材料力学习题集_【有答案】

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— 58 —

习题2-1图习题2-2图习题2-3图习题2-4图习题2-5图习题2-6图材料力学习题集

第1章引论

1－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。

正确答案是 C 。

1－2 图示带缺口的直杆在两端承受拉力F P 作用。关于

A －A 截面上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。

正确答案是 D 。

1－3 图示直杆ACB 在两端A 、B 处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合理。

正确答案是 D 。

1－4 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力F P 。关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。

正确答案是 D 。

1－5 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M ，力偶作用面与杆的对称面一致。关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（对于左端，由A A '→；对于右端，由A A ''→），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。

正确答案是 C 。

1－6 等截面直杆，其支承和受力如图所示。关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。

正确答案是 C 。

第2章杆件的内力分析

习题2-1图

习题2-2图

习题2-3图

习题2-4图

2－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

（A d Q F d M

（B （C （D 2－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中

。

2－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。为确定b M 、M ，现有下列四种答案，试分析哪一种（A （B （C （D 之间剪力图的面积，以此类推。

2－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 m a x Q ||F 。

解：（（b ）0=∑A M ，2

2+?+?--l ql ql ql ql F B

R =（↑） 0=∑y F ，ql F A 4

R =（↓）， 2R 4

41ql l ql l F M B

C =?=?=（＋）

2ql M A =

60 —

ql F 4

5||max Q =

2max ||ql M =

（c ）0=∑y F ，ql F A =R （↑） 0=∑A M ，2ql M A =

0=∑D M ，02

2-?-?+D M l

ql l ql ql

ql M D =

ql F =max Q ||

2max 2

3||ql M =

（d ）0=∑B M

32R =?-?

?-?l ql l q l F A ql F A 4

R =（↑）

0=∑y F ，ql F B 43

R =（↑）

0=∑B M ，22

l q

M B =

0=∑D M ，2

25ql M D = ql F 45

||max Q =

max 32

25||ql M = （e ）0=∑y F ，F R C = 0

0=∑C M ，2

23=+?+?-C M l

ql l ql 2ql M C = 0=∑B M ，221ql M B = 0=∑y F ，ql F B =Q

ql F =max Q || 2max ||ql M = （f ）0=∑A M ，ql F B 21

R =（↑） 0=∑y F ，ql F A 2

R =（↓） 0=∑y F ，02

Q =-+-B F ql ql ql F B 2

Q =

0=∑D M ，

2221+?-?D M l

l q l ql 281

ql M D -=

ql M E =

∴ ql F 2

||max Q =

— 61 —

2max 8

1||ql M =

2－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定max ||M 。

解：图（a ）：0=∑A M ，02P P R =?-?-?l F l F l F B P R F F B =（↑）

0=∑y F ，P F F Ay =（↓） 0=∑x F ，P F F Ax =（←）弯距图如图（a-1），其中l F M P max 2||=，位于刚节点C 截面。图（b ）：0=∑y F ，ql F Ay =（↑） 0=∑A M ，ql F B 2

R = 0=∑x F ，ql F Ax 2

（←）弯距图如图（b-1），其中2max ||ql M = 图（c ）：0=∑x F ，ql F Ax =（←） 0=∑A M 02

R 2=?-?

-l F l

ql ql B ql F B 2

R =（↓）

0=∑y F ，ql F Ay 2

=（↑）弯距图如图（c-1），其中2

max ||ql M = 图（d ）：0=∑x F ，ql F Ax = 0=∑A M

02R 2=?+-?

-l F ql l

ql B ql F B 2

R =

0=∑y F ，22

ql F Ay =弯距图如图（d-1），其中2

max ||ql M =

2－6 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为试导出轴力F N x 、弯矩M 与均匀分布切向力p 之间的平衡微分方程。解：

1．以自由端为x 坐标原点，受力图（a ） 0=∑x F ，0N =+x F x p x p F x -=N ∴

p x

F x

-=d d N 0=∑C M ，02

=?-h

x p M hx p M 2

h p x M 2

d d = 方法2．0=∑x F ，0d d N N N =-++x x x F x p F F

∴ p x

x -=d d N

习题2-9图 0=∑C M ，02d d =?

--+h x p M M M ∴ 2

d d h p x M =

2－7 max ||M 。

解：F | M |

2－8 如图所示。解：由荷，由A 、B 、

B F R A 由 ∑ q 由F Q M M

2－9 解：由图中A 、B 、C 处突变，知A 、B 、C 处有向上集中力，且

F R A F R F R B q 由M A

C B

2387

1432

4296

Q F (N)

(b)

F C

A B

D Dz

F B

T Q

F A

T r F z

F S2

3F x

y z

(a)

Q F (N)864

习题2-11图

2－10 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面E 上的弯矩为零，试：

1．在Ox 坐标中写出弯矩的表达式； 2．画出梁的弯矩图； 3．确定梁上的载荷； 4．分析梁的支承状况。

解：由F Q 图知，全梁有向下均布q ；上集中力4ql ；C 处有向下的集中力2ql 自由端，由F Q 线性分布知，M 变号，M 在B 、C 、D 处取极值。

221

ql M M D B -==，F Q B = 4ql

222

24)3(21ql l ql l q M C =?+-= 1．弯矩表达式：

2021

)(>-<-=x q x M ，0(x ≤≤ -<+>-<-=l x ql x q x M 402

)(2 -<+>-<-=l x ql x q x M 402

1)(2 )53(l x l ≤<

-<+>-<--<+>-<-=x ql l x ql x ql x q x M 4324021

)(2 )65(l x l ≤<

即 -<+>-<--<+>-<-=x ql l x ql x ql x q x M 432402

)(2 )60(l x ≤≤

2．弯矩图如图（a ）； 3．载荷图如图（b ）；

4．梁的支承为B 、D 处简支（图b ）。 2－11 图示传动轴传递功率P ，轴的转速n = 200r/min 。齿轮A 上的啮合力F 与水平切线夹角20°，皮带轮B S1和F S2，二者均沿着水平方向，且F S1 = 2F S2试：（分轮B 重F Q = 0和F Q = 1800N 1．画出轴的受力简图；

2．画出轴的全部内力图。

解：1．轴之扭矩：

3582005

.79549=?=x M N ·m 358===x B A M T T N ·m

23872

3.0τ==A T

F N

86920tan τr =?=F F N

14322

5.02s ==B

T F N 轴的受力简图如图（a ）。 2．① F Q = 0时， F τ Cy F

Dy F

0=∑Cz M

06.04.02.0Q r =-+-F F F Dy 434=Dy F N 0=∑y F 1303-=Cy F N ② F Q = 1800 N 时， 0=∑Cz M 1254=Dy F N 0=∑y F 323-=Cy F N 0=∑Cy M

033.04.02.0S2τ=?+--F F F Dz 5250=Dz F N

0=∑z F ，1432=Cz F N 4772.0τ==F M Cy N ·m 8592.032s =?=F M Dy N ·m 1732.0r =?=F M Cz N ·m F Q = 0时，0=Dz M

F Q = 1800 N 时，360-=Dz M N ·m

2－12 传动轴结构如图所示，其一的为斜齿轮，三方向的啮合力分别为F a = 650N = 650N ，F r = 1730N = 50mm ，l = 100mm 。试画出： 1．轴的受力简图； 2．轴的全部内力图。

解：1．力系向轴线简化，得受力图（ 25.16102

6503=??=-x M N ·m

25.16025.0650=?=z M N ·m

0=∑x F ，650=Ax F N 0=∑Az M ，784=By F N 0=∑y F ，946=Ay F N 0=∑Cy M ，Bz Az F F =

0=∑z F ，3252

650

=Bz Az F F 2．全部内力图见图（a ）、（b ）、（c ）

— 65 —

习题3-1图

(a) 习题3-2图 C A (kN)N x (a)

（e ）、（f ）、（g ）所示。

20mm ×50mm 的矩形。试求杆CE 和杆DE 横 p = 10kN/m ，在自由端D

= 2.0×10-4m 2，l = 4m 。试求：（1）200100.210404

N =??==-A F A A σMPa 100N ==A

F B B σMPa 150N ==A

F E E σMPa （2）200max ==A σσMPa （A 截面）

3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。试：

1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；

2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。

解：1．变形谐调：

a a Na c c Nc A E F A E F = （1）

— 66 —

习题3-4图

习题3-5图 P Na Nc F F F =+

（2）

P a a c c c c Nc F A E A E A E F +=

P a a c c a a Na F A E A E A E F += ∴ ????

?????-+==-?+?=+==4)(π4π)(4π4π22a 2

c P a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc c

d D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ 2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542

29293

9c =-???+???????=σMPa 6.55105

705.83c a c a =?==E E σσMPa 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：

1．导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式；

2．已知F P = 385kN ；E a = 70GPa ，E s = 200GPa ；b 0 = 30mm ，b 1 = 20mm ，h = 50mm 。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。

解：变形谐调：

a Na s s Ns A E F A E F = （1） P Na Ns F F F =+

（2） ???

????+=+=P a a s s a a Na P a a s s s s Ns F A E A E A E F F A E A E A E F 1． a 1s 0P s 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=?+=-=σ a 1s 0P a a Na a 2hE b hE b F E A F +-=-=

σ 2． 175107005.002.021020005.003.010********

9s -=????+??????-=σMPa （压） 25.61200

70175175s a a -=-=-=E E σMPa （压） 3－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h 与b 的比值：

1．横截面上的最大正应力尽可能小；

2．曲率半径尽可能大。

解：1．)

(66

222b d b M bh M W M z z z z -===σ 03)(d d d d 2232=-=-=b d b bd b

b W z d 3

3=b 22223

2d b d h =-= ∴ 2=b

h （正应力尽可能小） 2． z

z z EI M =ρ1

— 67 — 习题3-7图 12

123

223h h d bh I z -== 0d d =h I z ，得224

3d h = 22224

1d h d b =-= ∴ 3=b

h （曲率半径尽可能大） 3－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为0σ；去掉上、下角后，最大正应力变为0max σσk =，试求：

1．k 值与h 值之间的关系；

2．max σ为尽可能小的h 值，以及这种情形下的k 值。

解：3400h I zh =，3

300h W z = 30

max 0030h M W M z z z ===σσ y y h y h I I I h h z zh zh d )(223202400

00--=-=?

4(34)()(34303430440330040h h h h h h h h h h h h -=-=-+--= )3

4(02max max h h h M W M z h z h -===σσ )34()3

4(3)34(30230023002300max h h h h h h h h h h h h k -=-=-==σσ （1） 0323

4d ))34((d d d 2002=-?=-=h h h h h h h h W h 0)338(0=-h h h ，h = 0（舍去），09

8h h = 代入（1）：492.0)812(64381)3

84()98(1)9834()98(2002030=-??=-=?-=h h h h k 3－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受M z = 20 kN ·m 一个内力分量，I z = 11.3×106mm 4，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。

解：?

??-+-==21 2N d d d A z z A z z A x x A y I M A y I M A F σ ??

?????+?-=?

?y y y y I M z z d 088.0d 006.0080.007.007.00 922210)7080(218870216-???????-?+??-=z z I M ()

)7080(4470310103.111020222963

-?+????-=-- 143101433-=?-=kN

||*N z c x M y F =? mm 70m 0699.0143

220*==?=c y 即上半部分布力系合力大小为143 kN （压力），作用位置离中心轴y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交界处。

3－8 图示矩形截面（b ·h ）直梁，在弯矩M z 作用的Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，

— 68 —

(a)

习题3-9图

假定在梁的纵截面上有y 方向正应力y σ存在，且沿梁长均匀分布。试： 1．导出)(y y y σσ=的表达式； 2．证明：max max 4x y h

σρ

σ-

≈，ρ为中性面的曲率半径。解：1．先求)(y y σ表达式： 0=∑y F

=??+????=

∑y

h x y y y y F 2

0d 12

sin

cos d 1θ

σ??ρσθ

即 0d 2

s i n 2

s i n 22

=-+?

-y y I M y

h z z y y θ

ρσ，

（y I M z z x -=σ）即 0)4

(212s i n 22s i n 22

2=-?-h y I M z z y y θθ

ρσ

∴ )4(222

y h I M z y z y --=ρσ

（a ）

2．由（a ）式，令

0d d =y

y σ，得y = 0，则

max 2max ,442

48x z z y z z y z y z y h

W M h h I M h I M h σρ

ρρρσ-≈?-=?-=-=

（b ） 3－9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶M z 作用下发生平面弯曲，试： 1．导出管横截面上正应力与M z 、D 1、D 2、D 3和钢的E s 、铝的E a 之间的关系式；

2．已知D 1 = 20mm ，D 2 = 36mm ，D 3 = 44mm ；M z = 800N ·m ；E s = 210GPa ，E a = 70GPa 。求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力max σ。

解：静力平衡： z M M M =+s a （1）

变形谐调：s a ρρ=得

s s

a a a I E M I E M =

（2） 64)(π4243a D D I -=

，64)

(π4142s D D I -=

（3）由（2）s s

s a a a M I E I

E M =

（4）

代入（1），得 z M M I E I E =+s s

s a

a )1( a a s s s s s I E I E M I E M z

（5） ∴ z M I E I E I E M a

a s s a

a a +=

（6）

1． )]

()([ π644243a 4142s s a a s s s s s s D D E D D E y

M E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=σ，（2221D y D ≤≤） )]

()([ π644243a 4142s a a a s s a a a a D D E D D E y

M E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=

σ，（2232D y D ≤≤） 2． 13310)]3644(70)2036(210[π10188002106412

44443

max s =?-?+-?????=--σMPa

1.5410)]3644(70)2036(210[π1022800706412

44443

max a =?-?+-?????=

--σMPa

3－10 由塑料制成的直梁，在横截面上只有M z 作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为E t 和E c ，且已知E c = 2E t ；M z = 600N ·m 。试求： 1．梁内最大拉、压正应力；

— 69 —

习题3-10图

习题3-11图

习题3-12图

εt

(a)

2．中性轴的位置。

解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 ∵ E c = 2E t ，εσE =

∴ σ沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。 1．确定中性轴位置。设拉压区高度分别为h t 、h c

由0=∑x F ，得：02

21t max t c max c =??+??-b h b h σσ

即 c c

c t m a x t m a x c h h h h h -==σσ （1）

又∵

c max t max c max t t max c c max t max c 22h h

E E ===εεεεσσ （2）

由（1）、（2），得

c t c c c 22h h h h h h h h -=

=- 即 2

c 2c 2)(h h h =- ??

??=-=∴=-=∴mm 6.58)22(mm 4.41)12(t c h h h h （中性轴的位置）

2．?

d 2d d d d d c t t t c c t t c t A A A A A A z A E y A yE A yE A yE A y A y M εεεεσσ

)2(d 2

d d 2d c t t t c t t c

c t

I I E

A y

y A y

y E A y A y E A A A A +=?????

=???

ρρρ

εε 其中)246(332323

c 3t c t -=?+=+bh bh bh I I ∴ )

2(1c t t I I E M z +=ρ ∴ c c

t c c t t c c c

m a x c 222h I I M h I I M E E h E z

z +=+=

=ρ

69.810)246(3

10050104.41600212

3=?-????=

--MPa （压）

∴ 15.6)246(103

1005010100)22(600212

t c t t t

max t =-????-?=+==--h I I M h E z ρσMPa （拉） 3－11 试求图a 、b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。解：（a ）为拉弯组合

2P 2

P P a 346

3(423a F a a a F a a F ?=?

+?=

σ （b ）为单向拉伸

P b a F

=σ

∴ 3

b a =σσ

3－12 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC 上A 、B 两点的正应力：

1．在点1、2、3处均有40 kN 的压缩载荷； 2．仅在1、2两点处各承受40 kN 的压缩载荷； 3．仅在点1或点3处承受40 kN 的压缩载荷。

解：67.2107520010406

N =???=-A F x Mpa

40106

10075125

.010409

23=????=-W M z MPa

习题3-13图习题3-14图 1． 875

2001040333N -=???=-==A F x B

A σσMPa 2． 3.156

200

752125108075200104022233N -=???-???-=--=W M A F z x A σMPa 3．在点1加载：

67.126

2007512510407520010402

33N -=???-??-=--=W M A F z x A σMPa 33.76

2007512510407520010402

33N =???+??-=+-=W M A F z x B σMPa 由对称性，得

在3点加载：33.7=A σMPa ，67.12-=B σMPa

3－13 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚δ= 5mm ，管在两端承受轴向载荷F P 。已知开孔处截面的形心为C ，形心主惯性矩610177.0-?=z I m 4，F p = 25kN 。试求：

1．开孔处横截面上点F 处的正应力；

2．最大正应力。

解：25P N ==F F x kN

75.16010)57.1825(3p =?-?=-F M z N ·m

661070010)5402550(--?=??+??=A m 2

1． 85.181057.183N -=??==z

z x F I M A F σMPa 2． A

F x N =max σ 310)57.1850(-?-?=z z I M 26.64=MPa （在y 正向最大位置）

3－14 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷F P ，已知F P = 60kN 。试求：

1．横截面上点A 的正应力取最小值时的截面高度h ； 2．在上述h 值下点A 的正应力值。

解：6

40)2(402

P P N h d h F h F W M A F z z x A -+=+=σ )32(202

P h d h F -= （1） 1．令0=??h A σ，0264

2=-h h hd ∴ h = 3d = 75mm （2）

2．由（1）、（2）式得：

40)75253752(2010602

3=?-??=A σMPa 3－15 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼

为圆截面。试：

1．确定截面B －B 上的应力分布；

2．假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面B －B 上的应力分布；

B －B 上最大压应力之比。

— 71 —

习题3-16图

(d)

(c)

解：1．795.04

7.26π104452

1N 1

N -=??=-=A F x σMPa

526.141032

7.26π10614459

31max

M =????==--z z W M σMPa ∴ 73.13795.0526.14max =-=+

σMPa 32.15795.0526.14max -=--=-σMPa

沿y 方向应力分布如图（c ）所示，中性轴为z c 。

2． 4

)27.26(7.26(π104452262

2-?-==

A F x N N σ)

411(7.26π10445426

-???-=

06.134795.0-=?-=MPa 494.1515

526.14)

1(1(412max 2=?=-==z z z z M W M W M σMPa

43.1406.1494.15max =-=+

σMpan

55.1606.1494.15max -=--=-

σMPa

z C 为中性轴，沿y 轴应力分布如图（d ）

3． 08.132

.1555

.1612==--

σσ，或926.055.1632.1521==--σσ

3－16 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向

力F P 。若已知F P =1kN ，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。解：66105010105--?=??=A m 2 69210121

106105---?=??=

y W m 3 6921024

106510--?=??=

z W m 3 F N x = 1 kN

510510003=??=-y M N ·m

5.2105.210003=??=-z M N ·m z

z y y x W M W M A F

+=N max

σ 140102415.2121550

10006=??

?????

?++=MPa 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A ，如图（a ）所示。

3－17 钢制立柱上承受纵向载荷F P 如图所示。现在A 、B 、D 三处测得x 方向的正应变

— 72 —

(b)

习题3-18图

(a)

610300)(-?-=A x ε，610900)(-?-=B x ε，610100)(-?-=D x ε。若已知钢的弹性模量E = 200GPa 。试求： 1．力F P 的大小；

2．加力点在Oyz 坐标中的坐标值。解：361061060100--?=??=A m 2 692

1010010610060--?=??=

z W m 3 692

1060106

60100---?=??=

y W m 3 P N F F x -=

y F M z ?=P y F M y P -= 6P P P N 10)60

1006000(?-+--=+-=

F y F F W M W M A F y y z z x A σ （1） 6P P P 10)601006000(

?-++-=z

F y F F B σ （2） 6P P P 10)60

1006000(?++-=z

F y F F D σ （3）

εσE = （4）

由（1）、（4），)10300(1020010)6010060001

(

69P 6P P -?-??=??---F z y 即 60)60

10060001

(P P P -=---F z y （5）由（2）、（4），180)60

10060001

(P P -=-+-F z y （6）由（3）、（4），20)60

10060001

(P P P -=++-F z y （7）解（5）、（6）、（7）：20m 02.0P ==z mm

25m 025.0P -=-=y mm F P = 240 kN

3－18 矩形截面柱受力如图所示，试证明：

1．当铅垂力F P 作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A 的正应力等于零：

6P P =+h y

b z

2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。

解：1．写出K 点压弯组合变形下的正应力（图a ）。

)(12)(3

P P 3P P P bh y

y F hb z z F A F ?-

??--=σ ?

??? ?

?++-=y h

y z b z hb F 121212P 2P P

（1）将)2

,2(b

h A --代入（1）式，并使正应力为零，得

F P 所作用的直线方程

61P P =--h y

b z

— 73 —

习题3-19图

(c)

习题3-20图

整理得：

P =+h y b z 2．若FP 作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b ）：

121212P 2P =++y h y z b z （2）中性轴n －n 的截距：???

???

=-=P t 0P t

066z h z y h y （3）

说明中性轴n －n ，与力F P 作用点位于形心C 的异

侧，说明n －n 划分为F P 作用下的区域为压应力区，另

一区域是拉应力区（见图b ）。如果将（2）改写为112

12P 2P 2-=+y h y z b z

（4）并且把中心轴上一点（y , z ）固定，即中性轴可绕该

点顺时针转动（从1―1转到2―2）

由（4）式，F P 作用必沿直线移动。由（3）式，2

－2直线的截距值大于1－1直线的。所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，F P 作用点F P1、F P2沿直线，并绕形心也顺时针转向。

如果中性轴绕A 点从1―1顺时针转动至3―3（中性轴始终在截

面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A 坐标代入（4）式：166P

P =+h y b z ，即F P 沿该直线移动。从F P1→F P2→F P3，反之铅垂力F P 从F P1→F P2→F P3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B 、F 、D 分别找另三条F P 移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂

压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。

3－19 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力F P 1．已知F P 、b 、h 、l 和β，求图中虚线所示截面上点a 的正应力；

2．求使点a 处正应力为零时的角度β值。

解：βsin P l F M y =，62

hb W y = βcos P l F M z =，6

bh W z = )sin cos (62

2P ββσh b h b lF

W M W M y y z z a -=-=

令0=a σ，则h b =

βtan ，h

1tan -=β 3－20 矩形截面柱受力如图所示。试：

1．已知β= 5°，求图示横截面上a 、b 、c 三点的正应力。 2．求使横截面上点b 正应力为零时的角度β值。解：βcos P N F F x =

04.0sin )(P ?=βF a M y

)(2)(a M b M y y =，)(3)(a M c M y y = 1．6

04.01.0sin 04.004.01.0cos 2

P P N ?-?=-=

βσF F W M A F y y x a

— 74 —

习题3-21图

习题3-22图

(a)

习题3-23图

)5sin 65(cos 004

.01060)

sin 6(cos 04

.01.03?-??=-?=

ββP

10.7=MPa

745.0)5sin 125(cos 004

.01060)(23

N -=?-??=-=y y x b W a M A F σMPa

59.8)(3N -=-=y

y x c W a M A F σMPa 2． 0)sin 12(cos N =-=

ββσA F x

b 12

tan =β，β= 4.76°

3－21 交通信号灯柱上受力如图所示。灯柱为管形截面，其外径D = 200mm ，内径d = 180mm 。若已知截面A 以上灯柱的重为4kN 。试求横截面上点H 和K 处的正应力。

解：8

.725

.3tan =θ，θ=22.62°

6700)cos 1950900400(N -=++-=θy F N

35101.2900)6.08.7(sin 1950=?--?=θz M N ·m

12.1)18.02.0(4

π6700

22N -=--==

A F x H σMPa 87.11)9.01(2.032

π3510

12.14

3N =-?+-=+=z z y K W M A F σMPa

3－22 No. 25a 普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a 、b 、c 、d 四点处的正应力。

解：4105.48-?=A m 2 61088.401-?=z W m 3 610283.48-?=y W m 3 100N -=x F kN

33310255.01025125.010100?=??+??=z M N ·m 33106.96.010)28(?=???=y M N ·m 6.62=z

W M MPa

199=y

y W M MPa

∴ 6.20N -==

A F x

c σMPa 6.41N =+=z

z x a W M

A F σMPa

240N =++=y y

z z x b W M W M A F σMPa 116N =+-=

z z x d W M W M A F σMpa

3－23 承受集度为q = 2.0kN/m 均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm 的半圆形。梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。

解：?=20cos q q y ，?=20sin q q z ，π

32d

y c =

— 75 —

(b)

习题3-24图

(c)

m N 94020cos 21

212

111max ?=?==?

?-?=q q q q M y y y z

34220sin 2

max

=?=q M y N ·m 612

44101.166410160π2164π21--?=??=?

=d I y m 4 62

24104956.4)π

32(8π64π21-?=?-=

d d d I z m 4 2

max d I M y I M y y c z z ?+?=+

610)08.010

1.16342

π316.02104956.4940(

---???+???= 80.8=MPa （左下角A 点）

最大压应力点应在CD 弧间，设为-σ

????

?????+--=-y y z c z I R M I y R M αασcos )sin (max max （1）

0d d =-ασ，得：834.9342

104956.4101.16940tan 66

max max =????==--y z y z M I I M α ?=19.84α代回（1）式，

71.91010

1.161019.84cos 80342104956.410)π3160219.84sin 80(94066363max

-=??????

??????+???-?-=------σMPa 3－24 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求N －Ｎ截面上a 、b 、c 三点的正应力及最大拉应力。

解：30=-N N M kN ·m

mm 38.652

8.1226.19218221620

180********

2018021020160=??+????+?=??+????+??=

c y

642323

10725.3333725128))38.6590(1802012

18020(2)38.552016012

20160(

m mm

-?==-??+?+??+?=z I 3.4905538.010725.3310306

=???=

-c σMPa （压应力）

8.3010)8038.65180(10725.3330000

=?--??=--b σMPa （拉应力） 4.6610)4038.65180(10

725.33103036

3=?--???=

--a σMPa （拉应力）

10210)38.65180(10

725.33103036

max =?-???=

=--d σσMPa （拉应力）

3－25 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。

（A ）M y = 0或M z = 0，0N ≠x F ；（B ）M y = M z = 0，0N ≠x F ；（C ）M y = 0，M z = 0，0N ≠x F ；（D ）0≠y M 或0≠z M ，0N =x F 。正确答案是 D 。

— 76 — 习题3-28图

解：正如教科书P168第2行所说，只要0N ≠x F ，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选

（D ）。

3－26 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。

（A ）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心；

（B ）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心；

（C ）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心；

（D ）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。

正确答案是 D 。

解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D ）。

3－27 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A ）0≠y M ，0≠z M ，0N ≠x F ，中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心；

（B ）0≠y M ，0≠z M ，0N =x F ，中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心；

（C ）0≠y M ，0≠z M ，0N =x F ，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心；

（D ）0≠y M 或0≠z M ，0N ≠x F ，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心。

正确答案是 B 。

解：本题解答理由参见原书P167第2-3行。

3－28 承受相同弯矩M z 的三根直梁，其截面组成方式如图a 、b 、c 所示。图a 中的截面为一整体；图b 中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图c 中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为)a (max σ、)b (max σ、)c (max σ。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A ）)a (max σ＜)b (max σ＜)c (max σ；

（B ）)a (max σ＝)b (max σ＜)c (max σ；

（C ）)a (max σ＜)b (max σ＝)c (max σ；

（D ）)a (max σ＝)b (max σ＝)c (max σ。

正确答案是 B 。

解：33max 66

)(d

M d M a z z ==σ 33max 6212

22)(d M d d d M b z z =??=σ 33max 124

(2)(d M d d d M c z z

=?=σ ∴选（B ）。第4章弹性杆件横截面上的切应力分析

4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。

（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载；

（B ）等截面圆轴；

（C ）等截面圆轴与椭圆轴；

（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。

正确答案是 A 。

解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。

（A ）max 1τ＞max 2τ；

（B ）max 1τ＜max 2τ；

（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ；

（D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。

— 77 —

习题4-6图正确答案是 C 。

解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。

4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。

（A ）234)1(α-；

（B ）)1()1(2234αα--；

（C ）)1)(1(24αα--；

（D ）)1/()1(2324αα--。

正确答案是 D 。

解：由max 2max 1ττ=得

)

1(π16π1643231α-=d M d M x x 即 31421)1(α-=D d （1）

)

1(2222

12121α-==D d A A W W （2）（1）代入（2），得

2324211)1(αα--=W W

4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外

层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。

圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无

相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所

示的四种结论，试判断哪一种是正确的。正确答案是 C 。

解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交

界面上：212ττ=。

4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点)4/(d a a =ρ的切应变s γγ=a ，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的γτ-关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。

正确答案是 A 。

4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。试求：

1．轴横截面上的最大切应力；

2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；

3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。

解：1．7.7006.0π1610316

π3

33P P max 1=???====d T W T W M x τMPa 2． 4π2d π2d 4

p p 01r I M I M A M x x r

A r ?=??=?=??ρρρρτρ ∴ %25.6161)6015(161632π4π24π244

444p 4==?==?==d r d r I r M M x r

习题8-4图

习题4-5图

— 78 —

3． ??

??-==

43p max 2)21(116πd T

W M x τ %67.615

1)2

1(1)21

(144

max 1max 1max 2==-=-=-=?αατττττ 4－7 图示芯轴AB 与轴套CD 的轴线重合，二者在B 、C 处连成一体；在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm ；轴套的外径D = 80mm ，壁厚δ= 6mm 。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa 。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 。

解：6311p max 106016π?≤==d

W M x 轴τ

33871016

66π1060936

1=???

?≤-T N ·m 643

2p max 1060)8068(116π?≤???

??-==d T W M x 套τ 2883)2017(1101680π106049362=??? ?

-???

?≤-T N ·m ∴ 28832m a x =≤T T N ·m 31088.2?=N ·m

4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R 0，空心圆轴的

内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：