2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线

一、选择题

1 ．（2013年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l与曲线y?1?x相交于A,B两点,O为坐标原点,当

2?AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于

A．y?EB?BC?CD【答案】B

（ ）

3 3B．?3 3C．?3 3D．?3 x22 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））双曲线?y2?1的顶点到其渐

4近线的距离等于 A．

（ ）

B．

2 54 5C．25 5D．45 5【答案】C

3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知中心在原点的双曲线C的右

3F?3,0?焦点为,离心率等于2,在双曲线C的方程是

22x2y2xy??1??14545A． B．

（ ）

x2y2??125C．

x2y2??125D．

【答案】B

x2y254 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为,则C的渐近线

ab2方程为 A．y??（ ）

1x 4B．y??1x 3C．y??1x 2D．y??x

【答案】C

x2y2?2?1与5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知0???,则双曲线C1:2cos?sin?4?y2x2C2:2?2?1的

sin?sin?tan2?A．实轴长相等 【答案】D

B．虚轴长相等

C．焦距相等

D．离心率相等

2（ ）

y?1的渐近线的距离是 （ ） 6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线y?4x的焦点到双曲线x?322

A．

1 2B．3 2C．1 D．3 【答案】B

x27 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,F1,F2是椭圆C1:?y2?1与双曲线C24的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是

y A F1 O B （第9题图）

F2 x

C．

（ ）

A．2

【答案】D

B．3

3 2D．

6 2x2y28 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的

ab两条渐近线与抛物线y2?2px(p?0)的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为3, 则p = A．1

【答案】C

（ ）

C．2

D．3

B．

3 2x2y2??1的左、右顶点分别为A1,A2,9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））椭圆C:43点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是??2,?1?,那么直线PA1斜率的取值范围是 （ ） A．?，?

24【答案】B

10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知抛物线C:y?8x与点M??2,2?,过C的

2?13???B．?，?

84?33???1? C．?，?1??2?1? D．?，?3??4?????????焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA?MB?0,则k?

A．

（ ）

1 2B．2 2C．2 D．2

【答案】D

x2y211．（2013年高考北京卷（理））若双曲线2?2?1的离心率为3,则其渐近线方程为

abA．y=±2x

【答案】B

（ ）

B．y=?2x C．y??1x 2D．y??2x 212．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线

C1y?:

12x2p(p?0)x22?y?1C23CC的焦点与双曲线:的右焦点的连线交1于第一象限的点M.若1在点M处的切线平

行于

C2的一条渐近线,则p?

（ ）

3A．16

【答案】D

3B．8 23C．3 43D．3

x2y213．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交

ab椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,?1),则E的方程为

（ ）

x2y2??1 A．

4536【答案】D

x2y2??1 B．

3627x2y2??1 C．

2718x2y2D．??1

18914．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F,

2点M在C上,MF?5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 A．y2?4x或y2?8x C．y?4x或y?16x

【答案】C

22（ ）

B．y2?2x或y2?8x D．y?2x或y?16x

2215．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知A、 B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB?????2????????的垂线,垂足为N.若MN??AN?NB,其中?为常数,则动点M的轨迹不可能是

A．圆

【答案】C

（ ）

B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

2216．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆C1:?x?2???y?3??1,

圆C2:?x?3???y?4??9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则PM?PN的最小值为 A．52?4

【答案】A 二、填空题

17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））双曲线

22（ ）

B．17?1

C．6?22 D．17

x2y2??1的两条渐近线的方程为_____________. 169【答案】

3y??x

42x2y218．（2013年高考江西卷（理））抛物线x?2py(p?0)的焦点为F,其准线与双曲线??1相交于A,B33两点,若?ABF为等边三角形,则P?_____________

【答案】6

x2y219．（2013年高考湖南卷（理））设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点,P是C上一点,

ab?若PF1?PF2?6a,且?PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为___.

【答案】3

20．（2013年高考上海卷（理））设AB是椭圆?的长轴,点C在?上,且?CBA??4,若AB=4,BC?2,则

?的两个焦点之间的距离为________

【答案】

21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知直线y?a交抛物线y?x于A,B两点.

246. 3若该抛物线上存在点C,使得?ABC为直角,则a的取值范围为___ _____.

【答案】[1,??)

22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））抛物线y?x2在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x?2y的取值范围是__________.

【答案】??2,?

2??1??

23．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在平面直角坐

x2y2标系xOy中,椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端

ab点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2?_______.

【答案】

6d1,则椭圆C的离心率为

3

3

x2y224．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））椭圆?:2?2?1(a?b?0)的

ab左.右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若直线y?3(x?c)与椭圆?的一个交点M满足

?MF1F2?2?MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________

【答案】

3?1

x2y2525．（2013年高考陕西卷（理））双曲线??1的离心率为, 则m等于___9_____.

16m4【答案】9

x2y226．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)ab的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,B,F若

AB?10,AF?6,cos?ABF?【答案】

4,则C的离心率e=______. 55 7227．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线y?8x的准线方程是_______________

【答案】x??2

28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在平面直角坐

标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y?1(x?0)图象上一动点,若点P，A之间的最短距离为x22,则满足条件的实数a的所有值为_______.

【答案】?1或10

29．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）设F为抛物线C:y?4x的焦点,过点P(?1,0)2的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|?2,则直线的斜率等于________.

58x28x2【答案】解: (Ⅰ)?a?1?a,2c?1,a?1?a?c?a?，椭圆方程为：??1.

853222222（x?c,y),QF2?(c,?m). (Ⅱ) 设F1(?c,0),F2(c,0),P(x,y),Q(0,m),则F2P?由1?a?0?a?(0,1)?x?(0,1),y?(0,1).

2?m(c?x)?ycF1P?(x?c,y),F1Q?(c,m).由F2P//QF2,F1P?F1Q得： ?c(x?c)?my?0??x2y2?1?2?2a1?a???(x?c)(x?c)?y2?x2?y2?c2.联立?x2?y2?c2解得

?222a?1?a?c???2x22y222?2??1?x?(y?1).?x?(0,1),y?(0,1)?x?1?y 222x?y?11?x?y所以动点P过定直线x?y?1?0.

39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动圆P与M外切

并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

【答案】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.

设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R. [来源:www.shulihua.net]

(Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),

x2y2??1(x??2). 其方程为43(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R?2≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为(x?2)?y?4, 当l的倾斜角为90时,则l与y轴重合,可得|AB|=23. 当l的倾斜角不为90时,由r1≠R知l不平行x轴,设l与x轴的交点为Q,则

0022|QP|R=,可求得

|QM|r1

Q(-4,0),∴设l:y?k(x?4),由l于圆M相切得|3k|1?k2?1,解得k??2. 4x2y222??1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0,解得当k=时,将y?x?2代入4344x1,2=18?4?62,∴|AB|=1?k2|x1?x2|=.

77218时,由图形的对称性可知|AB|=, 4718或|AB|=23. 7当k=-综上,|AB|=

x2y240．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦

ab点为F, 离心率为343, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 33(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若????????????????AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.

【答案】

x2y23141．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线l的方

ab22程为x=4.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)由P(1,2319)在椭圆上得,2?2?1 ① 2a4b2依题设知a?2c,则b?3c ② ②代入①解得c?1,a?4,b?3.

222x2y2故椭圆C的方程为??1.

43(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y?k(x?1) ③

代入椭圆方程3x?4y?12并整理,得(4k?3)x?8kx?4(k?3)?0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

2222228k24(k2?3) ④ x1?x2?2,x1x2?4k?34k2?3在方程③中令x?4得,M的坐标为(4,3k).

333y2?3k?2,k?2,k?2?k?1. 从而k1?23x1?1x2?14?12y1?注意到A,F,B共线,则有k?kAF?kBF,即有

y1y?2?k. x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?2y1?x1?x2?23?2k?? ⑤

2x1x2?(x1?x2)?1

8k2?2234k?3④代入⑤得k1?k2?2k???2k?1, 8k224(k2?3)??14k2?34k2?31又k3?k?,所以k1?k2?2k3.故存在常数??2符合题意.

2方法二:设B(x0,y0)(x0?1),则直线FB的方程为:y?y0(x?1), x0?1令x?4,求得M(4,3y0), x0?12y0?x0?1,

2(x0?1)从而直线PM的斜率为k3?y0?y?(x?1)?x?15x?83y0?0,), 联立? ,得A(0222x0?52x0?5?x?y?1?3?4则直线PA的斜率为:k1?2y0?2x0?52y0?3,直线PB的斜率为:k2?,

2(x0?1)2(x0?1)所以k1?k2?2y0?2x0?52y0?32y0?x0?1???2k3,

2(x0?1)2(x0?1)x0?1故存在常数??2符合题意.

42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点

F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程;

32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两2(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

2【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由0?c?22?32结合c?0,解得c?1. 2所以抛物线C的方程为x?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?22121x,求导得y??x 42x12x2211,y2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2, 4422

x1x12x1所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?x??y1,即x1x?2y?2y1?0

222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0

因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1

?x0x?2y?2y0?0222联立方程?2,消去x整理得y??2y0?x0?y?y0?0

?x?4y由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0 所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1

2222又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,

1?9?222所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???

2?2?所以当y0??219时, AF?BF取得最小值,且最小值为. 2243．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系

xOy中,过椭圆

x2y2M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直x?y?3?0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的

ab斜率为

1. 2(Ⅰ)求M的方程;

(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,求四边形ABCD面积的最大值.

【答案】

44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,

短轴长分别为2m,2n?m?n?,过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记??m,?BDM和?ABN的面积分别为S1和S2. n(I)当直线l与y轴重合时,若S1??S2,求?的值;

(II)当?变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2?并说明理由.

y A B M C O N x D 第21题图

m?1??1n????m??1?1S??S2?m?n???m?n?n【答案】解:(I)1,

解得:??2?1(舍去小于1的根)

x2y2x2y2(II)设椭圆C1:2?2?1?a?m?,C2:2?2?1,直线l:ky?x

aman?ky?x222a?mk2am?22?y?1 ?y??xyA22222am?2?1a?mk?2m?a同理可得,yB?ana?nk222

又??BDM和?ABN的的高相等

?S1BDyB?yDyB?yA??? S2AByA?yByA?yB如果存在非零实数k使得S1??S2,则有???1?yA????1?yB,

22222a??2??1??1?????2???1???1??2?即:2,解得k?

a??2n2k2a2?n2k24n2?3?当??1?2时,k2?0,存在这样的直线l;当1???1?2时,k2?0,不存在这样的直线l.

x2?y2?1上的三个点,O是坐标原点. 45．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:4(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;

(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.

x2【答案】解:(I)椭圆W:?y2?1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB

4相互垂直平分. 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得

31. 所以菱形OABC的面?m2?1,即m??24积是

11|OB|?|AC|??2?2|m|?3. 22(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为

y?kx?m(k?0,m?0).

?x2?4y2?4222由?消去y并整理得(1?4k)x?8kmx?4m?4?0. ?y?kx?mx1?x2x1?x24kmy1?y2m,. ???k??m?21?4k2221?4k24kmm所以AC的中点为M(?,).

1?4k21?4k21因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为?.

4k1因为k?(?)??1,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

4k设A(x1,y1),C(x2,y2),则

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.

【

答

案

】

解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心

C

(x,y),MN线段的中点为E，由几何图像知ME?MN,CA2?CM2?ME2?EC22?（x?4)2?y2?42?x2?y2?8x

(Ⅱ) 点B(-1,0), 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题知y1?y2?0，y1y2?0,y1?8x1,y2?8x2.

22?y1?y2y?y??21?22?8(y1?y2)?y1y2(y2?y1)?0?8?y1y2?0直线PQx1?1x2?1y1?8y2?8方程为:y?y1?y2?y112(x?x1)?y?y1?(8x?y1)

x2?x1y2?y12?y(y2?y1)?y1(y2?y1)?8x?y1?y(y2?y1)?8?8x?y?0,x?1

所以,直线PQ过定点(1,0)

47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,抛物线

C1:x2?4y,C2:x2??2py?p?0?,点M?x0,y0?在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为

1A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-.

2(I)求p的值;

(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程.?A,B重合于O时,中点为O?.

【答案】

48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知双曲线

x2y2直线y?2与C的两个交点间C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1，F2,离心率为3，ab的距离为6. (I)求a,b;;

(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点,且AF1?BF1,证

AB、BF2成等比数列. 明:AF2、

【答案】

49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）

y?4x 的焦点为F. 已知抛物线C：2????????(1)点A、 P满足AP??2FA.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;

(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y?2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

???? y?yA), yA),则AP?(x?xA，【答案】(1)设动点P的坐标为(x， y),点A的坐标为(xA，???? yA), 因为F的坐标为(1， 0),所以FA?(xA?1，???????? y?yA)??2(xA?1， yA). 由AP??2FA得(x?xA，?x?xA??2(xA?1)?xA?2?x即? 解得?

y?y??2yy??y?AA?A代入y?4x,得到动点P的轨迹方程为y?8?4x.

(2)设点Q的坐标为(t， 0).点Q关于直线y?2x的对称点为Q?(x， y),

2231??yx??t?????x?t?52则? 解得? ?y?x?t?y?4t??5?2?若Q?在C上,将Q?的坐标代入y?4x,得4t?15t?0,即t?0或t??所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0， 0)和(?2215. 415， 0). 4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o0p6.html