信号处理第2章作业(1,2,3,4,5)

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

《数字信号处理》第二章作业1 ............................................................................................ 1 《数字信号处理》第二章作业2 ............................................................................................ 3 《数字信号处理》第二章作业3 ............................................................................................ 5 《数字信号处理》第二章作业4 ............................................................................................ 6 《数字信号处理》第二章作业5 ............................................................................................ 8

《数字信号处理》第二章作业1

Ｐ71~72 2.1 , 2.2 , 2.4， 2.7, 2.8

1． 设X(ej )和Y(ej )分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(n n0) (2) x*(n) (3) x(－n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n) (6) nx(n) (7) x(2n) (8) x2(n) （9）x9(n)

x(n/2), n even 0

,n odd

j n0

j

解 （1）x(n n0) e

X(e)

（2）x*(n) X*(e j ) （3）x( n) X(e j )

（4）x(n)*y(n) X(ej )Y(ej ) （5）x(n)y(n)

i

12

X(edd

j

)*Y(e

j

)

12

X(e

j

)Y(e

j n

j(

)d

（6）因为

dX(e)d

j n

x(n)e

n

j n

n

x(n)

de

d

n

jnx(n)e j

nx(n)e

n

j n

jFT nx(n) ，

所以 FT nx(n) j

dX(e

j

)

d

（7）当n 0,1,2,3,....时，x(2n)的采样值是相应的采样值x(0),x(2),x(4),x(6),...；而

x(1)=x(2)=…=0。故x(2n)可以表达为：

1

x(n) n ..., 2,0,2,4,...

x(n) ( 1)x(n)

0 n ... 1,1,3,5,...2

n

令n 2n 则 FT x(2n)

x(n )e12

-j n'/2

n

12

x(n) ( 1)

j( )/2

n

x(n)e

j n/2

n :n取偶数

n

2 x(n) e

2

1

j n

x(n)e

j n/2

X(e

12

j /2

) X(e)

（8）FT[x(n)]

n

x(n)e

2 j n

X(e

j

)*X(e

j

)

12

X(e

j '

)X(e

j( ')

)d '

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

x(n/2), n even

（9）x(n) FT[x(n/2)]

,n odd 0

x(n/2)e

n j2

j n

令n' n/2，FT[x(n/2)]

2.2 已知X(ej )

n'

x(n')e

j 2n'

X(e)

1, 0 0, 0

求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。

解：x(n)

2.4. 设x(n)

1,n 0,1 0,其它

(n)，(1)画出将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x

12

w0 w0

e

jwn

dw

12 jn

(e

jw0n

e

jw0n

)

sinw0n

n

(n)的离散傅里叶级数X (k)和傅里叶变换X(ej )。 (n)的波形，(2)求出xx(n)和x

解：

(n)的波形如题4解图所示。 (1) 画出x(n)和x

(n)的离散傅里叶级数 X(k) (2) a)求出x

2

(k) DFS[x (n)] X

4

3

n 0

(n)ex

4

j

2 4

kn

1

e

n 0

j

2

kn

1 e

jk 2

1 e

j

2

1 e

k

j

2

k

,

e

jk

(e

jk

e

j

4

k

) 2cos(

4

k) e

j

4

k

(k)以N=4为周期. X

或者另一种做法：

(k) X

1

e

n 0

j

2

kn

1 e1 e

j k

j

2

k

ee

1

j k

21 j k

4

(e(e

1j k21j k4

e e

1 j k

21 j k

4

))

e

j k

4

1

sinsin

1214

k

, k

(k)以N=4为周期 X

b)求傅里叶变换X(e

j

j

)

根据公式：X(e)

X(e

j

2πN

k

(k) 2πk X

N

(n)] ) FT[x

2 4

k

(k) ( 2 k)X

4

2

k

(k) ( k)X

2

2k)

k

cos(

4

k)e

j

4

k

(

7. 设:

（1）x(n)是实偶函数，

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解：

令 X(e

j

)

n

x(n)e

j n

j

（1）x(n)是实、偶函数，X(e两边取共轭，得到

)

n

x(n)e

j n

X(e

*jw

)

n

x(n)e

jwn

n

x(n)e

j( w)n

X(e

jw

)

因此X(ejw) X*(e jw)

上式说明x(n)是实序列，X(ej )具有共轭对称性质。

X(e

jw

)

n

x(n)e

jwn

n

x(n)[coswn jsinwn]

由于x(n)是偶函数，x(n)sinωn是奇函数，那么

n

x(n)sinwn 0

因此X(e)

jw

n

x(n)coswn

该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。

总结以上可知，x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、关于ω的偶函数。

（2）x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质，即

X(e

jw

jw

) X(e

* jw

)

X(e

jw

)

n

x(n)e

jwn

n

x(n)[coswn jsinwn]

由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么

n

x(n)coswn 0

因此X(e) j这说明X(e

j

jw

n

x(n)sinwn

)是纯虚数，且是ω的奇函数。

jw

总结以上可知，x(n)是实、奇函数时，对应的傅里叶变换X(e)是虚的、关于ω的偶函数。

2.8 设x(n) R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和反对称序列xo(n)，并分别用图表示。 解： xe(n)

12

R

(n) R4( n) ， xo(n) 4

*

12

R

(n) R4( n) 4

*

波形如图所示（略）

《数字信号处理》第二章作业2

Ｐ72 2.12 , 2.13

n

12. 设系统的单位取样响应h(n) au(n),0 a 1，输入序列为x(n) (n) 2 (n 2)，

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y(n)；

（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解：

（1）y(n) h(n)*x(n) anu(n)*[ (n) 2 (n 2)]

au(n) 2a

jw

nn 2

u(n 2)

（2）X(e)

H(e

jw

n

[ (n) 2 (n 2)]e

jwn

1 2e

j2w

)

n

au(n)e

jw

n jwn

n 0

ae

n jwn

11 ae

jw

Y(e

jw

) H(e) X(e

jw

)

1 2e

j2w jw

1 ae

13. 已知xa(t) 2cos(2 f0t)，式中f0 100Hz，以采样频率fs 400Hz对xa(t)进行采

a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： 样，得到采样信号x

（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j )；

a(t)和x(n)的表达式； （2）写出x

(j )和x(n)序列的傅里叶变换X(ej )。 a(t)的傅里叶变换X（3）分别求出xa

解：

（1）Xa(j )

xa(t)e

j t

dt

2cos( 0t)e(e

j 0t

j t

dt dt

e

j 0t

)e

j t

上式中指数函数的傅里叶变换不存在（因为虚指数信号是周期函数），引入奇异函数 函数，

它的傅里叶变换可以表示成：

Xa(j ) 2 [ ( 0) ( 0)])

a(t) （2） x

n

xa(t) (t nT)

n

2cos( 0nT) (t nT)

x(n) 2cos( 0nT), n 0 2 f0 200 rad ， T

(j ) （3）Xa

1fs

2.5ms

1TT

k

Xa(j jk s)

[ ( 0 k s) ( 0 k s)]

2

k

式中 s 2 fs 800 rad/s

X(e

j

)

n

x(n)e[e

j 0n

j n

n

2cos( 0nT)e

j n

j n

n

2cos( 0n)e

j n

n

e

j 0n

]e 2

k

[ ( 0 2k ) ( 0 2k )]

式中 0 0T 0.5 rad

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。

1 1 2 k j

方法2 X(e) Xj j k X a a js

T

k

T

k

T

Xa(j ) 2 [ ( 0) ( 0)])

0 2 k 0 2 k

Tk TT

1

(t) 根据冲激函数的尺度变换的性质： (at) aX(e

j

)

2

X(e

j

)

2 T

k

T 0 2 k T 0 2 k 0 2 k 0 2 k

2

k

式中 0 0T 0.5 rad

《数字信号处理》第二章作业3

P72 2.14（1），(2),(3),（4），（5），(6) 2.15（1）

14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （1）2u(n)； （2） 2u( n 1) （3）2u( n)； （4） (n) （5） (n 1)

（6）2[u(n) u(n 10)] 解：

n

n

n

n

（1）ZT[2u(n)]

n

n

n

2

n

u(n)z

n

n 0

2

n

z

n

11 2

1

1

z

1

,z

n

12

n

（2）ZT[ 2u( n 1)]

n

2

n

n

u( n 1)z

n

n

2

n

z

2

n 1 1

z 12

n

2z 2z 2z

n 1

n 0

n

2z1 2z

11 2

1

z

,z

n

0

（3）ZT 2u( n)

n

n

21

n

u( n)z , z

n

n

2

n

z

n

2z

n

n

2z

n 0

12

1 2z

n

（4）ZT (n)

n

(n)z

z 1, 0 z

1

n

（5）ZT (n 1)

n

(n 1)z

z

n 1

n

z, 0 z

1

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

9

（6）ZT[2u(n) u(n 10)]

n

2

n 0

n

z

n

1 (2z)

10 1

1 (2z)

,0 z

15. 求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出零极点分布图。 （1）x(n) RN(n), N 4 解：

3

(1)X(z)

n 4

R4(n)z

n

z

n 0

n

1 z1 z

j2 4k

4 1

z 1z(z 1)

3

4

,0 z

求零点：z 1 0 解得

z e

,k 0,1,2,3

求极点：z3(z 1) 0解得zk 0,k 0,1,2，z3 1

《数字信号处理》第二章作业4

P73 2.16*（可以不做）, 2.18

16. 已知:

X(z)

1

312z

1

21 2z

1

求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z 0.5时，

x(n)

12

1

j

z

c

X(Z)z

n 1

dz

z

n

令F(z) X(z)z

n 1

5 7z

1

1

n 1

5z 7(z 0.5)(z 2)

(1 0.5z)(1 2z)

n 0，对应因果部分，故c内无极点，即无留数，x(n)=0；

n 1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1 0.5,z2 2，那么

x(n) Res[F(z),0.5] Res[F(z),2]

(5z 7)z

n

(z 0.5)(z 2)

(z 0.5)

z 0.5

(5z 7)z

n

(z 0.5)(z 2)

(z 2)

z 2

1nn

[3 () 2 2]u( n 1)

2

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

（2）当收敛域0.5 z 2时，

F(z)

(5z 7)z

n

(z 0.5)(z 2)

n 0，C内有极点0.5；

1n

x(n) Res[F(z),0.5] 3 ()

2

n 0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，

x(n) Res[F(z),2] 2 2u( n 1)

n

最后得到x(n) 3 ()u(n) 2 2u( n 1)

2

1

nn

（3）当收敛域2 z时，

F(z)

(5z 7)z

n

(z 0.5)(z 2)

n 0，C内有极点0.5，2；

1nn

x(n) Res[F(z),0.5] Res[F(z),2] 3 () 2 2

2

n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到

1nn

x(n) [3 () 2 2]u(n)

2

18. 已知X(z)

3z2 5z

1

1

2z

2

，分别求：

（1）收敛域0.5 z 2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z 2对应的原序列x(n)。 解：

x(n)

F(z) X(z)z

n 1

12

j

1 1

c

X(z)z

z

n 1

dz

3 z

n

3z2 5z

n 1

2z

2

2(z 0.5)(z 2)

（1）当收敛域0.5 z 2时，n 0，c内有极点0.5，

x(n) Res[F(z),0.5] 0.5 2

x(n) Res[F(z),2] 2,

nn

n

n 0,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

最后得到

x(n) 2

n

u(n) 2u( n 1) 2

n n

（2（当收敛域z 2时，

n 0,c内有极点0.5,2,

x(n) Res[F(z),0.5] Res[F(z),2]

简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注

0.5

n

3 z

n

2(z 0.5z) (

z( 2))z 2

nn

0.5 2

n 0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,

因此x(n) 0, 最后得到

x(n) (0.5 2)u(n)

n

n

《数字信号处理》第二章作业5

P74 2.25

25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n) au(n),h(n) bu(n),0 a 1,0 b 1，

n

n

试：

（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：

（1）用卷积法求y(n)

y(n) h(n) x(n)

n

n

n m

m n

bu(m)a

n 1

mn m

u(n m)，n 0, a

n 1

y(n)

a

m 0

b

m

a

n

a

m 0

m

b

m

a

1 ab

n 1

1 ab

1

b

n 1

a b

，n 0，y(n) 0

最后得到

y(n)

a

n 1

b

n 1

a b

u(n)

（2）用ZT法求y(n)

X(z)

11 az

1

,H(z)

11 bz1

1

Y(z) X(z)H(z)

1 az 1 bz

1

1

y(n)

12 j

c

Y(z)z

n 1

dz

令F(z) Y(z)z

n 1

z

1

n 1

1

1 az 1 bz

z

n 1

(z a)(z b)

n 0,c内有极点a,b

y(n) Res[F(z),a] Res[F(z),b]

a

n 1

a b

b

n 1

b a

a

n 1

b

n 1

a b

因为系统是因果系统，n 0,y(n) 0，最后得到

y(n)

a

n 1

b

n 1

a b

u(n)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o1pe.html