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分式运算的技巧

江苏省泰州市智堡中学 陈凤萍

分式运算的关键是灵活运用分式的基本性质进行运算。在进行分式的加减运算时，先将分式的分母分解因式，以方便寻找最简公分母，然后通分。利用同分母分数的加法法则进行运算。在做分式的乘除运算时按分数的乘除法则先将乘除统一转化为乘法运算，再将分子分母分解因式方便约分。另外，运算的结果应该化成最简分式或整式。分式的运算求值有几种常用的技巧方法，现举例说明。 一、设常数求值 例1 已知：

543c b a ==≠0，求c

b a

c b a --+-223的值。

分析 题目中的等比式可以设常数k 来求值。 解 设

5

43c b a =

=

=k （k ≠0）则k c k b k a 5,4,3===。

所以原式=

5

3106542354233-

=-=

-?-+?-?k

k k

k k k k k

说明 先换元后消元，是为了把“多元”进行转化，从而达到化繁为简的目的。

二、倒数法求值 例2 若31=+

x

x ，则

1

2

4

2++x x x

的值是（ ）

A 、

81 B 、

10

1

C 、2

1

D 、

4

1

分析 直接从条件入手很难求值，不妨从问题着手考虑，向条件靠拢。

解 设

1

2

4

2++x x x

=M ，则

M

1=

111

2

2

2

2

4++

=++x

x x

x x 因为

31=+x

x ，

所

以

,9212

2

=++

x

x 即712

2

=+

x

x 。所以

M

1=112

2

++

x

x =7+1=8。

思路 技巧

所以M =81

。 故选A 。

三、整体代入法求值

例3 若31

1

=-y x ，求y xy x y

xy x 434323-+--的值

分析 这道题从形式上由已知条件无法求得x 和y 的值。对条件进变形，可以找到y x -与xy 的关系，利用整体代入的思想求值。

解 因为31

1

=-y x ，所以xy y x 3-=-。 所以y xy x y

xy x 434323-+--911

9113)3(42)3(33)(42)(3=--=+-?--?=+---=xy xy

xy xy xy

xy xy y x xy

y x 。

四、解方程法求值

例4 已知21)2)(1(3

2++-=+--x B

x A

x x x ，求A 、B 的值。

分析 这是一道考查分式恒等变形的问题，关键是对等式的右边进行通分，与左边的对应项比较，由对应项的系数相等来求值。

解 因为21)2)(1(3

2++-=+--x B

x A

x x x ， 所以)2)(1()

2()()2)(1()

1()2()2)(1(3

2+--++=+--++=+--x x B A x B A x x x B x A x x x

所以???-=-=+322B A B A 。 解得??

???=-=3731B A 五、利用公式求值

例5 已知0152=+-x x ，求441

x x +的值。

解 由0152=+-x x ，x ≠0，得51

=+

x x . 所以441

x x +=52722)1(2)1(22222=-??????-+=-+x x x x .

说明:能对公式进行熟练的变形运用,可给解题带来极大的便利.

六、消元代入法求值

例6 若0634=--z y x ，072=-+z y x ，求222222103225z y x z

y x ---+的值。

分析 这道题中两个方程中有三个未知数，求解显然不行，整体代入条件又不具备，消元成为首选，把其中的一个未知数看成常数，代入求值。 解 将已知等式化为??

?=+=-z y x z y x 72634。 所以，???==z y z x 23所以原式1310439242952222

22-=-?-?-?+?=z z z z z z

由此可以看出，对于与分式有关的化简求值除考虑分式本身的运算性质和法则以外，不应考虑配方、消元、整体代入等一些既合理又行之有效的技能技巧，从而简化运算，提高解题效率。

姓名：陈凤萍 中学一级教师

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