1.1正余弦定理练习题1

正弦定理

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )

A.6 B.2 C.3 D．26

abasinB

解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.

sinAsinBsinA2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

32

A．42 B．43 C．46 D.

3

asinB

解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝46.

sinA

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )

A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理

abbsinA2

＝得：sinB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°. sinAsinBa2

B．6∶5∶1 D．不确定

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6 C．6∶1∶5

解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( ) 11

A．1 B. C．2 D. 24bc2×sin 30°

解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.

sinBsinCsin45°

cos Ab

6．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )

cos Ba

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

bsin Bcos Asin B

解析：选D.∵＝，∴＝，

asin Acos Bsin AsinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B

π

即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝. 2

7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )

A.

333

B. C.或3 242

D.33

或 42

ABAC3

解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，

sinCsinB2∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°. 1

再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．

2

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

A.6 B．2 C.3 D.2

62

解析：选D.由正弦定理得＝，

sin120°sinC

1

∴sinC＝. 又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，

2

1

△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.

π

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A＝________.

3

aca·sinC1

解析：由正弦定理得：＝， 所以sinA＝＝. sinAsinCc2πππ

又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝. 答案：

36643

10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

3

14×2abbsinA33

解析：由正弦定理得＝ ?sinB＝＝＝. 答案：

sinAsinBa2432

311．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，

ab12×sin30°由＝得，a＝＝43， ∴a＋c＝83. 答案：83 sinAsinBsin120°12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB， 代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，

所以sinA＝2sinB·cosC， 即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC， 化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，

∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则＝________，c＝________.

sinA＋sinB＋sinC

a＋b＋ca6311

解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴×12×sin60°×c＝183，

22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°∴c＝6. 答案：12 6

a－2b＋c

14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.

sin A－2sin B＋sin C

解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，

a1

∴2R＝＝＝2，

sinAsin30°又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

a－2b＋c2RA－2sinB＋sin C

＝＝2R＝2. 答案：2

sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C

1

15．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.

3

∴

221

解析：依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝43， 解得b＝23. 答案：23

3216．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解． 1

解析：∵bsinC＝43×＝23且c＝2，

2

∴c

2

17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

1

解：在△ABC中，BC＝40×＝20，

2

∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得

BC·sin∠ABC20sin30°AC＝ ＝＝102(km)．

sinAsin45°即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.

CC1A

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，sin Bsin C＝cos2，求A、

2242B及b、c.

CC11

解：由sincos＝，得sinC＝，

2242

π5π

又C∈(0，π)，所以C＝或C＝. 66A1

由sin Bsin C＝cos2，得 sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，

22即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，

即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，

π5π2π

即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)， A＝π－(B＋C)＝. 663

12abcsin B

由正弦定理＝＝，得 b＝c＝a＝23×＝2.

sin Asin Bsin Csin A3

22ππ

故A＝，B＝，b＝c＝2.

36

19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A310

＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值． 510

解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝310∴cos B＝1－sin2B＝. 10

3525

又cos 2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cos A＝，

555

253105102

∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝×－×＝.

5105102

π

又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝. 4

3π2

(2)由(1)知，C＝，∴sin C＝.

42abc

由正弦定理：＝＝得 5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.

sin Asin Bsin C

3

10， 10

∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a＝2，c＝5.

．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．

解：由S＝12absin C得，153＝1

2×603×sin C，

∴sin C＝1

2

，∴∠C＝30°或150°.

又sin B＝sin C，故∠B＝∠C. 当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.

又∵ab＝603，asin A＝b

sin B，∴b＝215. 当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．

故边b的长为215.

余弦定理

源网 1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝1

3，那么AC等于( )

A．6 B．26 C．36

D．46

解析：选A.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB ＝ 42＋62－2×4×6×13

＝6.

2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( ) A.3 B.2 C.5 D．2

解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2，

∴c＝2.

3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( ) A．60° B．45° C．120°

D．150° 解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc32bc＝－2，

∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.

4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为(A.π6 B.ππ5ππ2π3 C.6或6 D.3或3 解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得 cosB＝a2＋c2－b23132ac＝2·tanB＝2·cosBsinB.

显然∠B≠π3π2，∴sinB＝2.∴∠B＝2π

3或3

. 5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( ) A．a B．b

C．c

D．以上均不对

解析：选C.a·a2＋c2－b2b2＋c2－a222ac＋b·2bc＝c2

2c

＝c.

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形

D．由增加的长度决定

4

)

20

解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2. 设增加的长度为m， 则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，

又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，

∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．

→→→→

7．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为( ) A．2 C．4

B．－2

D．－4

1→→1

解析：选A.S△ABC＝3＝|AB|·|AC|·sinA ＝×4×1×sinA，

223

，又∵△ABC为锐角三角形， 211→→

∴cosA＝， ∴AB·AC＝4×1×＝2.

22∴sinA＝

8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A.3 C.3或23

B．23 D．2

解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－33a， ∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或23.

9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．

π

解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.

3在△ABD中， AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB ＝ 答案：3

10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.

设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)，

a2＋b2－c21∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得 cosC＝＝－，

2ab2又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.

11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________． 13解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°.

221

∴cosC＝±，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

2∴c2＝21或61，∴c＝21或61. 答案：21或61

12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________. 解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k， a2＋c2－b2k2＋k2－k211

cos B＝＝＝，

2ac2×2k×4k16

71

同理可得：cos A＝，cos C＝－，

84

∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)

5

1

1＋4－2×1×2×＝3.

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o1ng.html