2022年高考数学一轮复习 第九章 数列 第64课 通项与求和(1)教案

通项与求和（1）

一、教学目标

1． 熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求通项；

2． 掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.

二、基本方法回顾与梳理

1、20-是不是等差数列 2

21,7,27,0---，中的项，如果是，是第几项？ 【教学建议】本题为课本上原题，主要帮助学生回忆等差数列通项公式及如何判别是否为数列中的项。

（1）教学时建议让学生先讨论判别方法，(2)分别让两个学生用列举法写出该数列看是否有-20和方程20-=n a 是否有正整数解。教师再作点评和总结：当所判别的项不是很大时，可用列举法；当所判别的项很大时，应该转化为方程有无整数解问题．

2、数列}{n a 的前n 项和n S ,满足21n S n =+，求n a .

【教学建议】本题主要复习利用n S 与n a 关系求通项公式．

教学过程中可以让学生先做，然后让忽略1n =学生板演，然后向学生解释为什么1n =时1n n n a S S -=-发生错误，教师一定要强调11S a =。n n S a ,的关系???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n

n ，在1-n S 中必须2n ≥（适用所有数列）．

3、已知数列}{n a 中，1a =1且满足121n n a a +=+，则_________=n a ．

【教学建议】本题复习构造新数列将问题转化为等差数列或等比数列．

（1）教学过程中教师可以先让学生通过递推得：,1211212,1121+=+?=+==a a a

,,1221)12(223 ++=++=a 121222121n n n n a --=++

++=-，进行猜想归纳，然后再给予证明。 （2）由上述结论121222121n n n n a --=++++=-，引导学生经过移项得12n n a +=，则}1{+n a 构成

等比数列，因面构造出新数列为：112(1)n n a a ++=+，并总结出1(1)n n a pa q p +=+≠?11

n q a p ++- ()1n q p a p =+-，从而转化为数列}1

{-+p q a n 成等比数列． （3）让学生尝试练习：数列}{n a 中，11=a 且满足122n n n a a +=+，求n a ．

4、（1）数列}{n a 中，若11=a 且满足12n n n a a +=+，求n a ．

（2）已知数列}{n a 中，3

212,111+-==+n n a a a n n ，求n a ． 【教学建议】本题复习利用累加、乘法求通项．

（1） 在（1）的教学过程中先让学生进行讨论解题方法，可能有学生进行递推归纳，如果将叠代过程写成竖式进行相加则更简单，强调：即使数学解题方法一样，表示形式不一样，也会影响解题效果．

（2） 让学生总结：形如)(1n f a a n n +=+（其中数列{})(n f 可以求和）的递推数列，可以用累加法； 形如

)(1n f a a n

n =+（其中数列{})(n f 可以求积），可用累乘法． （3） 在用到叠加、叠乘时注意n 的取值范围；用到叠乘要注意相消的规律，剩的是那些项． 三、诊断练习

1．若数列}{n a 是等差数列，且16,442==a a ，则_________=n a ．

【分析与点评】本题属于“知3求2”，利用通项公式。也可以将通项公式推广为：d m n a a m n )(-+=；同时强调数列是函数值列，是函数的特殊情形．从图上来看：是直线上的孤立点，=d n m a a n m --为直线的斜

率．

【变式1】若数列}{n a 是等比数列，且16,442==a a ，则____________=n a ．

【变式2】已知等比数列}{n a 的各项都为正数，它的前三项依次为52,1,1++a a ，则数列}{n a 的通项公式____________=n a ．

【分析点评】变式1：本题这里属基本数列中知3求2，注意242q q =?=±应有两解，同时也可以将通项公式推广为n m n m a a q -=无需再求1a .变式2:应提出a 值能否确定，然后由a 值求公比q ，写出通项公式.

2．已知数列{}n a 满足*11,)n a a n N ==∈，则它的通项公式n a =___________．

【分析与点评】本题主要观察已知条件，对n a ={}

2n a 是等差数列，注

意到n a >0，进而得出n a

3．若数列}{n a 的前n 项和n S 满足12-=n n a S ，则_________=n a .

【分析与点评】教学中教师要强调1121n n S a --=-中隐含着2≥n ，因此相减得出的12n n a a -=中也是2≥n ，由此可见}{n a 成等比数列，其次在12-=n n a S 中令1=n 挖掘出11=a （注意与诊断练习2的区别和联系）．

【变式】若数列}{n a 的前n 项和n a S n n -=2，则_________=n a .

【分析与点评】教师可以让学生先尝试，比较所得结果与前者的区别。n a S n n -=2与112(1)n n S a n --=--相减得：)2(121≥+=-n a a n n ,转化为基本方法回顾与梳理中（3）.并与回顾与梳理中（2）比较差别．

4．若数列}{n a 的前n 项和n S 满足122+=n S n ，则它的通项公式n a = ．

【分析与点评】教学过程中可以让学生先做，然后让忽略1n =学生板演，然后向学生解释为什么1n =时

1n n n a S S -=-发生错误，教师一定要强调11S a =。n n S a ,的关系???≥-==-)2()1(11

n S S n S a n n

n ，在1-n S 中必须2n ≥（适用所有数列）．

四 、范例导析

例1：已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？

【教学处理】本题第（1）问、.第（2）问主要是强化学生求解有关数列基本量的运算能力，教学中让学生自主完成，根据学生实际适当点评即可．同时要求学生列式要清晰，运算要准确．

答案（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .

因为432a a -=，所以2d =.

又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.

所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,

)n =. （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .

因为238b a ==，3716b a ==，

所以2q =，14b =.

所以61642128b -=?=.

由12822n =+，得63n =.

所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.

【备用题】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,4S ,2S ,3S 成等差数列,且23418a a a ++=-.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)是否存在正整数n ,使得2015n S ≥?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.

解：(1)设数列{}n a 的公比为q ,则10a ≠,0q ≠. 由题意得

2432234,18,S S S S a a a -=-??++=-? 即 23211121,(1)18,

a q a q a q a q q q ?--=??++=-?? 解得13,2.a q =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.

(2)由(1)有 3[1(2)]1(2)1(2)

n n n S ?--==----. 若存在n ,使得2015n S ≥,则1(2)2015n --≥,即(2)2014.n -≤-

当n 为偶数时,(2)0n ->, 上式不成立;

当n 为奇数时,(2)22014n n -=-≤-,即22014n ≥,则11n ≥.

综上,存在符合条件的正整数n ,且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N

数列{}n a 的前n 项和n s 满足 122+=n s n ，则=n a ．

{}{}11112.=1=2,;21(2)=1,

,.23n n n n n n n n a a a a n a a n a a a a n +++-=+例求数列的通项公式

（1）已知数列中，，求已知数列中，求

（3）已知数列{}n a 中，11=a ，521+=+n n a a ，求n a .

【教学处理】第（1）问可让学生板演，教师点评．第（2）问教师先提问学生，再由学生书写，教师点评． 第（3）问可让学生小组讨论，再由学生展示思路，教师点评。

【引导分析与精讲建议】

1、 第（1）题引导学生观察式子的特点，运用叠加的方法求出n a ，注意项数并对 n=1进行验证；

2、 第（2）题引导学生观察式子的特点，类比运用累乘的方法求出n a ，注意项数并对 n=1进行验证：

3、 第（3）题引导学生观察式子的特点，通过配凑的方法构造出等比数列。

例3 数列}{n a 满足递推式：)2(1331≥-+=-n a a n n n ，又51=a ．

（1） 若?

????

?+n n a 3λ为等差数列，求实数λ的值； （2） 求数列}{n a 的通项公式． 【教学处理】指导学生独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程．

【引导分析与精讲建议】

1、第（1）题可以引导学生思考已知是等差数列，你想到了哪些结论，这些结论中哪个适用于本题？（意在引出特殊值法）．

2、对于第（2）题可以有两种方法解题，教师可先提问学生说自己的解题.

方法一 直接由第（1）题中得到的数列而求解，可以向学生提出两个问题：

问题1：（1）中的数列?

?????+n n a 3λ的通项公式你会求吗？ 问题2：由（1）中的数列?

????

?+n n a 3λ的通项公式你想到怎么求数列}{n a 的通项公式吗？ 方法二 将递推式)2(1331≥-+=-n a a n n n 两边同时除以n 3，变成n n n n n a a 3

113311-=---，然后利用叠加法，求出n n a 3的通项公式，从而求出n a 。于是总结出一类求通项的问题，形如q pa a n n +=-1形式的数列，可以用构造新数列的方法来处理，并与例2（3）类比．

五、解题反思

1、求数列的通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，对于数列通项公式主要抓基本数列、基本方法同时数列注意数列条件限制,如正项数列、等比数列中任何一项不为0。同时要分清第1+n 项与第n 项表达式关系。

2、高考也往往通过考查已知n S 求n a ，这种问题通常用到公式法，如诊断4.但要注意对1=n 情况的讨论，学生容易遗漏.

3、另外一种是通过递推关系来求通项公式是对学生能力要求比较高,通过化简、变形、代换把一些较复杂的数列关系题化归为中学所研究的等差或等比数列，而用什么样的方法具有一定灵活性，要结合递推关系式的形式来处理.

4、对于数列问题中常用的累加，累乘，配凑、取倒数后转化为等差或等比数列，以及两式相减等手段和方法在解题中需不断的渗透和强化。

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