矢量图解运动问题(1)

专题4 矢量图解运动问题

文/沈 晨

教你一手

一、矢量加、减运算的图示

矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法．矢量加减依据平行四边形定则，也可简化为三角形（多边形）法．其图解方法如图4-1，若已知矢量A、B、（如图4-1(a)），当求R=A+B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段未端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为R（如图4-1(b)）；当求R=A-B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段未端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为R（如图4-1(c)）．运用这种方法可以进行多个矢量的连续相加或相减．我们可归纳如下：

图4-1

图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和．

图解方法求矢量差：末端共点地分别作相减二矢量，连接两箭头、方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差． 二、运动的合成与分解

当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．运动的合成与分解遵循如下原理：

１．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其他分运动的存在而发生改变．

２．等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．

３．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算．

将一个复杂运动分解为几个分运动，通常有两种方法：⑴引入中介参照系．例如船过河的运动，是以静止的河岸为参考的一个复杂运动，我们可以取一个动参考物——运动的河水

1

为中介，那么，船的运动可分解为船相对水的运动与水相对岸的运动．若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动参考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速度（相对速度）为vAB，则有vAC=vAB+vBC，vAB=vAC－vBC．同样地，我们可以按这种方法进行位移或加速度的合成与分解，例如，aAC=aAB+aBC，aAB=aAC－aBC．注意矢量运算式中下标的规律性．⑵依据实际效果分解运动．例如一架飞机以速度v与水平成θ角斜向上飞行，实际效果是在上升的同时水平向前移动了，我们可将飞机的运动分解为竖直方向与水平方向的两个分运动，若这两个分运动的速度依次为v1和v2，则有v＝v1＋v2．

处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，若用矢量图助解常会收到奇效．

例1假定某日刮正北风，风速为u，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？ 分析与解设风相对于人的速度（即运动员感到的风速）为V，根据题给条件，有u=V+v．三个速度矢量中，u大小、方向均确定，v大小一定，V与v两矢量互相垂直（所谓正右侧），故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图4-2，取一点O，先作矢量u，以其矢端为圆心，表示v大小的线段长为半径作一圆，自O点向圆引切线OA，则矢量三角形△ＯＯ′Ａ即为符合题意要求的u、V、v关系．由图显见，当运动员朝南偏西θ＝arccos(v/u)方向以速率v奔跑时会感觉风从自己右侧吹来，并且在v＜u时才可能有这种感觉．

若v＞u，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图4-3，在△ＯＯ′Ａ′中运用正弦定理有(ｖ/ｓｉｎβ)＝(ｕ/ｓｉｎα)，可知当β＝(π/2)时，α＝ａｒｃｓｉｎ(ｕ/ｖ)为最大，即在运动员向西偏南ａｒｃｓｉｎ(ｕ/ｖ)方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大．

图4-2

2

图4-3

例2一只木筏离开河岸，初速度为v，方向垂直于岸，划行路线如图4-4虚线所示，经过时间T，木筏划到路线上A处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行方向不变．用作图法找到2T、3T??时刻此木筏在航线上的确切位置．

图4-4

分析与解设木筏相对于水的速度为V，则离岸时，V＝v-u，其矢量关系如图4-5(a)所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速度V方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v大小、方向均有变化．故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线．现如图4-5中(b)所示，连接OA的有向线段是时间T内木筏的绝对位移s木，而s木＝s木对水＋s

水

，其中s水沿x正方向，s木对水平行于V方向．现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x轴

上得到Ｂ点，有向线段OB即为s水．由于水速u恒定，则各T时间内s水恒定，故可在x轴上得ＯＢ′＝２s水，ＯＢ″＝３s水，过Ｂ′、Ｂ″点??作平行于V的直线交木筏轨迹于Ａ′、Ａ″??各点，即得2T、3T??时刻此木筏的确切位置．

质点做变速运动时，若初速度为v0，末速度为vt，则速度增量Δv=vt－v0，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图4-1(c)，利用这种矢量关系图解速度增量问题有其独到之处．

图4-5

例3某一恒力作用在以恒定速度v运动的物体上，经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t时间后，物体的速度v3t之大小．

3

图4-6

分析与解由于物体受恒力作用，故在相同时间内，速度增量相同即Δv=vt－v=v2t－vt=v3t－v2t．现作满足题给条件的矢量图如图4-6所示，图中有向线段AB＝BC＝CD＝Δv，ＯＢ＝vt，vt=(v/２)，ＯＣ＝v2t，v2t=(v/４)，ＯＤ为待求量v3t．设恒力方向与v方向成π－α角，由图给几何关系，在△ＯＡＢ、△ＯＡＣ、ＯＡＤ中运用余弦定理，得

(ｖ/２)＝ｖ＋Δｖ－２ｖ·Δｖ·ｃｏｓα，

(ｖ/４)2＝ｖ2＋（２Δｖ）2－２ｖ·２Δｖ·ｃｏｓα， 3t2＝ｖ2＋（３Δｖ）2－２ｖ·３Δｖ·ｃｏｓα． ｖ

2

2

2

由此方程组可解得物体在恒力作用3t时间后的速度大小为ｖ3t＝(/4)ｖ．

例4从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大．

分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的时间t内，速度增量Δv恒为竖直向下，大小为gt，落地时速度v的大小为

，v0、vt与与Δv构成如图4-7

所示矢量三角形关系．图中θ角、α角分别是初速度、落地速度与水平方向的夹角．注意到在矢量三角形的面积Ｓ△＝(１/２)ｇｔ·ｖ0ｃｏｓθ式中，v0tｃｏｓθ即为抛体飞行的水平位移x，则有Ｓ△＝(１/２)ｇｘ．这样，我们只须考虑何时矢量三角形有最大面积即可．由于Ｓ△＝(１/２)ｖ0·ｖtｓｉｎ（θ＋α），而v0、vt大小确定，则当（θ＋α）＝90°，即θ＝ａｒｃｔａｎ(ｖ0/

)时，S△有最大值：(１/２)ｇｘ＝(１/２)ｖ0·ｖt，亦

/ｇ)．

即物体飞行的水平位移将达到最大，其值为ｘm＝(ｖ0

4

图4-7

例5网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度vＰ运动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α，速度vＰ和此法线的夹角φ是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．

分析与解本题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的隐含条件：第一，重球拍的“重”告诉我们，可以认为拍的速度vＰ在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，则告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量．现取球拍面之法线为x轴，使y轴沿拍面，O为网球入射点，如图4-8所示，从O点沿与x轴成α角方向作有向线段ＯＡ＝v0，作射线OP⊥OA，从A点作x轴平行线交OP于Ｂ，取AB中点C，则有向线段ＯB即是球离拍时的速度vt，有向线段ＯC则是球拍速度vＰ，而有向线段CＡ、CB则是射入时球对拍速度v0－vＰ和弹回时球对球拍速度vt－vＰ，前面已经分析到，它们是等值、反向且沿球拍法向的．根据所作的矢量图，在直角三角形OAB中，斜边上的中线ＯＣ＝(ＡＢ/２)，ＡＢ＝(ＯＡ/ｃｏｓα)．故ｖP＝(ｖ0/２ｃｏｓθ)，而球拍速度与球拍法线方向夹角为φ＝２（(π/２)－α）＝π－２α．

5

图4-8 小试身手

1.甲、乙两船在静水中航行速度分别为v甲和v乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲∶t乙＝_____________．

2.骑自行车的人以20km／h的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40km／h的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．

3.从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．

4.如图4-9所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，船速为v0，一艘速率为v（v＜v0）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．

图4-9

（1）证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的(

/ｖ)·D处．（2）如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截

住这条船？

5.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速度之比v1∶v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向

6

从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）

6.敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度ω转动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v0竖直下落．试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？

7.如图4-10所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v1＝50km／h和v2＝70km／h行驶，行驶方向如图所示．求风速．

图4-10

8.磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r末为初半径ｒ初的３倍．绕带的时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？

9.在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t1＝20min减小一半．问此后半径又减小一半需要多少时间t2？

10.快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以认为是直线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v0＝2.5km/h沿与湖岸成α＝15°角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v1＝4km/h行走或在水中以速度v2＝2km/h游去，此人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？

11.如图4-11所示，在仰角α＝π/６的雪坡上举行跳台滑雪比赛．运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上Ｂ点，坡上O、B两点距离L为此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50m，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角为多大？

图4-11

7

12.一条在湖上以恒定速度行驶的船上，有一与船固连的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸，小球速度的大小为v1，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直．问船的速度应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的． 参考答案

1.甲、乙船速度矢量关系如图答4-1，两船航程相同，由图得(ｔ甲/ｔ乙)＝(ｖ乙/ｖ甲)．

2

2

图答4-1

图答4-2

2.速度矢量v风=v风对人+v人的关系如图答4-2，由图易得v风≈28km/h．

3.以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度v21做匀速直线运动，速度矢量关系如图答4-3，由图知ｖ21＝

，两石块最短距离ｄ＝ｌ·ｓｉｎθ＝(ｖ1/

)

ｌ，这个最短距离适用于另一石块落地之前，即

(ｌcosα)/()＝(ｌｖ2)/(ｖ12＋ｖ22)≤时．

8

图答4-3 图答4-4

4.（1）艇相对船的速度方向不会超过θ，如图答4-4所示，ｃｏｔθ＝(/

ｖ)，A点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过θ，则A点在港口后面ｓ＝D·ｃｏｔθ＝(（2）当v相对=ｖ0/ｖ0

/ｖ)D．

时，根据题目要求，此时s相对(D/sinθ)＝(Dｖ0/ｖ)，ｔ＝(D

2

)，截住船的位置在A前方ｖ0ｔ＝(Dｖ0/)处．

5.冰雹落向车的速度与弹离车速度遵守“反射定律”，故汽车以v1运动时，v雹近车的方向与车玻璃法线成β1，汽车以v2运动时，则成β2角，各速度矢量关系如图答4-5，由如图答4-５所示的甲、乙两图分别有ｖ1＝ｖ雹ｃｏｔ３０°，ｖ2＝ｖ雹ｃｏｔ６０°，则(ｖ1/ｖ2)＝(３/１)．

图答4-5

6.v人=rω，v雨=v0，v雨对人=v雨－v人，矢量关系如图答4-6所示，由图可知，相对于人，雨的速度方向为θ＝ａｒｃｔａｎ[(ｒω)/ｖ0]，此即撑伞方向．

图答4-6

图答4-7

9

7.观察照片，将两车之距离AB按5∶7比例分成左、右两部分，分点C为两车相遇处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点C到照片上位置历时ｔ＝ＡＢ/(ｖ1＋ｖ2)，风速为ＣＯ/ｔ≈３５km/h．

8.如图答4-８所示，设磁带的总长l，由题意当带厚为d时有ｌｄ＝π（9ｒ初2－ｒ初2），当带厚为(d/2)时有ｌ(ｄ/２)＝π（Ｒ－ｒ初），得绕好后带卷半径R＝ｒ初/ｄ)(２π/ω)；ｔ2＝(（

2

2

ｒ初，因ｔ1＝(２

－１）ｔ1．

－１）ｒ初/ｄ／２)·(２π/ω)，得ｔ2＝（

9.与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的，ｔ1＝(π（４ｒ2－ｒ2）/ｄｖ)，ｔ

2

＝(π（ｒ－(１/４)ｒ）/ｄｖ)，则ｔ2＝(ｔ1/４)＝５min．

22

图答4-8

图答4-9

10.作快艇与人运动的位移矢量图，人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形如图答4-9，设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有

（２ｙ）＝（４ｘ）＋［２．５（ｘ＋ｙ）］－２×４ｘ×２．５（ｘ＋ｙ）ｃｏｓ１５°，整理得 ［89-20（

＋

）］ｘ2＋［５０-２０（＋

＋

）］ｘｙ＋９ｙ2＝０，

＋

）］＞０，

2

2

2

因Δ＝［５０－２０（）］2－４×９［８９－２０（

此式有解，即人能赶上以2.5km/h飘行的快艇；推至一般，只要

（2ｙ）2＝（4ｘ）2＋［ｖ（ｘ＋ｙ）］2-2×4ｘ×ｖ（ｘ＋ｙ）cos15° 式成立，即，只要 Δ＝（ｖ≤２

－１）ｖ2－２（

＋

）ｖ＋１６≥０，

ｋｍ／ｈ总可赶上．

11.如图答4-10所示．

10

ｘ＝Ｌcosα， ｙ＝Ｌsinα．

ｘ＝ｖ0cosθｔ，

2

ｙ＝ (１/２)ｇｔ－ｖ0ｔsinθ．

图答4-10

图答4-11

ｙ/ｘ＝ｔａｎα＝[(１/２)ｇｔ－ｖ0ｓｉｎθ]/(ｖ0ｃｏｓθ)

ｔ＝[2(ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ)]/ｇ，代入ｘ＝ｖ0ｃｏｓθｔ， ｖ0＝１０

ｍ／ｓ，α＝(π/６)，ｇ＝１０ｍ·ｓ

-2

ｘ＝ｖ0ｃｏｓθ(２（ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ）)/ｇ ＝２ｖ02(ｔａｎα·ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ/ｇ)． ＝１００(

/３)＋１００（ｓｉｎ２θ＋(

/３)ｃｏｓ２θ）

由ａｓｉｎθ＋ｂｓｉｎθ＝ｓｉｎ（２θ＋ａｒｃｔａｎ(ｂ/ａ)），得

上式＝１００(/３)＋１００·ｓｉｎ（２θ＋(π/６)）．

当２θ＝(π/３)时，Ｌ最大，则θ＝(π/６)，代入得 Ｌmax＝１００

（ｍ）．

12.设船速为v0，因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与反射速度大小相等，速度方向遵守“入射角与反射角”，如同例5作矢量关系图如图答4-11，由图知只要v0沿墙的法线方向分量ｖON＝ｖ1/2即可．

11

ｘ＝Ｌcosα， ｙ＝Ｌsinα．

ｘ＝ｖ0cosθｔ，

2

ｙ＝ (１/２)ｇｔ－ｖ0ｔsinθ．

图答4-10

图答4-11

ｙ/ｘ＝ｔａｎα＝[(１/２)ｇｔ－ｖ0ｓｉｎθ]/(ｖ0ｃｏｓθ)

ｔ＝[2(ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ)]/ｇ，代入ｘ＝ｖ0ｃｏｓθｔ， ｖ0＝１０

ｍ／ｓ，α＝(π/６)，ｇ＝１０ｍ·ｓ

-2

ｘ＝ｖ0ｃｏｓθ(２（ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ）)/ｇ ＝２ｖ02(ｔａｎα·ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ/ｇ)． ＝１００(

/３)＋１００（ｓｉｎ２θ＋(

/３)ｃｏｓ２θ）

由ａｓｉｎθ＋ｂｓｉｎθ＝ｓｉｎ（２θ＋ａｒｃｔａｎ(ｂ/ａ)），得

上式＝１００(/３)＋１００·ｓｉｎ（２θ＋(π/６)）．

当２θ＝(π/３)时，Ｌ最大，则θ＝(π/６)，代入得 Ｌmax＝１００

（ｍ）．

12.设船速为v0，因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与反射速度大小相等，速度方向遵守“入射角与反射角”，如同例5作矢量关系图如图答4-11，由图知只要v0沿墙的法线方向分量ｖON＝ｖ1/2即可．

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