概率统计教案1

第一章 随机事件与概率

一、教材说明

本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。 1．教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；

（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算； （3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。 本章的教学要求是：

（１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；

（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；

（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。

２．本章的重点与难点

本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。

二、教学内容

本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。

1.1 随机事件及其运算

本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。 一、 随机现象

１．定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； （２）掷一颗骰子，出现的点数； （３）一天内进入某超市的顾客数；

（４）某种型号电视机的寿命；

（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。 随机现象到处可见。

２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。 ３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。 二、样本空间

１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为

?????

其中，?表示基本结果，称为样本点。

1

２．离散样本空间和连续样本空间。 三、随机事件

1．定义 随机现象的某些样本点组成的集合。 2．维恩图 事件的集合表示。

3．例 掷一颗骰子的样本空间为：??{1,2,?,6}。 事件A=“出现1点”，它由?的单个样本点“1”组成。

事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。 事件C=“出现的点数大于6”，?中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不 可能事件?。 四、随机变量

1．定义 用来表示随机现象结果的变量。

2．例 掷骰子，出现的点数是一个随机变量；不合格产品数是一个随机变量，等等。 五、事件之间的关系

事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等，以及各种关系的维恩图表示。

六、事件运算

1．事件运算：并、交、差、补。 2．事件的运算性质： （1）交换律：

A?B?B?（2）结合律：

(A?B)?C?（3）分配律：

(A?B)?C?(A?（4）对偶律（德莫根公式）： A?B?A?证明略。

七、事件域

1．定义 设?为一样本空间， F为?的某些子集组成的集合，如果F满足： （1）??F;

（2）若A?F，则A?F；

??,A?A ?B?B；AA?(?BC),(?A ?B)?C?A?(B； CC?)(?B； CC),?(A?B)?C?(A?C)?(B,B?A?B ?A。B （3）若An?F，n?1,2,?,则?An?F。

n?1则称F为一事件域或??代数。

2．常见事件域

2

例 常见事件域：F1??,A,A,?;F2??(?1,?2,??n,?)；等。 3．波雷尔事件域： F??((??,x),x??)。

??

1.2 概率的定义及其确定方法

本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率方法、古典方法、几何方法及主观方法。主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。

一、概率的公理化定义

1.定义 设?为一样本空间， F为?上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件A?F，定义在F上的一个实值函数P（A）满足： （1） 非负性公理：P(A)?0; （2） 正则性公理：P(A)?1;

（3） 可列可加性公理：若A1,A2,?An,?两两互不相容，有

????P(?An)?n?1?P(An?1n);

则称P（A）为事件A的概率，称三元素(?,F,P)为概率空间。

2.概率是关于事件的函数。 二、排列与组合公式

1.两大计数原理 乘法原理，加法原理。 介绍略。

2.排列、组合的定义及计算公式 （1）排列

Pn?（2）重复排列 n

（3）组合

Cn?（4）重复组合

r Cn?r?1

rn!?n?r?!,(r?n)

rrn!r!?n?r?!,(r?n)

三、确定概率的频率方法

3

1.定义 在n次独立重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，又称n(A)为事件A的频数，称

fn(A)?为事件A出现的频率。

2.基本思想 在与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行的条件下，记事件A的频率为fn(A)，随着n的增加，fn(A)会稳定在一常数?附近，这个频率的稳定值就是所求事件A的概率。

3.说明频率稳定性的例子

例 投硬币n次，正、反面出现的概率分别为1/2; 等。 四、确定概率的古典方法

1.基本思想

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如n个； （2）每个样本点发生的可能性相等；

（3）若事件A含有k个样本点，则A的概率为 P(A)?事件A所含样本点个数?中所含样本点个数?kn.

n(A)n

2.例（抽样模型）一批产品共有N个，其中M个不合格品，N-M个合格品，从中抽取n个，求事件Am=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。

分析 略。 解 略。

例（彩票模型）在35选7的彩票中，即从01，02，?35中不重复的开出7个基本号码和一个特殊号码。求各等奖中奖的概率（附：中奖规则） 分析 略。

解 略。

五、确定概率的几何方法

1.基本思想

（1）如果一个随机现象的样本空间?充满某个区间，其度量可用S?表示； （2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的：

（3）若事件A为?中的某个子区域，其度量为SA，则事件A的概率为 P(A)=A。

S?S2.例（会面问题）甲、乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人20分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。 分析 略。

解 略。

六、确定概率的主观方法

1.定义 统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可

4

能性给出的个人信念。这样给出的概率称为主观概率。 2.例：气象预报中，“明天下雨的概率为90%”； 一个教师认为,“甲能考取大学的可能性为95%”。

1.3 概率的性质

本节包括概率的可加性、单调性、一般加法公式和连续性等内容，主要介绍概率的性质及利用性质计算概率。 一、概率的可加性

1.有限可加性 若有限个事件A1,A2,?An互不相容，则有

nn P(?Ai)?i?1?P(A)

ii?1证明 略。

2.对任一事件A，有：

P(A)?1?P(A )3.例 抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。

分析 略。 解 略。

二、概率的单调性

1．若A?B，则P(A?B)?P(A)?P(B)。 证明 略。

2．若A?B，则P(A)?P(B)。 证明 略。

3.对任意两个事件A，B，有

P(A?B)?P(A)?证明 略。

4.例 口袋中有编号为1,2,?,N的N个球，从中有放回地任取M次，求取出的M个球的最大号码为K的概率。

分析 略。

解 略。

三、概率的加法公式

1．对任意两个事件A，B，有 P(A?B)? 对任意n个事件A1,A2,?An，有

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P(A。B)

P(A)?P(B?)。B P(A

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