2的垂直平分线交QC1 于点P. 所以 PC2

PC2 PC1 PC1 PQ QC1 22 C1C2 2

所以动点P的轨迹 是以点C1,C2为焦点的椭圆……………2分

x2y2

设椭圆的标准方程为2 2 1

ab

x2

y2 1……4分 则2a 2,2c 2，b a c 1，则椭圆的标准方程为2

2

2

2

(Ⅱ) 设M(a1,b1),N(a2,b2)，则a12 2b12 2,a22 2b22 2 ①

因为OM 2ON 2OC1

则a1 2a2 2,b1 2b2 0 ②

由①②解得a1

15……………7分 ,b1 a2 ,b2

2448

所以直线MN的斜率

k

b2 b1……………8分

a2 a114

1

，联立直线和椭圆的方程得: 3

(Ⅲ)直线l方程为y kx

1

y kx 322

得9(1 2k)x 12kx 16 0…………9分 2

x y2 1 2

由题意知：点S(0, )在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交与两点，

1

3

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设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1 x2

4k16

,xx 1222

3(1 2k)9(1 2k)

假设在y轴上存在定点D(0,m)，满足题设，则DA (x1,y1 m),DB (x2,y2 m)

因为以AB为直径的圆恒过点D,

则DA DB (x1,y1 m) (x2,y2 m) 0，即:x1x2 (y1 m)(y2 m) 0 (*)

11

33

2

则(*)变为x1x2 (y1 m)(y2 m) x1x2 y1y2 m(y1 y2) m…………11分

因为y1 kx1 ,y2 kx2

1111

x1x2 (kx1 )(kx2 ) m(kx1 kx2 ) m2

3333121

(k2 1)x1x2 k( m)(x1 x2) m2 m

339

16(k2 1)14k212

k( m) m m 9(2k2 1)33(2k2 1)39 18(m2 1)k2 (9m2 6m 15) 2

9(2k 1)

由假设得对于任意的k R,DA DB 0恒成立，

m2 1 0 即 2解得m 1……13分 9m 6m 15 0

因此，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为(0,1).………………14分

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