结构分析专题读书报告

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读书报告

课程名称系所专业姓名学号日期

结构分析专题理论与实践

1 常见的结构抗震分析方法 ........................................................................................................... 4

1.1 反应谱 ................................................................................................................................ 4

1.1.1 反应谱相关概念 ..................................................................................................... 4 1.1.2 底部剪力法 ............................................................................................................. 6 1.1.3 振型分解反应谱法 ................................................................................................. 6 1.2 时程分析法 ........................................................................................................................ 8 1.3 静力弹塑性分析 ................................................................................................................ 9

1.3.1 等效单自由度体系 ............................................................................................... 10 1.3.2 水平侧力加载模式 ............................................................................................... 11 1.3.3 结构位移性能需求 ............................................................................................... 13 （1）目标位移法 ........................................................................................................... 13 （2）能力谱法 ............................................................................................................... 14 1.4 基于能量的模态推覆分析（MPA）方法 ...................................................................... 15 1.5 逐步增量弹塑性时程分析（IDA）方法 ....................................................................... 16 2 钢筋混凝土结构材料的本构关系 ............................................................................................. 17

2.1 钢筋混凝土材料的理论模型 .......................................................................................... 17

2.1.1 线弹性本构关系 ................................................................................................... 17 2.1.2 非线性弹性关系 ................................................................................................... 17 2.1.3 弹塑性关系 ........................................................................................................... 18 2.1.4 粘弹性和粘塑性的流变模型 ............................................................................... 19 2.1.5 断裂力学理论 ....................................................................................................... 19 2.1.6 损伤力学 ............................................................................................................... 19 2.2 钢筋的本构关系 .............................................................................................................. 20

2.2.1 单向加载下，钢筋的应力-应变关系 .................................................................. 20 2.2.2 反复加载下，钢筋的应力-应变关系 .................................................................. 21 2.3 混凝土本构关系 .............................................................................................................. 22

2.3.1 单调加载应力-应变关系 ..................................................................................... 22 2.3.2 重复加载应力-应变关系 ..................................................................................... 24 2.3.3 反复加载应力-应变关系 ..................................................................................... 25 2.3.4 混凝土双向受力下应力-应变关系 ...................................................................... 25

3 钢筋混凝土有限元模型 ............................................................................................................. 29

3.1.1 分离式模型 ........................................................................................................... 29

3.1.2 组合式模型 ........................................................................................................... 31 3.1.3 整体式模型 ........................................................................................................... 32

4 非线性方程组的解法 ................................................................................................................. 32

4.1 结构分析的非线性问题 .................................................................................................. 32

4.1.1 几何非线性问题 ................................................................................................... 32 4.1.2 材料非线性问题 ................................................................................................... 32 4.1.3 边界非线性 ........................................................................................................... 33 4.2 求解非线性方程组的逐步增量法 .................................................................................. 33 4.3 求解非线性方程组的迭代法 .......................................................................................... 34

4.3.1 割线刚度迭代法 ................................................................................................... 34 4.3.2 切线刚度迭代法 ................................................................................................... 34 4.3.3 等刚度迭代法 ....................................................................................................... 35 4.4 收敛标准 .......................................................................................................................... 36 5 常用有限元程序中的混凝土模型 ............................................................................................. 37

5.1 ANSYS ............................................................................................................................. 37

5.1.1 混凝土模型 ........................................................................................................... 37 5.1.2 钢筋模型 ............................................................................................................... 38 5.1.3 前后处理 ............................................................................................................... 38 5.1.4 二次开发 ............................................................................................................... 38 5.2 ABAQUS .......................................................................................................................... 38

5.2.1 混凝土模型 ........................................................................................................... 38 5.2.2 钢筋模型 ............................................................................................................... 41 5.2.3 前后处理 ............................................................................................................... 41 5.2.4 二次开发 ............................................................................................................... 41

参考文献......................................................................................................................................... 41

1 常见的结构抗震分析方法

常用的抗震分析方法可分为两大类。一类是等效地震作用的静力计算方法，运用反应谱（包括底部剪力法和振型分解反应谱法）求得作用于建筑物上的等效地震力，并将其作为静力荷载进行结构分析，得到结构的内力和位移。另一类是直接求解地震作用下结构内力和变形的方法，如弹性和弹塑性时程分析方法。

我国的抗震设计思想为“三水准设防目标，两阶段设计步骤”。所谓两阶段设计步骤指的是小震作用下的弹性内力和变形分析以及大震作用下的弹塑性变形分析。小震作用下的弹性分析包括反应谱法和弹性时程分析法，这两种分析方法现有的商业化软件做的比较成熟；大震作用下的弹塑性变形分析包括弹塑性时程分析和静力非线性（推覆）分析，这两种非线性分析目前还不够完善。

1.1 反应谱

1.1.1 反应谱相关概念

反应谱是指单自由度体系对于某个实际地震地面运动的最大反应与体系的自振特性（自振周期和阻尼比）之间的函数关系。地震反应谱建立了结构体系本身的动力特征与地震反应之间的关系，反映了地震动的强度及频谱特征。

反应谱的标准化是指反应谱与引起该反应的地震动最大幅值之比，该比值即为标准化反应谱。对反应谱进行标准化处理可以消除地震动强度的影响，突出地震动频谱特征的影响。

?g，弹性和弹塑质量为m的单自由度体系在强地面运动作用下，若地面运动加速度为?x性单自由度体系的运动微分方程可由达朗伯原理得到为：

mx?cx?kx??mxg(t) （1.1）

mx?cx?F(x)??mxg(t) （1.2）

?,x?及x分别为体系的加速度、式中，c为结构的阻尼系数。?速度及位移。（1.1）和（1.2）x式的主要区别在于等式左端的第三项，（1.1）式中的k是弹性体系的刚度系数，kx表示体系的弹性恢复力，仅仅是时间的函数，而（1.2）式中的F(x)则表示弹塑性体系的恢复力，当体系在弹性阶段时，它也仅仅是时间的函数，但当体系进入了非弹性变形阶段，它就随体系位移改变而改变。

弹性反应谱基于结构是单质点单自由度的弹性体系，认为结构所处的地面相当于刚性平面以及地面运动时程就是强震观测记录等三个假设而得到。对于一组N个具有不同自振周

期T（=1，2，??,N）和相同阻尼比的单自由度体系，在某一给定地震加速度的作用下，可求得各体系的最大加速度反应Sa，最大速度反应Sv和最大位移反应Sd。将所得到的最大反应按周期（或频率）的大小排列起来，所得到的Sa、Sv和Sd与周期的关系曲线分别称为绝对加速度反应谱、相对速度反应谱和相对位移反应谱，总称为弹性反应谱。弹性反应谱主要反映了地震动的频谱特性。

令Sa??xg(t)max及xg(t)max?kg，则有

F?mSa?m?kg??kG （1.3）

其中xg(t)max为地震动峰值加速度，?为动力系数，k为地震系数，G为质点的重力

荷载代表值。从式 (1.3)可知，求作用在质点上的水平地震作用的关键在于求出动力系数?和地震系数k。

为简化计算，将地震系数k和动力系数?以两者的乘积?表示，称之为地震影响系数。即：

??k? （1.4）

则有

F??G （1.5）

因为

??k??(xg/g)(Sa/xgmax) （1.6）

所以地震影响系数?就是单质点线性系统在地震时以重力加速度为单位的最大反应加速度。我国抗震设计规范就是以地震影响系数?作为抗震实际依据的，其数值根据设防烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定，如图1.1所示。

图1.1 地震影响系数曲线

dt?1??tEc?1?tpl(1/bt?1)??tEc?1 （5.8）

其中：bc = 0.1

1?d?(1?scdt)(1?stdc) （5.9）

5.2.2 钢筋模型

ABAQUS可以添加单独的钢筋单元，也可以在单元属性中附加钢筋属性以定义组合模型的钢筋，还可以通过Embed方法将链杆单元或者膜单元嵌入混凝土单元中，ABAQUS可以自动耦合自由度。ABAQUS钢筋的一般定义方法为：定义钢筋的斜面积，间距，方向，钢筋所对应的单元边界编号以及在该边上的相对位置，如图所示。

5.2.3 前后处理

在ABAQUS中，混凝土材料参数和组合式钢筋的输入已经集成在GUI图形界面中，在后处理中可以绘制混凝土的额开裂应变（目前只针对弹塑性断裂-损伤模型）。

5.2.4 二次开发

ABAQUS中提供的UMAT用户自定义子程序可以由用户由FORTRAN语言自己定义混凝土的本构关系。

参考文献

[1] 吕西林.《复杂高层建筑结构抗震理论与应用》[M]，科学出版社，2007. [2] 朱伯龙等.《钢筋混凝土结构非线性分析》[M]，同济大学出版社，1985.

[3] 北京金土木软件技术有限公司.《 Pushover分析在建筑工程抗震设计中的应用》[M]. 中

国建筑工业出版社,2010.

[4] 吕西林等，《钢筋混凝土结构非线性有限元理论》[M]，同济大学出版社，1997. [5] 江见鲸等.混凝土结构有限元分析[M].北京：人民交通出版社,2007

[6] 王中强，徐志武. 基于能量损伤的混凝土损伤模型[J].建筑材料学报，2004,12（7）：365-369.

[7] V. Birtel, P. Mark. Parameterised Finite Element Modelling of RC Beam Shear Failure[J].

2006

[8] 李宁.基于MPA和IDA的偏心结构性态评估分析方法[D].博士论文，2010 [9] 马千里.钢筋混凝土框架结构基于能量抗震设计方法研究[D].博士论文，2009

弹性本构关系——增量式的模式应用较多，这里介绍其中一种模式：Darwin和Pecknold模式。

Darwin和Pecknold模式的基本假定：混凝土为正交各向异性材料，并且在各级荷载增量内应力-应变成线弹性关系，其应力增量和应变增量关系式为：

?d?1?1???d?2???d??1??1?2?12??E1?2E1??EE2?12?0?0??d?1???d????2? （2.6） ???1??1?2?G???d?12?00式中，E1和E2为施加一级荷载后在主应力方向的等效切线模量；

d?1，d?2，d?12为由荷载增量引起的应力增量； d?1，d?2，d?12为由荷载增量引起的应变增量；

?1，?2为由于在方向1,2受力而对方向2,1所产生影响的泊松比值。

各向异性体弹性力学的基本关系式为

?1E2??2E1 （2.7）

并近似取 ?2??1?2 （2.8）这样，式就成为

?d?1?1???d?2??2?d??1???12??E1?E1E2?E2??E1E2?00???d?1????0??d?2? （2.9） 1??2G??d?12????0??公式，E1,E2,G,?的取值方法如喜爱所述。（a）剪切模量G的取值

由于缺少有关的试验资料，做出了一些假定后，G与E1,E2的关系式可取为

?E?E?1???G?14212?2?E1E2 （2.10）

?则式子变成

?d?1?1???d?2??2?d??1???12???E1??EE12??0???E1E2E20???d?1???d?? （2.11） 0??2??d??1?12?E1?E2?2?E1E2??4?0??（b）泊松比?的取值

?的取值可有试验得出，在0.15-0.20之间，?值的大小对于计算结果影响相对较小。

Darwin和Pecknold建议，双向受拉时，??0.2

??????一向受拉、一向受拉时，??0.2?0.6?2??0.4?1? （2.12）

?f???f???c??c?44（c）E1,E2的取值

E1,E2可由试验得出，但E1,E2究竟是取单向加载的试验结果还是取双向受荷下的试验结果，

两种不同的取法，均存在一些问题。

试验研究表明，双向受压时，微裂缝受约束，其刚度增长远比泊松比单独影响引起的增长打得多。如果取用正交方向单向加载试验得出的切线模量，公式就意味着任意方向有效刚度由于另一方向压应力作用而产生的增长，仅与泊松比有关，没有考虑微裂缝受约束的影响。若取用双向受荷下得出的切线模量值，将该值代入应力增量与应变增量式中计算，这样，泊松比就会再一次得到重复考虑，其原因是双向受荷下的应力-应变关系式已考虑到泊松比和微裂缝受约束的影响。这在理论上是不正确的。

鉴于上述原因，如果取用双向受荷下得出的切线模量值，就必须在双向受荷试验得出的应力-应变关系式中消除泊松比的影响因素，为此，Darwin和Pecknold提出了等效单向受力应变-应力关系式，用以代表消除了泊松比影响之后（没有消除微裂缝影响）的应力-应变关系。这些应力-应变曲线随???1比值的变化而异。 ?2混凝土在双向受压应力状态下，主应力各为?1,?2，假定在每级荷载增量内应力-应变变成弹性关系，于是可得出下式：

d?1?d?1?d?2?E1E2d?2?d?1d?2??E2E1 （2.13）

对式中第二式稍加整理后可得：

d?2?E2d?2?E2d?2u （2.14） 1???n式中，???1Ed?2;n?1;d?2u?为方向2的等效单向受力应变。 ?2E21???n于是，式中的E2由于等效单向受力应变d?2u的引入而消除了泊松比的影响，d?2方向的应力可由等效单向受力应变d?2u及响应的弹性模量E2求得。

图2.16表示了这样一条曲线，从这条曲线中取得切线模量，再加上考虑泊松比影响，就可以得到双向受力下真实的应力增量与应变增量的关系式。

图2.16 等效单向受力应力-应变曲线

根据Darwin和Pecknold所做的分析，从双向受力应力-应变曲线中消除泊松比影响后得到的等效单向应力-应变关系式仍可用Saenz公式。其形式表示为：

?i?E?iu?E???iu???iu1??0?2?????????E?s??ic???ic????3 （2.15）

式中，i为主应力方向；?iu为等下单向受力应变，即?iu????i；?ic为相应于最大压Ei应力?ic的等下单向受力应变；Es为相应于最大压应力?ic的割线模量Es?切线模量。

2. 弹塑性本构模型

?ic；E0为原点?ic经典的塑性理论主要有两种，一种是形变理论，二是增量理论。形变理论是弹塑性小变形理论的建成，该理论试图直接建立全量式应力-应变关系，形变理论的数学处理比较简单，但理论上并非最好，而且仅适用于简单加载情况（在按比例加载的情况下可以得到较理想的结果）。在电子计算机得到广泛应用的情况喜爱，形变理论已较少采用。

增量理论又称为流动理论，是描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论，这一理论实际应用中需要按加载过程积分，计算比较复杂，但随着电子计算机的额发展和计算方法的改进，增量理论已得到广泛的应用。

弹塑性增量理论要对三个方面做出基本假设：

（1）屈服准则，即应力状态满足什么条件时进入屈服状态；（2）流动法则，它确定了材料处于屈服状态时塑性变形增量的方向；

（3）硬化法则，关于材料达到初始屈服面以后，屈服条件变化的法则，相当于一维应力状态下，材料到达初始屈服条件后，其屈服极限是不变的（理想弹塑性）、还是提高（硬化弹塑性）或是降低（软化）的法则。

3 钢筋混凝土有限元模型

美国学着Clough于20世纪50年代提出有限元方法时，是基于结构力学中的矩阵位移法，随后被证明在数学上是分片插值的一种逼近法，并可证明当结构单元划得充分小时，可以逼近精确解，在一般情况下，可以得到满意的解答。使用有限元法分析问题一般包括如下几个步骤。

（1）将结构离散化。所谓离散化，是将所分析的结构分割成有限元单元体，使相邻单元仅在节点处相连接，分析对象由这个单元结合体代替原有结构。如果分析对象是桁架、刚架等杆件结构，一般可取一个杆件作为一个单元，而这类结构的联节点即为节点，如果分析的是二维、三维连续体，那么可根据实际结构的形状、材料组成和计算精度的要求去剖分单元，单元可以是三角形、四边形或四面体、六面体。

（2）单元分析，求得单元节点位移与节点力的关系，计算单元刚度矩阵。在杆件结构中，杆件的节点力与节点位移之间的关系可用结构力学的方法，通过平衡（应力与外力）、协调（位移与变形）和物理（应力与应变）关系求得。例如梁的转角位移方程。将单元节点力与节点位移用矩阵形式表达，即可得到单元刚度矩阵。在连续体（非杆件）结构中，单元节点力与结构位移之间的关系式（单元刚度矩阵）一般很难用结构力学的方法推导出来，而是假设位移插值函数，再用虚功原理来推导。

（3）以节点为隔离体，建立平衡方程。在有限元计算中不必逐个节点建立平衡方程，而是通过集合单元刚度矩阵为整体刚度矩阵来完成。

（4）施加荷载（如是非节点荷载可由静力平衡条件转化为节点荷载）。

（5）引入边界条件。为经引入边界条件时，刚度矩阵式奇异的。从力学角度来看，这是由于没有边界约束的结构可以产生刚体位移，因而在一定的荷载作用下无法确定其位移的大小。

（6）求解方程，求得节点位移。

（7）对每一单元循环，由单元节点位移通过单元刚度矩阵求得单元应力或杆件内力。

3.1.1 分离式模型

分离式模型把混凝土和钢筋作为不同的单元来处理，即混凝土和钢筋各自被划分为足够

小的单元。在平面问题中，混凝土可划分为三角形或四边形单元，钢筋也可分为三角形或四边形单元。但考虑到钢筋是一种细长材料，通常可忽略其横向抗剪强度。这样，可以将钢筋作为线形单元来处理。这样处理，单元数目可以大大减少，并且可以避免因钢筋单元划分太细而在钢筋和混凝土的交界处应用很多过渡单元、

在分离式模型中，钢筋和混凝土之间之间可以插入联结单元来模拟钢筋和混凝土之间的粘结和滑移，如图3.1所示。这一点是组合式或整体式有限元模型做不到的。但若钢筋和混凝土之间的粘结很好，不会有相对滑移，可视为刚性联结，这时也可以不用联结单元。

图3.1 联结单元

对混凝土有限元分析中常用单元有杆件线形单元（平面单元）、平面三角形单元、平面问题矩形单元和平面四节点等参单元；在钢筋混凝土有限元分析中，有一种特殊单元，即能描述钢筋与混凝土之间粘结作用的单元。一般有常用的两种单元，即双弹簧连接单元与四边形滑移单元，

分离式有限元模型的特点是混凝土单元刚度矩阵?Kc?、钢筋单元刚度矩阵?Ks?是分别计算的，然后统一集成到整体刚度矩阵?K?中去。其优点是可按实际配筋划分单元，必要时可在钢筋与混凝土之间嵌入粘结单元。该单元的缺点是，当配筋量大且不规则时，划分单元数量最大。

3.1.2 组合式模型

当钢筋和混凝土之间的粘结较好，可以认为两者之间无滑移时，可采用组合式或整体式模型，参考书目中主要介绍组合式模型。

1. 分层组合式

在组合式模型中，最常见的有两种方式，第一种为分层组合式，即在横截面上分成许多混凝土层和若干钢筋层，并对截面的应变做出某些假设（如应变沿截面高度为直线分布是应用最广泛的一种假设）。根据材料的实际应力应变关系和平衡条件可以导出单元的刚度表达式（包括轴向刚度和弯曲刚度）。这种组合方式在杆件系统，尤其在钢筋混凝土板和壳结构中应用最广。

这一方法将混凝土分为许多条带，对钢筋则同一层钢筋分为同一钢筋条带。对一般受弯构件，将混凝土分为7-10层计算弯矩和曲率的关系即能满足工程要求。计算中，假定每一条带上的应力是均匀分布的。

图3.2 分层组合式

2. 带钢筋的四边形单元和带钢筋膜的8节点六面体单元

另外一种组合方法是采用等参数单元。若假定钢筋与混凝土之间无相对滑移，则两者处于同一为一场中，各点的位移均可由节点的位移来确定。与一般均匀连续体不同指出在于，这种组合单元包括了钢筋对刚度单元的贡献。

该方法通过计算钢筋单元的矩阵，联系钢筋的节点力和节点位移，将钢筋的单元矩阵贡献到整个单元中去。

组合式模型中已经包含了钢筋和混凝土两种材料，在推导单元刚度矩阵时，采用了统一的位移函数，但考虑了不同的材料特征，同时计算单元刚度矩阵?K?e??Kc?e??Ks?e，单元刚度矩阵中已包括了混凝土和钢筋两种材料对单元刚度矩阵贡献。这种矩阵的特点是单元数量减少，但计算精度可提高。但对每一个单元刚度的计算比较麻烦，当单元中钢筋布置不规则时，

没有通用公式可用，要自己推导，遇到配筋类别很多时，单元刚度的计算很麻烦。所以，这种单元是三种模式中应用较少的一种。

3.1.3 整体式模型

在整体式有限元模型中，将钢筋分布于整个单元中，并把单元视为均匀材料，这样求得单元刚度矩阵。与分离式不同，它求出的是综合了混凝土与钢筋单元的刚度矩阵。这一点与组合式相同。但与组合式不同的在于它不是先分别求出混凝土与钢筋对单元刚度的贡献，然后组合，而是一次求得综合的单元刚度矩阵。

这一模型的单元也包括了两种材料对单元刚度矩阵的贡献，但它不再分别极端?Kc?和

?Ks?，而是将钢筋转化为等效的混凝土，然后按一种材料计算单元刚度矩阵，即

?Kc?e?????B???D???D???B?dV （3.1）

csT然后将?K?e集成为总体刚度矩阵。这一模型的优点是单元划分少，计算量小，可适应复杂配筋的情况。故目前在一般实际工程结构计算中均采用这模型。这一模型的缺点是只能求得钢筋在所得单元中的平均应力，且不能极端钢筋与混凝土之间的粘结应力。

4 非线性方程组的解法

4.1

结构分析的非线性问题

非线性问题可以分为三类：几何非线性、材料非线性及边界条件非线性。

4.1.1 几何非线性问题

几何非线性问题是由于结构的位移或应变相当大，以至于必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程。在线性问题中，物体的变形时由位移的一阶微分求得的，当变形很大而不能忽略高阶微分量时，必须考虑几何非线性问题。

4.1.2 材料非线性问题

材料非线性问题是由材料本身的非线性应力应变关系引起的，例如钢筋混凝土结构中混凝土弹塑性变形，受拉区混凝土的开裂，钢筋屈服和硬化，钢筋与混凝土的滑移，混凝土的收缩、徐变等性质，这些都是材料的非线性问题

4.1.3 边界非线性

若材料是弹性的，变形又是小变形，但由于边界条件的变化也会产生非线性问题。边界非线性问题最多的是接触问题。在受理过程中接触面出了几何形态发生变化以外，接触面的本构关系也还有非线性关系。

4.2 求解非线性方程组的逐步增量法

用位移有限元法分析结构时，最后可得到一组总体平衡方程组：

?K?? ????P? （4.1）

???为节点位移矩阵，?P?为节点荷载矩阵。?K?式中?K?为总刚度矩阵，在线弹性结构中，

是常量。在非线性问题中，?K?是变量，岁结构的内力（应力）或位移的变化而变化。但无论如何，总体刚度矩阵可由单元刚度矩阵按标准方法集合而成：

?K????Ke?????B?T?De?? B? dV （4.2）

nn其中，?Ke?为单元刚度矩阵；?表示将单元刚度矩阵集合为总刚度矩阵；?B?为集合

n矩阵，通过它建立节点位移与单元应变之间的关系：

?????B?? ?? （4.3）

式4.3中?Dc?为材料本构矩阵，即：

?????De?? ?? （4.4）

在线弹性材料中，?Dc?是常量，通常称为弹性矩阵。在材料的非线性问题中，?Dc?是应力状态的函数，即：

?Dc??f????? （4.5）

归纳以上几个方程，式4.1表示平衡条件；式4.3表示几何关系；式7.4，式7.5表示材料的本构关系。解非线性问题也要满足这三大关系。

为了研究非线性问题的解法，很多数学、力学工作者做出了大量工作。其中比较常用的有增量法和迭代法。增量法实际上是微分方程求解过程中常用的方法。将4.1写成增量形式，则为：

?K? d????d?P? （4.6）

增量法是将荷载划分为许多增量，每次施加一个荷载增量，计算结构的位移和其他反应时，认为结构是线性的，即结构的刚度矩阵是常数。在不同的荷载增量中，刚度矩阵是不

同的，它与结构的变形有关。所以增量法实质上是用分段线性的折线去代替非线性的曲线。或者说，用分段的线性解去逼近非线性解。

4.3 求解非线性方程组的迭代法

4.3.1 割线刚度迭代法

如图4.1所示，在某级荷载P作用下，用初始刚度矩阵K0，求得位移的第一次近似值：

[?1]?[K0]?1[P] （4.7）

然后利用[?1]求得单元的应变，进而求得应力，根据应力，根据应力状态确定即时的本构矩阵，根据这一本构矩阵可求得信的割线刚度矩阵[K1]，根据刚度矩阵[K1]可求得位移的第二次近似值：

[?2]?[K1]?1[P] （4.8）

重复上述步骤，每次可由下列公式求得进一步的近似值：

[?K?1]?[KK]?1[P] （4.9）

直到[?K?1]与[?K]充分接近为止。

图4.1 割线刚度迭代法图4.2 切线刚度迭代法

4.3.2 切线刚度迭代法

又称牛顿切线迭代法，迭代过程如图3.2所示。首先取初始刚度矩阵K0，求得位移的第一次近似值：

[?1]?[K0]?1[P] （4.10）

由初始位移可以求得单元应变，进而取得单元应力。由单元应力可求得相应的节点荷载[P1]。第二步，用相应于[?1]的即时切线模量[K1]，在荷载[?P1]?[P]?[P1]作用下求得位移增量[??2]，即：

[??2]?[K1]?1[?P1] （4.11）

从而求得位移的第二次近似值为：

[?2]?[?1]?[??2] （4.12）

重复以上步骤，即：

[?PK]?[P]?[PK]??[??K?1]?[KK]?1[?PK]? （4.13） [?K?1]?[?K]?[??K?1]??直到[?K?1]与[?K]充分接近，或者[?PK]足够小为止。

4.3.3 等刚度迭代法

以上两种是变刚度迭代法，其缺点是每一步计算都要重新计算刚度矩阵和建立新的方程组，不经济。等刚度迭代法在迭代过程中采用不变的刚度。具体步骤如下：

①用初始刚度K0，求出位移的第一次近似值：

[?1]?[K0]?1[P] （4.14）

②按[?1]求出单元应变[?1]，由单元应变求得单元应力[?1]?[D0][?1]由应力可以求得相当的节点力为：

[P1]??[B][?]dV （4.15）

这样[P1]与原加载的差为[?P1]?[P]?[P1]。

③将[?P1]再加于结构，仍用初始刚度K0求得附加位移：

T[??2]?[K1]?1[?P1] （4.16）

从而求得第二次位移的近似值：

[?2]?[?1]?[??2] （4.17）

④重复以上步骤，直到[?K?1]与[?K]充分接近，或者[?PK]足够小为止。

在实际应用中，有时兼用变刚度迭代法和等刚度迭代法，即在收敛速度很慢时变化一次刚度，然后保持此刚度进行迭代。这样可以在变化刚度次数不多的情况下得到较快的收敛速度。

为了求得加载全过程的位移曲线和应力变化等信息，必须将荷载分成许多级，逐级加上，这就要用增量法。而对每一级荷载增量，又要运用迭代法才能求得更精确的结果。所以在实际计算中增量法和迭代法结合在一起的。

4.4 收敛标准

收敛准则主要有力、位移、弯矩和转角的收敛。在实际应用中，常用的两种量是：不平衡节点力；位移增量。对于一个结构，无论是节点力或节点位移都有很多量，组成一个向量，其“大小”如何衡量？因此引入向量的范数。若[V]表示一向量，则此向量的范数用V来表示。

常用向量的范数有三个，现说明如下。设有一列向量[V]?[V1,V2,V3,?,Vn]T，则该向量的三个范数为：

（1）各元素绝对值之和：V（2）各元素绝对值之和：V（3）各元素绝对值之和：V这三个范数可记为VP1??Vi ?(?Vi2)1/2

i?1nni?1n2??maxVi

?(P?1,2,?)。

有了向量的范数，则无论是节点向量还是节点位移向量，其“大小”均可按其范数的大小来判断。所谓足够小或充分小就是指其范数已小于预先指定的一个小数。

若取不平衡节点力为衡量收敛标准，则满足下列条件时就认为收敛。

Pres??P （4.18）

其中Pres为残余节点力向量的范数；P为施加荷载（以化为节点荷载）向量的范数；

?为预先指定的一个小数，称为收敛允许值。

若取节点位移增量为判断收敛的标准，则下列条件满足时即认为收敛。??K??其中

?K为在某级荷载作用下经K次迭代后的总节点位移向量的范数；??K为在同

级荷载作用下，第K次迭代时附加位移增量向量的范数，即??K??K??K?1。

一般用力的控制加载时，可以使用残余力的2-范数控制收敛；而位移控制加载时，最好用位移的范数控制收敛。收敛精度默认为 0.1%，但一般可放宽至 5%，以提高收敛速度。使用力收敛是绝对的，而位移收敛并不一定代表你的计算真的收敛，但很多情况下使用位移更容易得到想要的结果。

5 常用有限元程序中的混凝土模型

在常用的商业有限元程序中，ABAQUS、ANSYS都加入了混凝土本构模型，以及相应的前后处理功能。一般来说，各个有限元程序都有链杆或梁单元，可以通过这些单元与混凝土单元组合，建立分离钢筋模型。此外，在这些程序中，有的还专门设计看了钢筋模型，可以建立组合式或者整体式钢筋。

5.1 ANSYS

ANSYS提供了混凝土弹塑性断裂模型和整体式钢筋模型。

5.1.1 混凝土模型

为了解混凝土结构的详细受力机理和破坏过程，往往需要利用三维实体单元进行非线性有限元分析。而混凝土本身同时具有开裂、压碎、塑性等诸多复杂力学行为，在三维条件下这些力学行为更加难以确定，给实际应用带来了较大的困难。为了便于使用者应用，ANSYS软件提供了专门用于钢筋混凝土结构分析的八节点六面体单元SOLID65，可以在一定程度上反映混凝土的压溃和开裂。该单元中加入了混凝土的三轴本构关系以及破坏准则，同时包含了由弥散钢筋单元组成的整体式钢筋模型。

图5.1 SOLID65单元几何形状示意图

SOLID65单元输入信息包括：

（1）实常数real constants；在实常数中给定SOLID 65单元在三维空间各个方向的钢筋材料编号，位置，角度和配筋率。对于墙、板等钢筋分布比较密集而又均匀的构件形式，一般使用这种整体式钢筋混凝土模型。

（2）材料模型Material Model；在这里设定混凝土和钢筋材料的弹性模量，泊松比，密度等参数。

（3）数据表 Data Table；在这里给定钢筋和混凝土的本构关系；对于钢筋材料，一般需要给定一个应力-应变关系的Data Table，譬如双折线等强硬化或随动硬化模型等。而对于混凝土模型，则需要两个Data Table。一个是本构关系的Data Table，比如使用Multilinear

kinematic hardening plasticity模型或者Drucker-Prager plasticity 模型等，用来定义混凝土的应力应变关系。另一个则是SOLID 65特有的Concrete element data，用于定义混凝土的强度准则，譬如单向和多向拉压强度等。

SOLID65单元的基本属性：

（1）SOLID65单元的破坏面：为改进的William Warnke五参数破坏曲面，需要以下几个参数加以定义：单轴受拉强度，单轴受压强度，双向受压强度，以及在某一围压下的单向受压强度和双向受压强度。

（2）SOLID65的本构关系：SOLID65可以使用弹性或弹塑性本构关系来描述其受拉的应力应变关系，其中主要使用Mises屈服准则和Drucher prager屈服准则。在ANSYS中，塑性流动均为关联流动，使用Mises准则时，可以选择等强硬化或随动强化模型，而使用Drucher prager屈服准则时，则只能使用理想弹塑性模型。因此，SOLID65单元在本构模型的选择上是比较有限的，对于高威压的混凝土是不适用的。

（3）压碎与开裂行为：在SOLID65中，当应力组合达到破坏面时，则单元进入压碎或开裂状态。如果单元进入压碎状态，则单元刚度为0，且应力完全释放。这时往往会带来计算的不收敛，需要注意。

5.1.2 钢筋模型

SOLID65中提供了整体式钢筋模型，用户可以通过定义各个方向的配筋率来模拟钢筋混凝土。在未指定局部坐标系的情况下，ANSYS默认SOLID65的单元坐标和整体坐标轴平行。

5.1.3 前后处理

ANSYS的钢筋和混凝土定义均可以通过GUI界面实线。另外，ANSYS可以通过GUI显示钢筋布置。后处理中，ANSYS出了可以显示开裂应变外，还可以显示裂缝一级压碎破坏。

5.1.4 二次开发

ANSYS提供了UPF以供用户自定义材料。

5.2 ABAQUS

ABAQUS中提供了混凝土弹塑性断裂和混凝土损伤模型以及钢筋单元。

5.2.1 混凝土模型

ABQUS主要提供了两种混凝土模型，即弹塑性断裂模型和弹塑性断裂-损伤模型，另外，

在ABAQUS/Explicit模块中，还提供了一种弹性断裂模型，也可以用于模拟混凝土的断裂破坏。

（1）弹塑性模型

ABAQUS提供的第一种混凝凝土模型，即弹塑性断裂模型（在ABAQUS自带的文献中成为Smeared Crack Model），是一种用弹塑性模型描述混凝土受压，用固定弥散裂缝模型模拟混凝土受拉的本构模型。在ABAQUS的用户手册中指出，由于该模型的受压弹塑性模型相对比较简单，因此比较适合于非线性主要由受拉开裂引起的低围压混凝土构件。对于高静水压情况，则ABAQUS推荐使用帽盖模型。

（2）损伤模型

在新版本的ABAQUS中还提供了一个弹塑性断裂和损伤的混凝土模型。其主要改进有：

A. 将损伤指标引入混凝土模型，对混凝土的弹性刚度矩阵加以折减，以模拟混凝土的卸载刚度随损伤增加而降低的特点；

B. 将非关联硬化引入混凝土弹塑性本构模型中，以期更好的模拟混凝土受压弹塑性行为；

C. 可以人为控制裂缝闭合前后的行为，更好模拟反复荷载下混凝土的反应。

Abaqus中采用混凝土损伤本构时，需要采用相关的数据，分别为：混凝土受拉时真实应力-塑性应变关系，受拉时的损伤系数-塑性应变关系；混凝土受压时的真实应力-塑性应变关系，受压时的损伤系数-塑性应变关系。按以下步骤进行求解：

（1）规范给的曲线为名义应力-名义应变曲线，首先将其变成真实应力-真实应变曲线。

图5.2 试验或规范给定的名义应力-名义应变曲线

?nom?l?l0l??1（5.1） l0l0

??ln(1??nom)有材料体积不变得：

（5.2）

l0A0?lA?A?A039