2011年重庆中考复习数学第24题专题训练

2011年重庆中考复习数学第24题专题训练

1、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G为EF的中点．

求证：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．

（1）证明：∵BE=DF，BC=CD，∠EBC=∠CDF，∴△CEB≌△CFD，∴CE=CF；

（2）证明：连接AG，CG 在Rt△EAF中，∵G是斜边EF的中点，∴AG=GE=GF，又∵△EBC≌△FDC∴∠ECB=∠FCD，∠BCD=90°，∴∠ECF=90°，∴同理：CG=GE=GF，即GC=GA，∴G点在AC的垂直平分线上，

又∵DA=DC，∴D点也在AC的垂直平分线上，∴DG垂直平分AC．

2、（2010?鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F

（1）求证：BF=AD+CF；

（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．

解：（1）证法一：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC

证法二：如图（2），过点D作DN∥AB交BC于N∵AD∥BN，AB∥DN，∴AD=BN，

∵EF∥AB，∴DN∥EF∴△CEF∽△CDN∴ BF=BN+NF=AD+FC

∵ ，∴ 即NF=CF ∴

（2）∵AB∥EF，∴∠1+∠2=∠EFC，∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，

∵BF=AD+CF，∴EF=BF=AD+BC-BF=1+7-BF ∴2BF=8，∴EF=BF= ．

3.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.

⑴求证：△ABE≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.

解.⑴证明：在△BAE与△FCB中，

F

B

C

A D

E

（第24题图）

?BA?FC?∵??A??BCF ∴△BAE≌△FCB ?AE?BC?⑵延长BC交EF点G，作AH⊥BG于H，∵△BAE≌△FCB∴∠AEB=∠FBG，BE=BF 又∵AE∥BC∴△BEF为等腰三角形∴∠AEB=∠EBG ∴∠EBG=∠FBG ∴BG⊥EF

在Rt△EGB中，EG=AB·Sin60=6×

o

32=3

3 BG=6×2+6×Cos60=15(8分)

o

∴tan∠EBC=

EG333?? BG155

，AB=BC，M为BC边上一点． 4.直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．

（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．

解：（1）证明：作AF⊥CD交延长线于点F．∵∠DMC=45°，∠C=90°∴CM=CD， 又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，∴四边形ABCE为正方形，∴BC=CF，∴BM=DF， 在Rt△ABM和Rt△AFD中，AB=AE，∠B=∠AFD=90°，BM=DE，∴△ABM≌△AED，∴AD=AM．

（2）解：把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，得Rt△AFN． ∵∠DAM=45°，∴∠BAM+∠DAF=45°，

由旋转知∠BAM=∠NAF，∴∠DAF+∠NAF=45°，即∠DAM=∠DAN， 由旋转知AM=AN，∴△ADM≌△ADN，∴DM=DN，设BM=x， ∵AB=BC=CE=7，∴CM=7-x又∵CD=4，∴DE=3，BM=EN=x， ∴MD=DN=3+x，

在Rt△CDM中，（7-x）2+42=（3+x）2解得：

，

∴BM的值为 ．

答：BM的值为 ．

5.已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点 （1）求证：FG=FH；

（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．

证明：连接BF ∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形 ∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA ∴∠DAF=∠CBF∵

∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD ∴∠FGH=∠FHG∴FG=FH； （2）解：∵AC=CE∠E=60° ∴△ACE为等边三角形∴CE=AE=8∵AB⊥BC ∴BC=BE=

=4 ∴根据勾股定理AB=

=

=

．

∴梯形AECD的面积=

6、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．

（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；

（2）求证：AB+CD=2BE．

证：（1）连接OG．∵O为PF中点，∴DO=OF，又∵AB∥CD且DF⊥AB，∴∠ODC=∠OFA．

∴在△ODC和△OFA中，∴△ODC≌△OFA．∴CD=AF=3．又∵FG=4，∴AG=AF+FG=7=CG．

即：AG=CG．又∵△ODC≌△OFA，∴OA=OC．∵AG=CG，∴OG为∠AGC的角平分线．

∵OF⊥AG，ON⊥CG，∴OF=OH．

（2）过D作DM∥AC交BA的延长线于M．∵梯形ABCS中，AD=BC，∴BD=AC． 又∵CD∥AM，DM∥AC，∴四边形CDMA为平行四边形．∴DM=AC，CD=AM．∵MD∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，

∴DM⊥BD，DM=BD，∴△DMB为等腰直角三角形．又∵DF⊥BM，∴DF=BF．∴BM=2DF=2BF∴AM+AB=2BF．

∵CD=AM，∴AB+CD=2BF．∵AC=BD=AB，∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．∴BE=BF．

∵AB+CD=2BF，∴AB+CD=2BE．

7.已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证： (1)∠ADF=∠BCF；(2) AF⊥CF. 证明: (1)∵四边形ABCD为矩形 ∠ADC=∠BCD=∠DCE=90?

在Rt△DCE中,F为斜边DE中点∴FC=FD∴∠1=∠2 ∴∠ADC+∠1=∠BCD+∠2即:∠ADF=∠BCF (2).方法一:连结BF 在△ADF和△BCF中,

∴AD=BC

AD1 3 4 5 2 FEBC?AD?BC???ADF??BCF∴△ADF≌△BCF∴∠3=∠5 ?FD?FC?又∵BD=BE,F为DE中点∴BF⊥DE

∴∠BFD=90,即:∠3+∠4=90∴∠4+∠5=90,即∠AFC=90∴AF⊥FC 方法二:连结AC交BD于点G,连结FG∵四边形ABCD为矩形

????AD1 G 2 FCEB

∴AC=BD,G为AC,BD中点又∵F为DE中点∴FG?∵BE=BD∴FG?1BE 2111BE?BD?AC∴∠AFC=90?∴AF⊥FC 222

8．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM＋CD． ⑴求证：点F是CD边的中点； ⑵求证：∠MBC＝2∠ABE．

AEMD

F

BC

证明：⑴∵正方形ABCD中AD=AB，∠ADC=∠BAD=90° ∴∠1+∠2=90° ∵AF⊥BE ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 在△ADF和△BAE中 ??1??3??AD?BA??ADC??BAD?

∴△ADF≌△BAE ∴DF=AE ∵AE=DE=1AD AD=AB

2 ∴DF=CF=1AB ∴点F是CD边的中点

2 ⑵连结BF，并延长交AD的延长线于点N ∵正方形ABCD中AD∥BC ∴∠4=∠N

?4??N 在△NDF和△BCF中????6??7?DF?CF? ∴△NDF≌△BCF ∴DN=CB ∵正方形ABCD中AD=BC=CD ∴DN=CD ∵BM=DM+CD ∴BM=DM+DN=MN

∴∠5=∠N=∠4 即∠MBC=2∠4

AD?BC 在△ADF和△BCF中????ADC??C?DF?CF?

∴△ADF≌△BCF ∴∠1=∠4

∵∠1=∠3 ∴∠3=∠4

∴∠MBC=2∠3=2∠ABE （注：只要方法正确按同等情况给分）

19、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E． （1）求证：CF=CG；

（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．

（1）证明：连接AC，∵DC∥AB，AB=BC，∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ADC≌△AEC，∴CD=CE；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，∴△FDC≌△GEC，∴CF=CG． （2）解：由（1）知，CE=CD=2，∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt△ABE中，AE= ∴在Rt△ACE中，AC=

，

；

法一：由（1）知，△ADC≌△AEC，∴CD=CE，AD=AE，∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，

∴DE⊥AC，DE=2EH；在RtAEC中， ∴EH=

法二：在Rt△AEC中，∠2+∠6=90°，在Rt△AEH中，∠5+∠6=90°，∴∠2=∠5；∵AD=AE，AB=BC，∴∠5=∠7，∠CAB=∠2，∴∠7=∠CAB，∴△ADE∽△BAC；∴ 即

，∴

．

，

，∴DE=2EH=2×

=

．

，

10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点

E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°． （1）求证：BE=BF；

（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．

（1）证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD， ∴∠DAB=90°，且∠DAC=30°，∴∠BAC=60°．

∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形．∴AB=BC，又∵∠ABC=∠FBE，∴∠ABE=∠CBF，

在△ABE和△CBF中 ∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF；

（2）连接EF．由（1）知△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．又∵∠ABC=∠FBE，∴∠FBE=60°，

∵BE=BF，∴△EBF为等边三角形，∴∠BEF=60°，EF=BF，∵∠CEB=30°，∴∠CEF=90°，

∴在Rt△CEF中，CF2=CE2+EF2=CE2+BF2，∵CE=5，BF=4，∴CF= 由（1）△ABE≌△CBF知，AE=CF， ∴AE=

．

．又

11.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE． （1）求证：BE=BC； （2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证： ；

（3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为

（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，∴BG垂直平分线段AE，∴AB=BE，在正方形ABCD中，AB=BC，∴BE=BC；

（2）证明：∵AB=BE，∴∠BAG=∠BEG，∵BG⊥AP，∠ABC=90°，∴∠BAG=∠PBG=∠BEG，∵BN为∠CBE的平分线，∴∠EBN=∠CBN，∴∠PBG+∠CBN=∠EBN+∠BEG，即∠BNG=∠NGB=45°，∴△BNG是等腰直角三角形，BN=

GN，

连接CN、AC，则∠CNE=2（∠EBN+∠BEG）=90°，又∠ADC=90°，∴A、D、C、N四点共圆，∴∠CND=∠CAD=45°，∴∠AND=45°，过D作DM⊥AE于点M，则△DNM为等腰直角三角形，∴DN=

DM，∵∠DAM+∠ADM=90°，

∠DAM+∠BAG=90°，∴∠ADM=∠BAG，在△ABG和△DAM中，

，∴△ABG≌△DAM（AAS），∴AG=DM，

∴BN+DN=

GN+

AG=

（GN+AG）=

=

AN； =

，∴BG=

=

，

（3）根据勾股定理，AP=

∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，∴△BPG≌△CNP（AAS），∴CN=BG，∴CE=

CN=

×

=

．

12.（2010重庆） 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．

（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；

1

（2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

2

（1）连接MD，

∵点E是DC的中点，ME⊥DC

∴MD＝MC（线段垂直平分线的性质）

在⊿AMD和⊿FMC 中，CF＝AD，MF＝MA，MD＝MC ∴⊿AMD≌⊿FMC（sss） ∴∠MAD＝∠MFC＝120° 又∵AD∥BC，∠ABC＝90°

∴∠BAD＝90°∴∠MAB＝120°－90°＝30° ∴AM＝2MB

(2) ∵AD∥BC

∴∠ADM＝∠DMB， 又∵⊿AMD≌⊿FMC ∴∠ADM＝∠MCF ∴∠DMB＝∠MCF

又∵点E是DC的中点，ME⊥DC∠DME＝∠PMB＝ 1

2

∠MCF

在Rt⊿PMB中 ∵∠PBM＝90°

∴∠MPB＝90°－∠PMB

即：∠MPB＝90°－ 1

2

∠FCM

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o0yr.html