2018全国Ⅰ卷文科数学高考真题

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}02A =,

,{}21012B =--,,,,,则A B = A .{}02, B .{}12, C .{}0

D .{}21012--,

,,, 2.设1i 2i 1i

z -=++,则z = A

.0 B .12 C .1 D 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是

A .新农村建设后,种植收入减少

B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4.已知椭圆C :22214

x y a +=的一个焦点为(20),,则C 的离心率为

A .13

B .12

C

D 5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为

A .

B .12π

C .

D .10π

6.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,

处的切线方程为

A .2y x =-

B .y x =-

C .2y x =

D .y x =

7.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =

A .3144

AB AC - B .1344AB AC - C .3144

AB AC + D .1344AB AC + 8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则

A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3

B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4

C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3

D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为4

9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为

A

. B .

C .3

D .2

10.在长方体1111ABCD A BC D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为

A .8 B

. C

. D

.11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,

,()2B b ,,且

2cos 23α=,则a b -= A .15 B

C

D .1

12.设函数()201 0

x x f x x -?=?>?,≤,,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是

A .(]1-∞-,

B .()0+∞,

C .()10-,

D .()0-∞,

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知函数()()

22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.

14.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --≤??-+≥??≤?,,,则32z x y =+的最大值为________.

15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.

16.△ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,

,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n

=

. (1)求123b b b ,,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由;

(3)求{}n a 的通项公式.

18.(12分)

如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥.

(1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;

(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且23

BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积.

19.(12分)

某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:

(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m 3的概率;

(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

20.(12分)

设抛物线22C y x =:,点()20A ,

,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;

(2)证明:ABM ABN =∠∠.

21.(12分)

已知函数()e ln 1x f x a x =--.

(1)设2x =是()f x 的极值点,求a ,并求()f x 的单调区间;

(2)证明:当1e

a ≥时,()0f x ≥. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第

一题计分。

22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.

(1)求2C 的直角坐标方程;

(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知()11f x x ax =+--.

(1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;

(2)若()01x ∈,

时不等式()f x x >成立,求a 的取值范围.

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题

1.A

2.C 3.A 4.C 5.B 6.D

7.A

8.B 9.B 10.C 11.B 12.D

二、填空题

13.-7

14.6 15. 16 三、解答题

17.解:(1)由条件可得a n +1=2(1)n n a n +. 将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.

从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.

(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得

121n n a a n n

+=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 18.解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥. 又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD .

又AB ?平面ABC ,

所以平面ACD ⊥平面ABC .

(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =.

又23

BP DQ DA ==,所以BP =. 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE = 13

DC . 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1.

因此,三棱锥Q ABP -的体积为

111

13451332

Q ABP ABP V QE S -=??=?????=△. 19.解:(1)

(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850

x =?+?+?+?+?+?+?=. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550

x =?+?+?+?+?+?=. 估计使用节水龙头后,一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-?=.

20.解:(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,–2).

所以直线BM 的方程为y =112x +或112

y x =--. (2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .

当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.

由2(2)2y k x y x

=-??=?,得ky 2–2y –4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=–4. 直线BM ,BN 的斜率之和为

1221121212122()22(2)(2)

BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++.① 将112y x k =+,222y x k

=+及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++=

==. 所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN .

综上,∠ABM =∠ABN .

21.解:(1)f (x )的定义域为(0)+∞,,f ′(x )=a e x –1x

. 由题设知,f ′(2)=0,所以a =

212e . 从而f (x )=21e ln 12e x x --,f ′(x )=211e 2e x x

-. 当0<x <2时,f ′(x )<0;当x >2时,f ′(x )>0.

所以f (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.

(2)当a ≥1e 时,f (x )≥e ln 1e

x

x --. 设g (x )=e ln 1e x x --,则e 1()e x g x x

'=-. 当0<x <1时,g ′(x )<0;当x >1时,g ′(x )>0.所以x =1是g (x )的最小值点. 故当x >0时,g (x )≥g (1)=0.

因此,当1e

a ≥时,()0f x ≥. 22.解:(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为

22(1)4x y ++=.

(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.

由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.

当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,

2=,故43k =-或0k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43

k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.

当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,

2=,故0k =或

43

k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =

时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4||23

y x =-+. 23.解:(1)当1a =时,()|1||1|f x x x =+--,即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??=-<<??≥?

故不等式()1f x >的解集为1{|}2

x x >. (2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立. 若0a ≤,则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥;

若0a >,|1|1ax -<的解集为20x a <<,所以21a ≥,故02a <≤. 综上,a 的取值范围为(0,2]

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/o0l1.html

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