微积分基本定理(1)

微积分基本定理

邹城实验中学：单飞

复习1:积分上限

积分和b n

即A f ( x)dx lima积分下限

n

) b - a) / n f ( (i 1 i

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习：2、定积分的几何意义是什么？1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时，那么： 定积分

b

a

f ( x )dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b

a

f ( x )dx S1 S 2 S 3

说明：f ( x) 0, f ( x ) 0,

a f ( x )dx A a f ( x )dx Ayb

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1a

A3

A2b

0

A4

b

x

a f ( x )dx A1 A2 A3 A4

复习3: 定积分的简单性质(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)a a b b

(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dxa a a

b

b

b

(3) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (a<c<b)a a c

b

c

b

题型1:定积分的简单性质的应用1、化简 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 0 1 2 1 2 3 2014 2013

f ( x)dx

2014

0

f x dx

点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以 把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差

题型2:定积分的几何意义的应用 你能求出下列各式的值吗？不妨试试。

1 1 4dx=? 83

2 0

a

1 2 xdx =? a 2

题型3:

1 1 x dx ?2 3

自主探究：一个作变速直线运动的物体的运动规律S=S(t)。由导数的概念可以知道，它在任 ′ 意时刻t的速度v(t)=S(t) 。设这个物体在时间 段[a,b]内的位移为S,你能分别用S(t),v(t) 来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在 联系吗？

S(t)=t S(b) s

3

v

v(t)=3t 2

S=S(b)-S(a)S(a) 0 a b

s v( t )dta

b

t

0

a b

t

b

a

v(t )dt s(b) s(a)

从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定 积分表示为

s a v(t )dt.

b

另一方面，从物理角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),则在时间区间[a,b]内物 体的路程为s(b)–s(a), 所以有

a v(t )dt s(b) s(a).

b

定积分

b a

v ( t )dt s(b) s(a ).

由于 s' (t ) v(t ),即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，b v(t )dt a

等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间

[a,b]上的增量s(b)–s(a).

对于一般的函数怎样求 它的积分呢？

微积分基本定理：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)=f(x),则，

b

a

f ( x)dx F (b) F (a)

这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫牛顿-

莱布尼茨公式(Newton-Leibniz Formula).b a

或记作

f ( x)dx F ( x) F (b) F (a).b a

说明：牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把 计算定积分归结为求原函数的问题。

b

a

f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)b a

例1 计算下列定积分

1

2

1

1 dx 2 x2

'

3 1

找出f(x)的原 函数是关键

2 xdx

1 解(1) 因为 ln x x

2 2 xdx x3 1

1 2 所以 dx lnx 1 ln2 ln1 ln2 1 x2 3 1

3 1 82 2

练习1:

1 1 1dx ____1 0

2 xdx 1 0

1 2 ____1 4 ____15 4 ____

3 x1 0

3

dx 3

4

2

1

x dx

例2.计算定积分 2 1 (1) 3x 2 dx (1) 1 x 3

(2)

(3)

1 1 (1)因为 x 3 x , 2 x x 3 3 1 3 3 1 2 2 所以原式 3x dx 2 dx 3x dx 2 dx 1 1 x 1 1 x 3 ' 2

解:

'

x

3 3 1

1 1 1 76 3 1 x 3 1 33 3 3 1

(2)(2)

(3)

【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用 积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到 分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；

高考链接(1)

D

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