2018届高三第四次月考数学（理）试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A. 【答案】B 【解析】选B.

2. 若复数满足

（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）

，

，故

B.

， C.

，则 D.

（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】因为

点位于第三象限，应选答案C。 3. 已知向量

，则“

”是“与夹角为锐角”的（ ）

，所以该复数在复平面内对于的

A. 充分不必要条件 B. 充要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】若与夹角为锐角，则且所以“4. 在

，

， ”是“

，且

”的必要不充分条件。故选C。

（ ）

，且与不平行，所以

，得

，

展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则

C. D.

A. B. 【答案】B

【解析】由题设可得，则，应选答案B。

5. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B

【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；

若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯． 6. 一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 1 B. 【答案】C

C. 2 D.

【解析】由三视图可得到如图所示几何体，该几何体是由正方体切割得到的，利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为，∴该几何体的体积为

.

点睛:三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形

成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 7. 已知（ ）

A. 1 B. C. D. 2 【答案】B

【解析】试题分析：由已知

，（是

与的夹角），∴

，而

，因此的最大值为．

，

是平面内夹角为

的两个单位向量，若向量满足

，则的最大值为

考点：向量的数量积，向量的模．

8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）

A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008 【答案】B

【解析】由程序框图则

，由规律知输出

．故本题答案选．

【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同. 9. 已知斜率为3的直线与双曲线则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】设

，

交于

两点，若点

是

的中点，

则，

所以，，

所以所以

，得，所以，

。故选A。

10. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个. A. 53 B. 59 C. 66 D. 71 【答案】D

【解析】由题设中提供的信息可知：和为10四位数字分别是（0,1,2,7），（0,1,3,6），（0,1,4,5）（0,2,3,5），（1,2,3,4）共五组；其中第一组（0,1,2,7）中，7排首位有首位，1、7排在第二位上时，有形，共种情形，共有

种情形，2排

种情形，2排首位，0排第二位，7排第三位有1种情

种情形符合题设；第二、三组中3,、6与4、5分别排首位各有

种情形符合题设；第四、五组中2、3、5与2、3、4分别排首位各有

种情形，共有

种情形符合题设。依据分类计数原理可符合题设条件的种，应选答案D。

完美四位数共有

点睛：分类计数原理与分步计数原理是排列组合中的重要数学思想和方法。求解本题时，充分借助题设中的完美四位数的定义，巧妙运用分类计数原理与分步计数原理进行分析求解，从而使得问题巧妙获解。 11. 椭圆

在直线A.

B.

的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若

的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） C.

D.

的外接圆圆心

【答案】A 【解析】设

，且

的外接圆的方程为

，将

分别代入可得

，所以

，即

，由可得，所以

，即

，应选答案A。

点睛：解答本题的思路是先借助圆的一般式方程，进而求出三角形外接圆的圆心坐标为

，然后依据题设建立不等式

之间的关系求出椭圆离心率的取值范围使得问题获解。 12. 已知函数（ ） A. 【答案】D 【解析】如图，

B.

C.

D.

，若

有两个零点

，则

的取值范围是

，即

，然后借助参数

所以又则又所以令

，令，则，

有两个零点， 有解，则存在解，

，且

，

，

，

所以，

令所以所以

在

，则单调递增，则

。故选D。

，

，

的范围是

点睛：本题为分段的嵌套函数，则令，又原函数的值域性质可知有

两个零点，及有解，则存在解，且，由图象可知，

，且，，所以，令

，通过求导，可知的范围是。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知双曲线经过点__________． 【答案】

,由点

在双曲线上,有

，其一条渐近线方程为

，则该双曲线的标准方程为

【解析】由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为

,所以 ,故双曲线方程为 .

14. 已知函数__________． 【答案】1 【解析】解析：因

，若正实数满足，则的最小值为

，故由题设可得时，即，应填答案1。

，则

15. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）

，

，点在线段

上，且

的外接球，

，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的

取值范围是__________． 【答案】

【解析】令的中心为，球的半径为，连接

，易求得

勾股定理得

，解得，所以

时截面圆的半径

，由

，则

，知．当截面与

，在

，所以

中，由

垂直时，截面的面积最小，此

，此时截面面积为．当截面过球心时，截面圆的面积最大，

．

此时截面圆的面积为．故本题应填

点睛：解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

16. 已知为坐标原点，为抛物线

的焦点，若抛物线与直线

在第一、

四象限分别交于【答案】

两点，则的值为__________．

【解析】

直线过焦点，

，则，所以，

所以。

点睛：本题中首先要观察得到直线过抛物线焦点，通过作图，结合抛物线的几何意义，得到

，

，联立直线与抛物线方程，解出

，

，代入

，求出答案。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在

中，

，为边

上的点，为

上的点，且

，

，

.

（1）求（2）若

的长；

，求；（2）

的值. .

【答案】（1）

试题解析：（1）由题意可得在

中，由余弦定理得

，

所以整理得解得：故

的长为

． 。

中，由正弦定理得

， ，

，

（2）在，

即

所以所以

．

，

因为点在边而所以所以所以

，

上，所以，

只能为钝角，

，

．

18. 现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质

地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.

（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率； （2）用数学期望

分别表示这4个人中选择.

题目的人数，记

，求随机变量的分布列与

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）本题为二项分布模型，由题可知，选择题目的概率为，选择题目的概率为，则

，所以这4人中恰有一人选择题目的概率为

；（2）的所有可能取值为0，3，4，

，

试题解析：

由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为， 记“这4个人中恰有人选择题目”为事件∴

，

.

，

，写出分布列，并求期望。

（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为（2）的所有可能取值为0，3，4，且

，

∴的分布列是

.

，

所以

19. 如图1，在矩形交

于点，

交

中，于.现将

. ，沿

，点

分别在边

上，且平面

，

，

折起，使得平面，得到图2.

图1 图2

（1）在图2中，求证：（2）在图2中，若点是线段值为.

【答案】（1）证明见解析；（2）点在线段【解析】试题分析：(1)先证明

;

(2)建立直角坐标系,设式,结合二面角

,求出平面

、平面

的一个法向量,利用向量的夹角公

的四等分点.

,证明

平面

,从而可得

；

上的一动点，问点在什么位置时，二面角

的余弦

,再证明

的余弦值为,即可得出结论.

中，， ∴

，平面， ∴且

. ，平面

， ，∴四边形

为平行四边形. 平面

， 即

,

.

,

试题解析：（Ⅰ）∵在矩形∴

∴在图2中，又∵平面∴

平面

∥

依题意，

∴∴

∥, ∴平面

， 又∵

， 又∵

中，，∴

平面

， ， ∴，.

. ，

（Ⅱ）如图1，在∵

∥

，

如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则

，

∴∵∴设设

，，∴为平面，则为平面

，，，

，

，

平面，

的法向量.

，

的法向量，则

即，可取，

依题意，有，

整理得∴当点在线段

，即的四等分点且

，∴，

时，满足题意．

20. 已知椭圆

的两个端点的连线相互垂直. （1）求椭圆的方程； （2）过点求证：

的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴

的直线与椭圆相交于为定值.

两点，设点，记直线的斜率分别为，

【答案】（1）；（2）证明见解析.

，

，所以，

，写出椭圆方程；（2）联，

【解析】试题分析：（1）由题意得到立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理

.

试题解析： （1）依题意，∵点∴∴

.

. ，

.

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ，

∴椭圆的方程为

（2）①当直线的斜率不存在时，由解得，.

设，，则为定值.

.

.

，

，

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：将

代入

整理化简，得

依题意，直线与椭圆必相交于两点，设

则，.

又，，

所以

.

综上得为常数2.

点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则

，

，

，为定值。

21. 已知函数（1）若函数（2）设

，

存在与直线，若

.

垂直的切线，求实数的取值范围；

有极大值点，求证：

.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

........................ 试题解析： （1）因为因为函数所以即也即所以

在在在，得

，存在与直线

上有解， 上有解， 上有解， ，

. ，

垂直的切线，

故所求实数的取值范围是

（2）证明：因为因为①当②当

或

时，

，

，

单调递增无极值点，不符合题意，

，设

，

，，

，

的两根为和，

时，令

因为为函数又所以

，

的极大值点，所以

，所以，则

要证明，只需要证明，

因为 ，.

令所以则当所以所以所以

在时，

，，记， ，当

，所以

上单调递减， ，原题得证.

，

，

，

时，

.

，

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴

正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.

（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； （2）设点

，直线与圆相交于

两点，求

的值.

【答案】（1），；（2）.

. 由

得圆

【解析】试题分析：（1）有直线参数方程写出直线的普通方程为

的直角坐标方程为；（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的

直角坐标方程，得试题解析：

，得到韦达定理，则.

（1）由直线的参数方程为（为参数），

得直线的普通方程为又由

.

.

得圆的直角坐标方程为

（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的直角坐标方程，

得设所以∴所以

，

是上述方程的两实数根，

，，

.

，

选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数（1）求函数（2）若

的值域； 试比较

；（2）

，，

的大小.

.

，，

.

【答案】（1）

【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别判断其单调性，然后可得结果；（2）因为所以

，所以

，又

，再利用做差法可得

综上可得结果.

试题解析：（1）

根据函数所以函数（2）因为又所以所以所以

的单调性可知，当的值域，所以

. ，所以

时，.

.

，

，知，，所以

.

，

，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o1t.html