解物理竞赛题的数学技巧

解物理竞赛题的数学技巧

文／郭履平

在中学生物理竞赛中，不难发现这样一类试题：题目描述的物理情境并不陌生，所涉及的物理知识也并不复杂，若能恰当地运用数学技巧求解，问题就可顺利得到解决．然而，选手在处理这类问题时，往往由于不能灵活运用数学技巧而前功尽弃．辅导教师在对参赛选手进行物理知识传授、物理方法渗透的同时，利用某些典型的物理问题去传授和强化他们的数学技巧，提高他们运用数学解决物理问题的能力是十分必要的．笔者通过实例剖析，就解物理竞赛题中的数学技巧作一简要探讨． 一、引入参数方程，简解未知量多于方程数的问题

例1（第15届全国中学生物理竞赛试题） 1ｍｏｌ理想气体缓慢的经历了一个循环过程，在ｐ－Ｖ图中这一过程是一个椭圆，如图1所示．已知此气体若处在与椭圆中心Ｏ′点所对应的状态时，其温度为Ｔ０＝300Ｋ，求在整个循环过程中气体的最高温度Ｔ１和最低温度Ｔ２各是多少．

图1

分析与解 由题给条件，可列出两个相对独立的方程．即气体循环过程的椭圆方程和理想气体的状态方程，即

， ①

ｐＶ＝ＲＴ． ②

①、②两方程中含三个未知量ｐ、Ｖ、Ｔ，直接对①、②两式进行演算，要求出循环过程中的最高温度Ｔ１或最低温度Ｔ２，是较为困难的．现根据①式引入含参数定

义的方程为



②式则转化为

Ｔ＝（1／Ｒ）（ｐ０＋（ｐ０／2）ｓｉｎα）（Ｖ０＋（Ｖ０／2）ｃｏｓα），即 Ｔ＝［1＋（1／2）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）＋（1／4）ｓｉｎαｃｏｓα］Ｔ０， ③ （上式中Ｔ０＝ｐ０Ｖ０／Ｒ，为Ｏ′点对应的温度） 因为 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝

ｓｉｎ（（π／4）＋α），

ｓｉｎαｃｏｓα＝（（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２－1）／2， ④ 而 －1≤ｓｉｎ（（π／4）＋α）≤1， 所以 －

≤ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，

时，由④式知

当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2， 将上式代入③式得 Ｔ≤［1＋（1／2）×

＋（1／4）×（1／2）］Ｔ０，

即最高温度 Ｔ１＝549Ｋ． 当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≥－

，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝－

时，由④式知

ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2， 代入③式，得

Ｔ≥［1＋（1／2）（－即最低温度 Ｔ２＝125Ｋ．

二、实施近似处理，解决物理规律不明显的问题

例2 如图2所示，两个带电量均为Ｑ的正点电荷，固定放置在ｘ轴上的Ａ、Ｂ

＋（1／4）·（1／2））］Ｔ０，

两处，点Ａ、Ｂ到原点的距离都等于ｒ，若在原点Ｏ放置另一带正电的点电荷，其带电量为ｑ．当限制点电荷ｑ在哪些方向上运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的?

图2

分析与解 设限制点电荷ｑ在与ｘ轴成θ角的ｙ轴上运动．当它受扰动移动到Ｐ点，即沿ｙ轴有微小的位移ｙ（

＝ｙ）时，Ａ、Ｂ两处的点电荷对ｑ的库仑

力分别为ｆＡ、ｆＢ．则ｑ在ｙ轴上的合力为 ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／由余弦定理知 

＝ｒ２＋ｙ２＋2ｒｙｃｏｓθ， ＝ｒ２＋ｙ２－2ｒｙｃｏｓθ．

）ｃｏｓα－ｋ（Ｑｑ／

）ｃｏｓβ，

又由三角形知，

ｃｏｓα＝（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／ｃｏｓβ＝（ｒｃｏｓθ－ｙ）／

， ，

故 ｆｙ＝ｋＱｑ（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／（ｒ２＋ｙ２－2ｒｙｃｏｓθ）３／２－（ｋＱｑ（ｒｃｏｓθ－ｙ）／（ｒ２＋ｙ２－2ｒｙｃｏｓθ）３／２）．

上式已表示出ｆｙ与θ、ｙ间的定量关系．可它们满足的规律并不明显．怎样将合力ｆｙ与方向角θ、位移ｙ之间的物理规律显现出来?由于ｙ很小，故ｙ的二次项可略去，得



ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ３），

即 ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ３）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／

２

－（ｒｃｏｓθ－ｙ）（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／２］，

根据二项式展开式

（1＋ｔ）Ｓ＝1＋Ｓｔ＋（Ｓ（Ｓ－1）／2！）ｔ２＋…＋（（Ｓ（Ｓ－1）…（Ｓ－ｎ＋1））／ｎ！）ｔｎ＋……， （其中Ｓ为任意实数）

有（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／２＝1＋（－3／2）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋

（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）２＋……， （1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／２＝1＋（－3／2）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ） ＋（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）２＋……， 又由于ｙ＜＜ｒ，或（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ＜＜1，故（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）的二次项及二次项以上高次项可略去，得

ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ３）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1－（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－（ｒｃｏｓθ－ｙ）（1＋（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）］， ＝－ｋ（2Ｑｑ／ｒ３）（3ｃｏｓ２θ－1）ｙ．

由此可见，当（3ｃｏｓ２θ－1）＞0时，ｆｙ＜0，即合力方向指向原点，与位移方向相反，即ｆｙ具有回复力的特征．因而点电荷ｑ是稳定的．

图3

根据3ｃｏｓ２θ－1＞0，即ｃｏｓθ＞－ａｒｃｃｏｓ（

／3时，得

／3），

／3）＜θ＜ａｒｃｃｏｓ（

或当ｃｏｓθ＜－／3时，得

／3）＜θ＜π＋ａｒｃｃｏｓ（

／3）．

π－ａｒｃｏｓ（

故当限制点电荷ｑ在如图3的阴影区域运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的． 三、利用特殊值，求解一般性问题

特殊值是指物理量在某一特殊情况下的取值．物理量在一般情况下的量值之间必然与特殊值之间存在一定的联系．我们若能确定某一特殊值，则往往可以借助数学技巧来求出一般情况下该物理量的量值．

例3 一个空心的环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图4所示，管口联机在一水平线上．今向管内装入与管壁相切的2ｍ个小滚珠，左、右侧顶部的滚珠都与圆管截面相切．已知单个滚珠重Ｇ，并设系统中处处无摩擦．求从左边起第ｎ个和第（ｎ＋1）个滚珠之间的相互压力Ｑｎ．

图4

分析与解 研究一般性问题——分析第ｎ个滚珠的受力情况，此滚珠受四个力的作用：重力Ｇ，管壁对它的弹力Ｔｎ，第（ｎ－1）个滚珠对它的压力Ｑｎ－１及第（ｎ＋1）个滚珠对它的压力Ｑｎ．由于Ｔｎ的量值未知，且不为本题所求，故选取如图5所示的与Ｔｎ方向共线的轴作为ｙ轴建立直角坐标系．

图5

由平衡条件知ｘ轴方向的合力为零，得

图6

Ｑｎ－１ｃｏｓα＋Ｇｃｏｓβ－Ｑｎｃｏｓα＝0， 由几何知识，得α＝θ／2（其中θ＝π／2ｍ）， β＝（（ｎ－1）π／2ｍ）＋α，

故Ｑｎ－Ｑｎ－１＝． ①

根据①式，如何求得Ｑｎ？对第1个滚珠进行受力分析，如图6所示，得到一特殊值，

即 Ｑ１＝， ②

故可对①式进行递推，得

Ｑ２－Ｑ１＝，

Ｑ３－Ｑ２＝……

，

Ｑｎ－Ｑｎ－１＝．

将上面所列等式左、右两边分别相加，得

Ｑｎ－Ｑ１＝［ｃｏｓ（3π／4ｍ）＋ｃｏｓ（5π／4ｍ）＋…＋ｃｏｓ（（2ｎ－1）π／4ｍ）］·Ｇ／ｃｏｓ（π／4ｍ）， 把②式代入，得 Ｑｎ＝［

ｃｏｓ（（2ｋ－1）π／4 ｍ）］·Ｇ／ｃｏｓ（π／4ｍ）．

而 ｃｏｓ（（2ｋ－1）π／4ｍ）

2ｃｏｓ（（ｋπ／2ｍ）－（π／4ｍ））ｓｉ

＝（1／2ｓｉｎ（π／4ｍ））ｎ（π／4ｍ）

＝（1／2ｓｉｎ（π／4ｍ））π／2ｍ）］， 又

［ｓｉｎ（ｋπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｋ－1）

［ｓｉｎ（ｋπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｋ－1）π／2ｍ）］

＝［ｓｉｎ（π／2ｍ）－0］＋［ｓｉｎ（2π／2ｍ）－ｓｉｎ（π／2ｍ）］ ＋［ｓｉｎ（3π／2ｍ）－ｓｉｎ（2π／2ｍ）］＋…

＋［ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｎ－1）π／2ｍ）］＝ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ），

故 Ｑｎ＝（ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ）／ｓｉｎ（π／2ｍ））·Ｇ

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