2009机械振动习题集(同济大学)

机械振动习题集

同济大学机械设计研究所

2009.2

第一章 概论

1-1概念

1. 机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？

构造振动系统力学模型的元件，其典型元件有惯性元件、弹性元件、阻尼元件 2. 机械振动研究哪三类基本问题？

振动分析：已知激励和系统求响应；系统识别：已知激励和响应求系统；载荷识别或环境预测：已知系统和响应求激励。 3. 对机械振动进行分析的一般步骤是什么？

第一步：把工程实际问题简化为振动分析的力学模型；第二部：根据力学模型，运用力学原理导出数学模型（即系统的运动微分方程）；第三步：求解系统微分方程，得到系统响应；第四步：对求解的结果进行讨论分析，从中获得解决工程实际问题的有用信息；第五步：实验验证上述理论分析结果。

4. 在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？

力学模型：对实际问题的近似，使用简化的、理想的元件和输入、输出元素构造的假象模型；数学模型：在力学模型的基础上建立的能够完全确定系统运动规律的数学方程式。

5. 惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？

惯性元件的基本特性：在运动时将产生与加速度呈线性关系的惯性力（矩）；弹性元件的基本特性：在变形时将产生与变形相关、抵抗变形的弹性恢复力（矩）；阻尼元件的基本特性：在变形时将产生与变形速度相关、阻碍变性变化的阻尼力（矩）。 6. 什么叫离散元件或集中参数元件？

只考虑惯性、弹性、阻尼中一种因素的元件。 7. 什么叫连续体或分布参数元件？

同时考虑物理构件惯性、弹性和阻尼作用的模型元件。 8. 建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？

1、等效性；2、简易性；3、逐步逼近。

9. 建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模

型。一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块放置在地面上，试建立其力学模型。

机器 板 支撑块 地基

建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题： ? 预测振动的基本形态，了解分析的目的和要求； ? 振动时构件的主要变形；

? 储存振动动能的主要惯性； ? 振动的主要激励； ? 振动的主要阻尼；

10. 如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？

构造系统的惯性元件、弹性元件、阻尼元件 、以及连接元件都是线性元件 11. 如果一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？

构造系统的惯性元件、弹性元件、阻尼元件 、以及连接元件的参数都是固定的 12. 试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？

1-2简谐运动及其运算

1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）x?2sin(?t??3) （2）x?4cos(10?t??4) （3）x?3cos(2?t?45?)

答案：（1）XS?3?1j,XB??3131?j,XB???j 2222（2）XS?22?22j,XB??（3）XS?2?2j,XB??2?2j

323232323232?j,XB???j,XB???j 224444

2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具”对（2）（3）进行校核

（1）x1?2sin(?t??3) x2?3sin?(t?

2?) 3（2）x1?5sin10?t x2?4cos(10?t??4)

（3）x1?4sin(2?t?30?) x2?5sin(2?t?60?) x3?3cos(2?t?45?)

x4?7cos(2?t?38?) x5?2cos(2?t?72?)

答案：

（1）x12?4.359cos(?t?6.6?) （2）x12?3.566cos(10?t?47.52?) （3）x12345?14.776cos(2?t?9.22?)

3试计算题1中x(t)的一阶导数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程

??bx??cx?f(t)。试计算下列问题 x4设x(t)、f(t)为同频简谐函数，并且满足a?（1）已知a?1.5,b?6,c?25,x(t)?10sin(12?t?37)，求f(t) （2）已知a?3,b?7,c?30,f(t)?25sin(7?t?64)，求x(t)

答案：

（1） f(t)=85190.82cos(12πt+126.45°) （2） x(t)=0.018sin(7πt-109.81°)

5简述同向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点

6简述同向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点

1) 如果频率比值为无理数，则没有共同周期，叠加后为非周期振动。

2) 如果频率比值为有理数，叠加后的振动周期为他们周期的最小公共周期，如果比值接

近1，将出现“拍”现象，如果相差较大，出现“调制”现象。

3) 在“拍”和“调制”的情况下，幅值相差很大时，合成图形依然趋于正弦图形。 7简述垂直方向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点 答： 垂直方向同频简谐振动在

i. 同相时：不同幅值下为一条直线，直线的斜率等于y方向上振动的幅值比x

方向上振动的幅值。 ii. 不同相时：为一椭圆，椭圆形状随相位和幅值的变化而变化。

8简述垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点？

答：垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下的合成运动，一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。但是，当两个互相垂直的振动频率成整数比时，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。

9利用“振动计算实用工具”，通过输入具体参数，观察1-5题到1-8题振动合成的图形及其特点 答案：

（1）同向同频 幅值由两者的幅值和相位决定，频率不变。相位相同时，合成后的幅值为两者之和，相位相反时，合成后的幅值为两者之差。其它相位情况介于两者之间。

图 1 x1(t), x2(t)1510500-520406080100120140160-10-15

图2 x(t)1510500-520406080100120140160-10-15

（2）同向异频

第二章 单自由度系统的振动理论

2-2单自由度系统振动

1 求图示系统的固有频率。 其中（a）（b）图中，不计杆的质量m和抗弯刚度EI；（c）（d）图中，简支梁的抗弯刚度为EI，质量不计。受力情况如图所示。

LAmKA1A2A3m1A4K2m2K1(a)LEIL/2mKEIL/2(b)mKL(c)图2-1

(d)

k1A22?k2A32Lk答案：（a）?n?； (b)?n?； 22m1A1?m2A4Am （c）?n?48EI?k3l48EIkm；(d)

?n?

(48EIkl3l3

?k)m

2求图示系统固有频率。

（a）图为一单摆，摆球质量m，摆长L。

（b）图中两个弹簧在距单摆固定端a处连接。 （c）图为一倒立摆，两弹簧在距底端a处连接。

maLk/2Lm(a)(b)k/2amLk/2k/2(c) 图2-2

gka2?mglka2?mgl答案：(a)?n?；(b)?n?；(c) ?n? 22lmlml3求图示系统固有频率。

（a） 图中，水平方向的两杆视为弹性系数为k1，k2的弹簧，四个弹簧的连接关系为：

k1与k2串联后与k3并联，再与k4串联。

（b） 图中，滑轮和绳子的质量以及绳子的弹性略去不计。

k1k1k2k3k4mmxxk2(a)(b)

图2-3

?k1k2?k3????k4k1?k2k1k2??答案：(a) ?n?；(b)?n? 4m(k1?k2)(k1k2?k2?k3?k4)?mk1

4 图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量m?1kg时，测得振动频率为1.5Hz。当带有质量m?2kg时，测得振动频率为0.75Hz。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状态时顶端质量ms为多少？

mkιaO 图2-4

答案：ms?3kg

5 如图2-5所示，具有与竖直线成一微小角?的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质心C处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量W时，重摆微小振动的频率。

BlβCA图2-5 答案：?n?W gsin?/l 6 两个滑块在光滑的机体槽内滑动（见图2-18），机体在水平面内绕固定轴O以角速度?转动。每个滑块质量为m，各用弹簧常数为k的弹簧支承。试确定其固有频率。

ωkmkm 图2-18 答案：?n?k??2 m

7 确定图2-6所示系统的固有频率。圆盘质量为m。

karO图2-6 kx 4k?r?a?答案：?n? 3mr228 确定图2-7系统的固有频率，滑轮质量为M。绳子的质量和弹性不计。 kMrOxm 图2-7 答案：?n?k 4m?3M

9 质量为m半径为r的圆盘在半径为R的轨道上做纯滚动，确定图2-8系统的固有频率。

Rmr 图2-8 答案：?n?2g

3?R?r?

10用三根长度为l的细线将一质量m半径r的刚性圆盘吊在天花板上，吊点三等分圆周 （1）求圆盘绕其垂直中心线作回转运动的固有频率 （2）求圆盘只作水平横向振动（不旋转）的固有频率

Lr

图2-9

答案：（1）

2g（2）?n?lg l

11横截面为A质量为m的圆柱型浮子静止在比重为γ的液体中。设从平衡位置压低x，然后无初速度释放，如不计阻尼，求浮子振动响应

xx

图2-10

答案：x(t)?xcos(?nt);?n??gAm

图2-15

12 各弹簧已预紧（受拉），求图示系统的固有频率。

k3m1Rrk1k4m2k2

图2-11

答案：

R2m1?2m2Mr即w1?? 2RR2Kk1?2k2?k3?2k4rr12求等截面U型管内液体振动周期，阻力不计，管内液柱总长度L

xx

图2-12

答案：T=2?L 2g13如图所示，两个滚轮以相反方向等速转动，两个滚轮中心距2a，上面放置一块重量W长度l的棒，棒于滚轮的磨檫系数μ，现将棒的重心c推出对称位置o,试证棒将作简谐运动，并请导出磨檫系数的表达式

xco

图2-16

解：设左轮支反力为F1,右轮支反力为F2，去水平x为广义坐标，对某一偏离对称中

心可列平衡方程：

由于F1*2a=W*(a+x) F2*2a=W*(a-x) F1+F2=W 可推得F1-F2=

x

综上可得：-x=0

由方程可知系统做简谐振动

14 如图2-13所示，一小车（重P）自高h处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k，斜面倾角为?，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小

车的振动周期和振幅。 Pkα 图2-13 答案：T?2?

15重物m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处在静平衡位置，另一重物m2从高度为h处由静止开始自由降落到m1上而无弹跳，求振动响应

hP，A?gkP?P2??2h?sin?? k?k?km2hm1图2-14

答案：x?(?

2ghm2gm2k )cos?nt?sin?nt;?n?km1?m2?nm1?m216 某仪器中一元件为一等截面的悬臂梁，质量可以忽略。在梁的自由端有两个集中质量

m1与m2，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m2突然释放，试求m1的响应。

E Im1m2Lx

图2-15

答案：x(t)?m2g3EIK cos(?nt);K?3;?n?Km1L17 一均质半圆盘，质量为m,半径为r,自由地铰接于它的中心，如图所示。现以?0初角度释放，求半圆盘在小摆角振荡的响应。

Rrmg

图2-16

解：转矩方程：

?M?J0?; J0?????12mr；质心与盘中心距离R?4R;

3?2运动方程：J0???mgRsin?；响应：???0cos?nt；?n?8g。 3R?18重Q?2吨的重物在吊索上以匀速v?5m/min下降，由于吊索嵌入滑轮卡子，突然停止，重物作上下自由振动。已知吊索在2吨重物静载作用下伸长5mm，吊索自重不计，求重物振动频率和吊索中的最大张力

答案：??44.72rad/s Tmax?4?104N

19如图，W?1000N,k?200N/cm,已知图示状态，弹簧已有初压力F0?100N,如平台撤除，求重块下落距离

k1k2mk4k3

图2-17

答案：5.4cm

2.3 简谐激励下的强迫振动

??cx??kx?p(t) x1. m?（1） 已知m=3, c=1, k=12, p(t)?24sin3t, 求解稳态响应。

答案：x(t)?1.5689sin(3t?168.7?)

（2） 已知m=5, c=8, k=20, p(t)?10sin(3t?60?), 求解稳态响应。 答案：x(t)?0.2886sin(3t?76.2?)

（3） 已知m=10, c=15, k=18, p(t)?15cos5t, 求解稳态响应。 答案：x(t)?0.0615cos(5t?162.1?)

（4） 已知m=12, c=15, k=20, p(t)?10cos(2t?45?), 求解稳态响应。 答案：x(t)?0.2437cos(2t?88?)

（5） 已知m=600, k=1176000, ??0.1, p(t)?3000sin16?t, 求解稳态响应。 答案：x(t)?0.0069sin(16?t?51.8?)

（6） 已知m=6, c=25, k=800, p(t)?2sin7t?3cos18t, 求解稳态响应。

sin(7t?19.1?)?0.00244coss(18t?158.5?) 答案：x(t)?0.003735（7） 已知m=10, c=15, k=40, p(t)?sint?2cos3t, 求解稳态响应。 答案：x(t)?0.0298sin(t?26.6?)?0.0297coss(18t?138?) （8） 已知m=10, c=15, k=40, p(t)?sint?2cos3t, 求解稳态响应。 答案：x(t)?0.0298sin(t?26.6?)?0.0297coss(18t?138?)

??cx??kx?p(t)，p(t)的大小如下图的所示，求其稳态响应。x2. m?（取一项即可）

答案：x?8F0n2Kn?1,3,5?(?1)sinn?t , 取第一项x?8Fsin?t??K1??1??n???nn?????0n?122222

3．已知频响函数曲线H?级相频曲线的大致形状。 答： 1，0.5，0.7，时，分别画出幅频曲线，当?=0.10.32?1????2??j4.03.53.02.52.01.51.00.50.00.0

相频?0

4. 已知频响函数曲线H?频曲线的大致形状。 答：

1.02.0幅频H0u

3.04.0 ?j?1????2??j20.5，1时，分别画出幅频曲线级相，当?=0.2，

2、设x(t)如图所示，试求其傅里叶级数展开。

答案：x(t)?4sin5k?t?k?1,3,5...k?

3. 设x（t）如图所示，试求其复Fourier级数展开。

XBK答案：

?2k??0.20.4?j?2k?t?5.710??t?5.710???1??j??0.4???dt??e?0.4??e?0.4??0?0.2?

j???k??5.710?j???1??e?k??x(t)?440sin(5k?t?5.71)?con(5k?t?5.710) ??k?1,3,5,...k?k?0,2,4,...k?4. 求下列周期为2?的函数的Fourier级数展开。 (1) f?x??答案：????x2 ?0?x?2??

1sinnx nn?1(2) f(x)?x2，x?[0,2?]

?42??1?答案：??4??2cosnx?sinnx?

3n?n?1?n(3) f?x????x, ???x?0；

?0, 0?x???cos(2k?1)x?(?1)n?1?????sinnx24?k?0(2k?1)nn?1答案：

?2?1?x???x?0f?x????1?x0?x?? （4）

答案：n?1

?(??2)cosnxn?

5、f(x)是周期为2?的周期函数，将它在(???x??)上的 表达式为

????,???x???22???? f(x)=?x,??x?，将f(x)展开成傅里叶级数

22?????2,2?x????(?1)n?12n??n?1)n,?答案：f(x)????2sin?sinnx (x?(2nn?2n?1???0?,?1,2

7. 已知:[m]???90?,[c]= ??011??0.1??1?110?50??1?{f(t)},=,=[k]??,激振力??0.1???1????5090??2?频率?=3rad/s, 试用“振动计算实用工具”计算系统的稳态响应

8. 单自由度系统受到激振力f 的作用，f 的变化规律如图所示递减三角脉冲，初始条件

为：x0?x0?0, 不计阻尼，求系统的响应。

?

解：应用Duhamel积分，分别计算t < t0, t >t0, 两个区间的响应。

当t < t0 时，

当t > t0时，大于t0的部分积分为零，所以

8. 物体振动时受到与运动方向相反的动摩擦力作用，动摩擦系数u?0.3，物体的质量可集中在一点m?2kg，振幅xu?20cm，弹簧系数k?6N/cm，求等效粘性阻尼。 解： fm?mg?u

2 w?4fmxu??ceq?xu

ceq?4fm???xu4?2?9.8?0.3?2.162

6?1003.14??0.22

9. 结构阻尼是材料本身的内摩擦阻尼，其耗散的能量与振幅平方成正比，求结构阻尼常数

??0.0155，质量m?2kg，弹簧系数k?6N/cm时的等效粘性阻尼。

解：

ceq?????0.0155?0.00028 6003.14?210. 已知一个非线性阻尼振动系统，系统受到150N的干摩擦力，系统稳态响应为

x(t)=0.007sin(5t+60)，求系统的等效阻尼。

答：Ceq?5456N?s/m

第三章：单自由度振动理论的应用

1. 如图3-1所示的模型，质量受到正弦激励，f(t)=asin(?t),m=170千克，

k=7000N/m，c=1700Ns/m，作质量位移的频响曲线

图3-1

答案：H(?)??H(?)1H(?)? Vk1??2?j2???下图为计算工具中本模型的一族幅频曲线(仅形状一致，横纵坐标需乘相应系数)

4.03.53.02.52.01.51.00.50.00.01.02.03.04.0 系统参数m,c,k决定阻尼比?

当??22时，存在峰值，出现在??1?2?2处 当??时，曲线单调递减 22本题?=0.779，形状应介于上图最下方两条曲线之间。

下图为计算工具中本模型的一族相频曲线(仅形状一致，横坐标需乘相应系数)

0-30-60-90-120-150-1800.01.02.03.04.0 这里?h总是小于零的一个值，因此稳态振动的相位总是迟后于激励的相位，并且激励频率越高迟后越大；当激励频率等于系统固有频率时，响应与激励的相位差??

2. 图3-2所示为简化车辆在路面上通行的振动模型，y(t)=asin(?t)，m=1000kg,

k=350kN/m，c=18700Ns/m，求质量位移的频响曲线

?2，与阻尼比?无关

图3-2

答案：H(?)??-(1?j2??) HV(?)??H(?) 1??2?j2???下图为计算工具中本模型的一族幅频特性曲线 4.03.53.02.52.01.51.00.50.00.01.02.03.04.0 本题阻尼比=0.5，因此曲线同上图中下起第三条曲线 下图为相频曲线

18015012090603000.01.02.03.04.0 1. 已知频响函数曲线H?10.3，0.5，0.7时，分别画出幅，当?=0.1，2?1????2??j频曲线级相频曲线的大致形状。 答： 4.03.53.02.52.01.51.00.50.00.01.02.03.04.0 幅频H0u

0-30-60-90-120-150-1800.01.02.03.04.0 相频

2. 已知频响函数曲线H?0

?j?1????2??j20.5，1时，分别画出幅频曲线，当?=0.2，及相频曲线的大致形状。 答：

4.03.53.02.52.01.51.00.50.00.01.02.03.04.0 幅频H0u

9060300-30-60-900.01.02.03.04.0 相频

3. 已知频响函数曲线H?0

?1?2??j0.1，0.5，1时，分别画出幅频曲，当?=0，2?1????2??j线及相频曲线的大致形状。 答：

4.03.53.02.52.01.51.00.50.00.01.02.03.04.0 幅频H0u

18015012090603000.01.02.03.004.0 相频

1. 在如图所示系统中,已知m=2kg , C=256N?s/cm, K=20N/cm , 激励力为F=16sin60t (式中t 以s 计，F 以N计)。以质量m的位移作为输出。 1) 试求系统的稳态响应。

2) 试确定系统的输入，输出方程

3) 求出系统的频响表达式并画出频响图。

答：

1) x=0.00104sin(60t-π/2) (cm)

2) 输入：p(t)=F=16sin60t 输出：v(t)=x(t)

0.53) H????u,v998.6??2?12791.7?j

2． 空桶重39. 2kN，浮在水面上，而水面的高度按y=(4/9)sin(3t/2)的规律上下浮动。桶的水平截面积均为5m2。如初始位移和初速度为零，水的阻尼力与相对速度成正比，阻尼系数C=16kN?s/m，求桶作强迫振动的稳态响应。 答： 1）x=0.00095sin(3t/2?30)cm

2）输入：p(t)=y=(4/9)sin(3t/2) 输出：v(t)=x(t)

0.000253）H????

u,v12.25??2?3.99?j?

3. 确定图3-18所示系统的稳态响应。假定T(t)?Tsin?t。

T ( t )大齿轮小齿轮kθJmJ1kr齿条

4. 在如图所示系统中,已知m=2kg , K=20N/cm , 激励力为F=16sin60t (式中t 以s 计，F 以N计)，C=256N?s/cm。试求系统的稳态响应。

答：x=0.00104(60t+π/2) (cm) 5. 求下图中系统右支撑端有简谐运动

x?asin?t时的振动微分方程。

s1) 试求系统的稳态响应。

2) 试确定系统的输入，输出方程

3) 求出系统的频响表达式并画出频响图。

答案：

??Cx??Kx?Kasin?t x1）振动方程：m? 稳态响应：x?Bsin(?t??)

其中 B?a2?(2??)2(1??)1

2,

??tg(?12??) 21??2）输入：p(t)=Kx2= Kasin?t 输出：v(t)=x(t) 3)

Hu,v????a??1????2??j2

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