2011新课标高考数学(文)一轮复习讲义(带详细解析)：第二编 函数与导数

§2.1 函数及其表示

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2009·江西改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x

的定义域为________________． 解析 由题意得?

???? －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0， 因此－4≤x ≤1且x ≠0.

答案 [－4,0)∪(0,1]

2．(2009·福建改编)下列函数中，与函数y ＝1x

有相同定义域的是________． ①f (x )＝ln x ②f (x )＝1x

③f (x )＝|x | ④f (x )＝e x

解析 y ＝1x

定义域为(0，＋∞)，f (x )＝ln x 定义域为(0，＋∞)，f (x )＝1x 定义域为{x |x ≠0}． f (x )＝|x |定义域为R ，f (x )＝e x 定义域为R .

答案 ①

3．(2010·广州模拟)已知函数f (x )＝?????

log 2x ， x >0，2x ， x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝________. 解析 当a >0时，log 2a ＝12

，∴a ＝2， 当a ≤0时，2a ＝12

＝2－1，∴a ＝－1.∴a ＝－1或 2. 答案 －1或 2

4．(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2， 则f (－3)＝________.

解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1

＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.

f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1

＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0.

f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1

＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2.

f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1

＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6.

答案 6

第二编 函数与导数

5．(2009·金华模拟)已知f ? ????1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2

，则f (x )的解析式为__________． 解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t

， 因此f (t )＝1－? ????1－t 1＋t 21＋? ??

??1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2， 因此f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x 2

. 答案 f (x )＝2x 1＋x 2

6．(2009·江苏海安高级中学)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝ ?

???? 1 (－1

＝－f (1＋1)＝f (1)＝－1.

答案 －1

7．(2010·泉州第一次月考)已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x

的反比例函数，且φ????13＝16，φ(1)＝8，则φ(x )＝____________.

解析 设f (x )＝mx (m 是非零常数)，

g (x )＝n x (n 是非零常数)，则φ(x )＝mx ＋n x

， 由φ????13＝16，φ(1)＝8，

得????? 16＝13m ＋3n 8＝m ＋n

，解得????? m ＝3n ＝5. 故φ(x )＝3x ＋5x

. 答案 3x ＋5x

8．(2010·宿迁模拟)如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边

长为2的等边三角形，设直线x=t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线

左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是 (填序号)．

解析 首先求出该函数的解析式．

当0≤t ≤1时，如下图甲所示，

有f (t )＝S △MON ＝32t 2.

当1≤t <2时，如下图乙所示，

有f (t )＝S △AOB －S △MNB ＝－32(2－t )2＋3， .)21(3)2(2

3)10(23)(22???????≤<+--≤≤=∴t t t t t f

答案 ④

9．(2009·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，

如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函

数：

①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝(13

)x ； ④φ(x )＝ln x ，其中是一阶整点函数的是____________________________________．

解析 对于函数f (x )＝sin 2x ，它只通过一个整点(0,0)，故它是一阶整点函数；对于函数g (x )＝x 3，当x ∈Z 时，一定有g (x )＝x 3∈Z ，即函数g (x )＝x 3通过无数个整点，它不是一

阶整点函数；对于函数h (x )＝(13

)x ，当x ＝0，－1，－2，…时，h (x )都是整数，故函数h (x )通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x )＝ln x ，它只通过一个整点(1,0)，故它是一阶整点函数．

答案 ①④

二、解答题(本大题共3小题，共46分)

10．(14分)(2009·泰州二模)(1)已知f (x )的定义域是[0,4]，求

①f (x 2)的定义域；

②f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域．

(2)已知f (x 2)的定义域为[0,4]，求f (x )的定义域．

解 (1)∵f (x )的定义域为[0,4]，

①f (x 2)以x 2为自变量，∴0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2，

故f (x 2)的定义域为[－2,2]．

②f (x ＋1)＋f (x －1)以x ＋1，x －1为自变量，于是有?

????

0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3. 故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．

(2)∵f (x 2)的定义域为[0,4]，∴0≤x ≤4，

∴0≤x 2≤16，故f (x )的定义域为[0,16]．

11．(16分)(2010·徐州模拟)已知f (x )＝x 2－2x ＋1，g (x )是一次函数，且f [g (x )]＝4x 2，求g (x ) 的解析式．

解 设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)，

则f [g (x )]＝(ax ＋b )2－2(ax ＋b )＋1

＝a 2x 2＋(2ab －2a )x ＋b 2－2b ＋1＝4x 2. ∴????? a 2＝4，2ab －2a ＝0，

b 2－2b ＋1＝0.解得a ＝±2，b ＝1.

∴g (

x )＝2x ＋1或g (x )＝－2x ＋1.

12．(16分)(2009·广东三校一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元 时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)当每辆车的月租金为3 600元时，

未租出的车辆数为3 600－3 00050

＝12， 所以这时租出了88辆车．

(2)设每辆车的月租金定为x 元，

则租赁公司的月收益为

f (x )＝?

???100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得f (x )＝－x 250

＋162x －21 000 ＝－150

(x －4 050)2＋307 050. ∴当x ＝4 050时，f (x )最大，

最大值为f (4 050)＝307 050.

答 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆车；

(2)当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．

§2.2 函数的单调性及最大（小）值

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2010·江苏盐城一模)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是________．

解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，

令u (x )＝－x 2＋3x ＋4

＝－????x －322＋254的减区间为???

?32，4， ∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为????32，4.

答案 [32

，4) 2．(2009·湖南改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数

f K (x )＝?????

f (x )， f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为_ _________________．

解析 由f (x )＝2－|x |≤12

得－|x |≤－1， ∴|x |≥1.∴x ≥1或x ≤－1.

∴f K (x )＝?????

2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1

当x ∈(1，＋∞)时，f K (x )＝2－x ＝????12x ，在(1，＋∞)上为减函数．

当x ∈(－∞，－1)时，f K (x )＝2x ，在(－∞，－1)上为增函数．

答案 (－∞，－1)

3．(2009·江苏扬州模拟)已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (1x

)>f (1)的x 的取值范围为 __________________．

解析 由题意f (1x )>f (1)，1x <1，即1－x x

<0， ∴x >1或x <0.

答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)

4．(2010·徐州调研)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2－a ＋1)与f (34

)的大小关系是 ________________．

解析 ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34

， f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34

)． 答案 f (a 2－a ＋1)≤f (34

) 5．(2010·山东临沂模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________________．

解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 得对称轴为x ＝a ，在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又由g (x )＝a x ＋1

在[1,2]上是减函数，所以a >0，综合得a 的取值范围为(0,1]．

答案 (0,1]

6．(2009·山东烟台调研)关于下列命题：

①若函数y ＝2x 的定义域是{x |x ≤0}，则它的值域是{y |y ≤1}；

②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是{y |y ≤12

}； ③若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}；

④若函数y ＝log 2x 的值域是{y |y ≤3}，则它的定义域是{x |0

解析 ①中，x ≤0，y ＝2x ∈(0,1]；②中，x >2，y ＝1x ∈(0，12

)；③中，y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}， 但它的定义域不一定是{x |－2≤x ≤2}；④中，y ＝log 2x ≤3，∴0

答案 ①②③

7．(2010·惠州一模)已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)

解析 依题意，原不等式等价于

????? －2

m －1<1－2m ?????? －1

. 答案 ???

?－12，23 8．(2009·福建厦门适应性考试)若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是____________________．

解析 ∵f (x )是偶函数，

∴f (－x )＝f (x )，

∴(m －1)x 2－mx ＋3

＝(m －1)x 2＋mx ＋3，∴m ＝0.

这时f (x )＝－x 2＋3，

∴单调减区间为[0，＋∞).

答案 [0，＋∞)

9．(2010·湛江调研)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254

，－4]，则m 的取 值范围是__________________．

解析 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254

， ∴f (32)＝－254

，又f (0)＝－4， 故由二次函数图象可知

???

32≤m ，m －32≤32

－0.解得32≤m ≤3. 答案 [32

，3] 二、解答题(本大题共3小题，共46分)

10．(14分)(2010·无锡模拟)已知f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )， f (3)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －8)≤2.

解 根据题意，由f (3)＝1，

得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.

又f (x )＋f (x －8)＝f [x (x －8)]，

故f [x (x －8)]≤f (9)．

∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴????? x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，

解得8＜x ≤9.

∴原不等式的解集为{x |8

11．(16分)(2010·镇江模拟)已知f (x )＝x x －a

(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．

(1)证明 任设x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2

＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)

. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，

∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)

∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．

(2)解 任设1

f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a

＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )

.

∵a >0，x 2－x 1>0，

∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.

综上所述，0

12．(16分)(2010·无锡调研)函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )，且当x >0时 有f (x )>0.

(1)求证：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；

(2)若f (1)＝1，解不等式f [log 2(x 2－x －2)]<2.

(1)证明 设x 2>x 1，

则x 2－x 1>0.

∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)

＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)

＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，

故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．

(2)解 ∵f (1)＝1，

∴2＝1＋1＝f (1)＋f (1)＝f (2).

又f [log 2(x 2－x －2)]<2，

∴f [log 2(x 2－x －2)]

∴log 2(x 2－x －2)<2，

于是?????

x 2－x －2>0，x 2－x －2<4. ∴?

????

x <－1或x >2，－2

∴原不等式的解集为{x |－2

§2.3 函数的奇偶性

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )， 且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 008)＋f (2 009)的值为____．

解析 f (－2 008)＋f (2 009)＝f (2 008)＋f (2 009)

＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.

答案 1

2．(2010·江苏南京模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为____________．

解析 设x <0，则－x >0，由f (x )为奇函数知

f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x .

∴f (x )＝?

????

x 2－2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0). 即f (x )＝x (|x |－2)．

答案 f (x )＝x (|x |－2)

3．(2010·浙江宁波检测)已知函数f (x )＝g (x )＋2，x ∈[－3,3]，且g (x )满足g (－x )＝－g (x )，若 f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M ＋N ＝________.

解析 因为g (x )是奇函数，故f (x )关于(0,2)对称，

所以M ＋N ＝4.

答案 4

4．(2010·泰州模拟)f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝____________.

解析 令G (x )＝F (x )－2＝3f (x )＋5g (x )，

故G (x )是奇函数，

又?

???? G (a )＝F (a )－2，G (－a )＝F (－a )－2， 解得F (－a )＝－b ＋4.

答案 －b ＋4

5．(2010·无锡模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ______(填序号)．

①y ＝f (|x |); ②y ＝f (－x )；

③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x .

解析 ∵f (x )的定义域为R ，∴f (|－x |)＝f (|x |)，

∴y ＝f (|x |)是偶函数；

令F (x )＝f (－x )，

则F (－x )＝f (x )＝－f (－x )＝－F (x )，

∴F (x )是奇函数，∴②是奇函数；

令M (x )＝x ·f (x )，

则M (－x )＝－x ·f (－x )＝x ·f (x )＝M (x )，

∴M (x )是偶函数；

令N (x )＝f (x )＋x ，

则N (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x

＝－[f (x )＋x ]＝－N (x )，

∴N (x )是奇函数，故②、④是奇函数．

答案 ②④

6．(2009·重庆)若f (x )＝12x －1

＋a 是奇函数，则a ＝________________. 解析 ∵f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1

－a ， ∴2x ＋a －a ·2x 1－2x ＝－1－a ·2x ＋a 2x －1

， ∴(a －1)2x －a ＝－a ·2x ＋(a －1)，

∴?????

a －1＝－a ，－a ＝a －1，∴a ＝12. 答案 12

7．(2010·江苏如东模拟)定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ?b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2 x (x ?2)－2

的奇偶性为________________．

解析 由题意知：f (x )＝4－x 2(x －2)2－2

＝4－x 2

|x －2|－2， 定义域为[－2,0)∪(0,2]，

∴f (x )＝4－x 2

－x

，x ∈[－2,0)∪(0,2]． 又∵f (－x )＝4－x 2

x

＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数．

答案 奇函数

8．(2009·四川改编)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x

都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ???

?f ????52的值是________． 解析 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )可得

32f ????52＝52f ????32，12f ????32＝32f ???

?12， －12f ????12＝12f ???

?－12.又∵f ????12＝f ????－12， ∴f ????12＝0，f ????32＝0，f ???

?52＝0. 又∵－1·f (－1＋1)＝(1－1)f (－1)，

∴－f (0)＝0f (－1)＝0.

∴f (0)＝0，

∴f ???

?f ????52＝f (0)＝0. 答案 0

9．(2009·连云港模拟)函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递增，则f (－1)，f (0)， f (2)的大小关系是________．

解析 ∵f (x )是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，

又∵y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )向右平移2个单位得到的，而y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递 增，

∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，

∴f (－1)＝f (1)且f (0)>f (1)>f (2)，

∴其大小关系为f (0)>f (－1)>f (2)．

答案 f (0)>f (－1)>f (2)

二、解答题(本大题共3小题，共46分)

10．(14分)(2009·江苏金陵中学三模)已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ，f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)恒成立．

(1)求证：f (x )是周期函数；

(2)已知f (3)＝2，求f (2 004)．

(1)证明 ∵f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)

∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，

则f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f (x ＋1)－f (x )

＝f (x )－f (x －1)－f (x )＝－f (x －1)．

∴f (x ＋3)＝f [(x ＋1)＋2]＝－f [(x ＋1)－1]

＝－f (x )．

∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )．

∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期．

(2)解 f (2 004)＝f (334×6)＝f (0)＝－f (3)＝－2.

11．(16分)(2009·广东东莞模拟)已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R .

(1)试判断f (x )的奇偶性；

(2)若－12≤a ≤12

，求f (x )的最小值． 解 (1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )，

此时，f (x )为偶函数．

当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，

f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )为非奇非偶函数．

(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝????x －122＋a ＋34

， ∵a ≤12

，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.

当x ≥a

时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝????x ＋122－a ＋34

， ∵a ≥－12

，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a ) ＝a 2＋1.

综上得，当－12≤a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1. 12．(16分)(2009·东北三省联考)设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.

(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；

(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论．

解 (1)由????? f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )??

????

f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x ) ?f (4－x )＝f (14－x )?f (x )＝f (x ＋10)，

从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10.

又f (3)＝f (1)＝0，而f (7)≠0，故f (－3)≠0.

故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数．

(2)由(1)知y ＝f (x )的周期为10.又f (3)＝f (1)＝0，

f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，

故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2 005]上有402个解，在[－2 005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 005,2 005]上有802个解．

§2.4 指数与指数函数

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2010·镇江模拟)若0

解析 取x ＝12，则212＝2，2－12＝22，0.212

＝0.2， ∴2>22

>0.2，即2x >2－x >0.2x . 答案 2x >2－x >0.2x

2．(2009·江苏，10)已知a ＝5－12

，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的 大小关系为________．

解析 ∵0

<1， ∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数．

又∵f (m )>f (n )，

∴m

答案 m

3．(2009·山东烟台模拟)函数y ＝2－|x |的单调增区间是______________．

解析 画出函数y ＝2－|x |＝?????

2－x x ≥02x x <0的图象，如图．

答案 (-∞，0]

4．(2010·泰州月考)设函数f (x )＝?????

2x ， x <0，g (x )， x >0若f (x )是奇函数，则g (2)＝________. 解析 ∵f (－2)＝2－2＝14

＝－f (2) ∴f (2)＝－14

， 又∵f (2)＝g (2)，

∴g (2)＝－14

. 答案 －14

5．(2010·扬州调研)若函数y ＝4x －3·2x ＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞， 0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为________．

解析 因为y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，

所以1≤(2x )2－3·2x ＋3≤7，

所以x ≤0或1≤x ≤2.

答案 A ＝B

6．(2010·南京调研)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的

取值范围是______________．

解析 f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，即?

????

a ≤1，a ＋1>1.故0

答案 (0,1]

7．(2010·锦州模拟)函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2

，则a 的值是 _______．

解析 当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，

故a 2－a ＝a 2，得a ＝32

； 当0

故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或a ＝32

. 答案 12或32

8．(2010·盐城模拟)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则

f (b x )________f (c x )．(用“≤”，“≥”，“>”，“<”填空)

解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )．

∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2

又f (0)＝3，∴c ＝3，

∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．

若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，

∴f (3x )≥f (2x )，

若x <0，则3x <2x <1，

∴f (3x )>f (2x )，

∴f (3x )≥f (2x )．

答案 ≤

9．(2009·湖北黄冈四市联考)设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b ＝________.

解析 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]，

所以b >a ≥0，

而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，

因此应有????? |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得?????

a ＝0

b ＝1

， 所以有a ＋b ＝1.

答案 1

二、解答题(本大题共3小题，共46分)

10．(14分)(2009·广东韶关一模)要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．

解 由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，

即a >－1＋2x

4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立． 又∵－1＋2x 4x ＝－????122x －????12x ＝－????????12x ＋122＋14，

∵x ∈(－∞，1]，∴????12x ∈???

?12，＋∞. 令t ＝????12x ，则f (t )＝－????t ＋122＋14

， t ∈???

?12，＋∞， 则f (t )在????12，＋∞上为减函数，

f (t )≤f ????12＝－????12＋122＋14＝－34

， 即f (t )∈?

???－∞，－34. ∵a >f (t )，在[12

，＋∞)上恒成立， ∴a ∈???

?－34，＋∞. 11．(16分)(2009·江苏苏北四市期末)设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立．

(1)求f (x )的解析式；

(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图 象关于直线y ＝x 对称，求h (x )；

(3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域．

解 (1)由f (0)＝2，得b ＝1，

由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0，

由a x >0得a ＝2，

所以f (x )＝2x ＋1.

(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.

设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )应该在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)．

(3)由已知得y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[54

，2]，所以函数y ＝g (x ) ＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[54

，2])． 由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[54

，2]上均为增函数， 因此当x ＝54

时，y ＝242－1， 当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54

，2])的值域为[242－1,5]． 12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝(13

)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最 小值为h (a )．

(1)求h (a )；

(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件：

①m >n >3；

②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．

解 (1)因为x ∈[－1,1]，所以(13)x ∈[13

，3]． 设(13)x ＝t ，t ∈[13

，3]， 则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.

当a <13时，h (a )＝φ(13)＝289－2a 3

； 当13

≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .

所以h (a )＝????? 289－2a 3 (a <13)3－a 2 (13≤a ≤3)12－6a (a >3).

(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .

因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，

所以?????

12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m

＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在．

§2.5 对数与对数函数

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________．

解析 ∵a ＝log 3π>1，b ＝12log 23<1，c ＝12

log 32<1，

∴a >b ，a >c .又log 23log 32＝lg 23lg 22

>1，∴b >c ， ∴a >b >c .

答案 a >b >c

2．(2009·福建厦门模拟)函数y ＝lg x ＋lg(x －1)的定义域为A ，y ＝lg(x 2－x )的定义域为B ，则

A 、

B 的关系是______________．

解析 由已知得?

???? x >0x －1>0，∴A ＝{x |x >1}，由x 2－x >0 得x >1或x <0，∴B ＝{x |x >1或x <0}，∴A B .

答案 A B

3．(2009·广东改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ， a )则f (x )＝__________________.

解析 由y ＝a x 得，x ＝log a y ，即f (x )＝log a x ，

由于a ＝log a a ＝12，因此f (x )＝log 12

x . 答案 log 12

x 4．(2009·南京十三中三模)已知f (x )＝?

???? (3a －1)x ＋4a ， x <1，log a x ， x ≥1是R 上的减函数，那么a 的 取值范围是________________．

解析 由已知?????

0

，

解得17≤a <13

. 答案 [17，13) 5．(2010·江苏泰州月考)函数y ＝log 12

(x 2－3x ＋2)的递增区间是__________． 解析 由x 2－3x ＋2>0得x <1或x >2，

当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2－3x ＋2单调递减，

而0<12<1，由复合函数单调性可知y ＝log 12

(x 2－3x ＋2)在(－∞，1)上是单调递增的，在(2， ＋∞)上是单调递减的．

答案 ()－∞，1

6．(2010·泰州模拟)方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．

解析 log 3(x 2－10)＝log 33x .

∴x 2－10＝3x .∴x 2－3x －10＝0.

∴x ＝－2或x ＝5.

检验知x ＝5适合．

答案 5

7．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝????12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则

f (2＋lo

g 23)＝________.

解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)

＝f (3＋log 23)．又因为3＋log 23>4，故f (3＋log 23)

＝????123＋log 23＝????123·13＝124

.

答案 124

8．(2010·淮北调研)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值 为________．

解析 ∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性．

∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，

∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，

化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12

. 答案 12

9．(2009·广东五校联考)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x 2 －5x ＋7)>0的解集为________________．

解析 设t ＝lg(x 2－2x ＋3)＝lg[(x －1)2＋2]．

当x ＝1时，t min ＝lg 2.

又函数y ＝f (x )有最大值，所以0

由log a (x 2－5x ＋7)>0，得0

解得2

答案 (2,3)

二、解答题(本大题共3小题，共46分)

10.(14分)(2010·江苏启东中学模拟)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在区间(－∞，－12

)上为增 函数，求a 的取值范围．

解 令g (x )＝x 2－ax －a .

∵f (x )＝log 12g (x )在(－∞，－12

)上为增函数， ∴g (x )应在(－∞，－12

)上为减函数且g (x )>0 在(－∞，－12

)上恒成立． 因此???

a 2≥－12g (－12)>0， 即????? a ≥－114＋a 2

－a >0. 解得－1≤a <12

， 故实数a 的取值范围是－1≤a <12

. 11．(16分)(2010·舟山调研)已知函数y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．

解 因为μ(x )＝x 2－2ax －3在(－∞，a ]上是减函数，

在[a ，＋∞)上是增函数，

要使y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，

首先必有0＜a 2＜1，

即0＜a ＜1或－1＜a ＜0，且有

?????

μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，

得－14

≤a ＜0或0＜a ＜1. 12．(16分)(2010·扬州模拟)已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b

(a >0，且a ≠1，b >0)． (1)求f (x )的定义域；

(2)讨论f (x )的奇偶性；

(3)讨论f (x )的单调性．

解 (1)由x ＋b x －b

>0?(x ＋b )(x －b )>0. 解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．

(2)∵f (－x )＝log a ? ??

??－x ＋b －x －b ＝log a ? ????x －b x ＋b ＝log a ? ??

??x ＋b x －b －1＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．

(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则u (x )＝1＋2b x －b

. 它在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．

∴当0

当a >1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．

§2.6 幂函数

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2010·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________.

解析 由已知得2＝4α，∴α＝12

， ∴f (x )＝x 12

， ∴log 2f (2)＝log 2212＝12

. 答案 12

2．(2009·江苏靖江调研)设α∈{－2，－12，12

，2}，则使函数y ＝x α为偶函数的所有α的和为____________．

解析 符合题意的α为－2和2，则－2＋2＝0.

答案 0

3．(2009·山东临沂模拟)已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________________．

解析 由指数函数y ＝0.8x 知，

∵0.7<0.9，∴0.80.9<0.80.7<1，

即b 1，∴b

答案 b

4．(2010·连云港模拟)幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －5m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m

的值为________．

解析 由题意知?????

m 2－m －1＝1，－5m －3<0.∴m ＝2. 答案 2

5．(2010·盐城模拟)设函数f (x )＝?????

2－x －1， x ≤0，x 12

， x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是 ________________．

解析 f (x 0)>1，

当x 0≤0时，2－x 0－1>1，

即2－x 0>2，－x 0>1，∴x 0<－1；

当x 0>0时，x 12

0>1，∴x 0>1. 综上，x 0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)

6．(2010·西安调研)函数y ＝(0.5x －8)－12

的定义域是______________． 解析 由题意知0.5x －8>0，即(12

)x >8，即2－x >23， ∴－x >3，则x <－3.

答案 (－∞，－3)

7．(2009·宝城第一次月考)若(a ＋1)－13<(3－2a )－13

，则a 的取值范围是______________． 解析 ∵(a ＋1)－13<(3－2a )－13

， ∴????? a ＋1>03－2a >0

a ＋1>3－2a 或????? a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a 或?????

3－2a >0a ＋1<0 解之得23

或a <－1. 答案 23

或a <－1 8．(2009·南京二模)给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函 数值f (x 0)∈D ，则称函数y ＝f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0,1)，则函数

①f 1(x )＝3x －1；

②f 2(x )＝－12x 2－12

x ＋1； ③f 3(x )＝1－x ；

④f 4(x )＝x 12

，其中在D 上封闭的是________．(填序号即可) 解析 ∵f 1????13＝0?(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭．

∵f 2(x )＝－12x 2－12

x ＋1在(0,1)上是减函数， ∴0＝f 2(1)

∵f 3(x )＝1－x 在(0,1)上是减函数，

∴0＝f 3(1)

又∵f 4(x )＝x 12

在(0,1)上是增函数， 且0＝f 4(0)

答案 ②③④

9．(2010·泉州模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点(18，24

)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1

①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)； ②x 1f (x 1)

③f (x 1)x 1>f (x 2)x 2； ④f (x 1)x 1

. 其中正确结论的序号是________________．

解析 依题意，设f (x )＝x α，则有(18)α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝12，于是f (x )＝x 12

. 由于函数f (x )＝x 12

在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1

分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数 图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f (x 1)x 1>f (x 2)x 2

，所以③正确． 答案 ②③

二、解答题(本大题共3小题，共46分)

10.(14分)(2009·辽宁丹东检测)已知幂函数y ＝x －12p 2＋p ＋32

(p ∈Z )在(0，＋∞)上单调递增， 且在定义域内图象关于y 轴对称，求p 的值．

解 由题意知：－12p 2＋p ＋32＝－12

(p －1)2＋2. 因为p ∈Z ，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域上为偶函数，所以p ＝1.

11．(16分)(2010·四平调研)已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3

(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．

解 由条件知1－n 2＋2n ＋3

>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1

∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13

. ∴f (x )在R 上单调递增．

∴f (x 2－x )>f (x ＋3)，∴x 2－x >x ＋3.

解得x <－1或x >3.

∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝x 1＋x

， (1)画出f (x )的草图；

(2)由图象指出f (x )的单调区间；

(3)设a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c ，证明：f (a )＋f (b )＞f (c )．

(1)解 由x

x x f +=1)(得 .1

11)(+-=x x f ∴f(x)的图象可由x y 1-

=的图象向左平移1个 单位，再向上平移1个单位得到如图．

(2)解 由图象知(－∞，－1)，(－1，＋∞)

均为f (x )的单调增区间．

(3)证明 ∵f (x )在(－1，＋∞)为增函数，

a 1＋a ＞

a 1＋a ＋

b ＞0，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b

＞0，a ＋b ＞c ＞0， ∴f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b ＞c 1＋c

＝f (c )， ∴f (a )＋f (b )＞f (c )．

§2.7 函数与方程

一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)

1．(2010·福建厦门模拟)如果函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．

解析 方程x 2＋mx ＋(m ＋3)＝0有两个不同的根?Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，∴m >6或m <－2. 答案 (－∞，－2)∪(6，＋∞)

2．(2010·金华一模)如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋2的一个零点是0，则另一个零点是 ________________．

解析 依题意知：m ＝－2.

∴f (x )＝x 2－2x ，

∴方程x 2－2x ＝0的另一个根为2，

即另一个零点是2.

答案 2

3．(2009·江苏盐城模拟)用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁 定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

解析 令f (x )＝x 3－2x －1，

则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－58

<0， 由f (32)f (2)<0知根所在区间为(32

，2)． 答案 (32

，2)(说明：写成闭区间也对) 4．(2010·江苏兴化模拟)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________.

x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.08

x ＋2

1 2 3 4 5 解析 令f (x )＝e x －x －2，

由表知f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，

∴方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．

答案 (1,2)

5．(2009·江苏扬州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *， 则a ＋b ＝________.

解析 ∵b －a ＝1，a ，b ∈N *，f (1)＝4－5＝－1<0，

f (2)＝6>0，∴f (1)f (2)<0，∴a ＋b ＝3.

答案 3

6．(2009·山东，14)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是______________．

解析 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1) 有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图1可知，当

01时，因为函数y ＝a x (a >1)与y 轴交于点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所 以实数a 的取值范围是a

>1.

答案 a>1

7．(2010·苏州模拟)偶函数f (x )在区间[0，a ](a >0)上是单调函数，且f (0)·f (a )<0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．

解析 由f (0)·f (a )<0，且f (x )在[0，a ](a >0)上单调知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x ) 为偶函数，

f (x )＝0在[－a,0]上也有一根．

答案 2

8．(2010·浙江温州一模)关于x 的实系数方程x 2－ax ＋2b ＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在 区间[1,2]上，则2a ＋3b 的最大值为________．

解析 令f (x )＝x 2－ax ＋2b ，据题意知函数在[0,1]，[1,2]内各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件

????? f (0)≥0f (1)≤0f (2)≥0?????? b ≥01－a ＋2b ≤0

4－2a ＋2b ≥0，

在直角坐标系中作出满足不等式的点(a ，b )所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数： z ＝2a ＋3b 的最优解，结合图形可知当a ＝3，b ＝1时，目标函数取得最大值9.

答案 9

9．(2009·江苏启东中学月考)若关于x 的方程3tx 2＋(3－7t )x ＋4＝0的两实根α，β满足 0<α<1<β<2，则实数t 的取值范围是______________．

解析 依题意，函数f (x )＝3tx 2＋(3－7t )x ＋4的两个零点α，β满足0<α<1<β<2，且函数f (x ) 过点(0,4)，则必有

????? f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即?????

4>03t ＋3－7t ＋4<012t ＋6－14t ＋4>0， 解得74

10.(14分)(2010·江苏镇江调研)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围．

解 二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1] 内的任意一个x 都有f (x )≤0，

∴????? f (1)≤0f (－1)≤0，即?????

4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤04＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0 整理得?????

2p 2＋3p －9≥02p 2－p －1≥0， 解得p ≥32

或p ≤－3.

∴二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，

使f (c )>0的实数p 的取值范围是?

???－3，32. 11．(16分)(2010·扬州模拟)x 1与x 2分别是实系数方程ax 2＋bx ＋c ＝0和－ax 2＋bx ＋c ＝0的一

个根，且x 1≠x 2，x 1≠0，x 2≠0.求证：方程a 2

x 2＋bx ＋c ＝0有一个根介于x 1和x 2之间． 证明 由于x 1与x 2分别是方程ax 2＋bx ＋c ＝0和－ax 2＋bx ＋c ＝0的根，所以有

?

???? ax 21＋bx 1＋c ＝0，－ax 22＋bx 2＋c ＝0. 设f (x )＝a 2

x 2＋bx ＋c ， 则f (x 1)＝a 2x 21＋bx 1＋c ＝－a 2x 21

， f (x 2)＝a 2x 22＋bx 2＋c ＝3a 2x 22

. 于是f (x 1)f (x 2)＝－34

a 2x 21x 22， 由于x 1≠x 2，x 1≠0，x 2≠0，

所以f (x 1)f (x 2)<0，

因此方程a 2

x 2＋bx ＋c ＝0有一个根介于x 1和x 2之间． 12．(16分)(2009·江苏江阴模拟)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.

(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；

(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为 12－t .(视区间[a ，b ]的长度为b －a )

解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，

∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．

∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有

????? f (1)≤0f (－1)≥0，即?

????

1－16＋q ＋3≤01＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8. ①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小，

∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，

解得t ＝15±172，∴t ＝15－172

； ②当6

∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；

③当8

∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，

解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.

综上可知，存在常数t ＝15－172

，8,9满足条件．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o0le.html