2018全国Ⅰ卷文科数学高考真题
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}02A =,
,{}21012B =--,,,,,则A B = A .{}02, B .{}12, C .{}0
D .{}21012--,
,,, 2.设1i 2i 1i
z -=++,则z = A
.0 B .12 C .1 D 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A .新农村建设后,种植收入减少
B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.已知椭圆C :22214
x y a +=的一个焦点为(20),,则C 的离心率为
A .13
B .12
C
D 5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
A .
B .12π
C .
D .10π
6.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,
处的切线方程为
A .2y x =-
B .y x =-
C .2y x =
D .y x =
7.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =
A .3144
AB AC - B .1344AB AC - C .3144
AB AC + D .1344AB AC + 8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则
A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3
B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4
C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3
D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为4
9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为
A
. B .
C .3
D .2
10.在长方体1111ABCD A BC D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为
A .8 B
. C
. D
.11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,
,()2B b ,,且
2cos 23α=,则a b -= A .15 B
C
D .1
12.设函数()201 0
x x f x x -?=?>?,≤,,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是
A .(]1-∞-,
B .()0+∞,
C .()10-,
D .()0-∞,
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数()()
22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.
14.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --≤??-+≥??≤?,,,则32z x y =+的最大值为________.
15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.
16.△ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,
,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n
=
. (1)求123b b b ,,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{}n a 的通项公式.
18.(12分)
如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥.
(1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;
(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且23
BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积.
19.(12分)
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m 3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
20.(12分)
设抛物线22C y x =:,点()20A ,
,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;
(2)证明:ABM ABN =∠∠.
21.(12分)
已知函数()e ln 1x f x a x =--.
(1)设2x =是()f x 的极值点,求a ,并求()f x 的单调区间;
(2)证明:当1e
a ≥时,()0f x ≥. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.
(1)求2C 的直角坐标方程;
(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知()11f x x ax =+--.
(1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;
(2)若()01x ∈,
时不等式()f x x >成立,求a 的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.A
2.C 3.A 4.C 5.B 6.D
7.A
8.B 9.B 10.C 11.B 12.D
二、填空题
13.-7
14.6 15. 16 三、解答题
17.解:(1)由条件可得a n +1=2(1)n n a n +. 将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.
从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.
(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得
121n n a a n n
+=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 18.解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥. 又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD .
又AB ?平面ABC ,
所以平面ACD ⊥平面ABC .
(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =.
又23
BP DQ DA ==,所以BP =. 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE = 13
DC . 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1.
因此,三棱锥Q ABP -的体积为
111
13451332
Q ABP ABP V QE S -=??=?????=△. 19.解:(1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850
x =?+?+?+?+?+?+?=. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550
x =?+?+?+?+?+?=. 估计使用节水龙头后,一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-?=.
20.解:(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,–2).
所以直线BM 的方程为y =112x +或112
y x =--. (2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .
当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.
由2(2)2y k x y x
=-??=?,得ky 2–2y –4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=–4. 直线BM ,BN 的斜率之和为
1221121212122()22(2)(2)
BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++.① 将112y x k =+,222y x k
=+及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++=
==. 所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN .
综上,∠ABM =∠ABN .
21.解:(1)f (x )的定义域为(0)+∞,,f ′(x )=a e x –1x
. 由题设知,f ′(2)=0,所以a =
212e . 从而f (x )=21e ln 12e x x --,f ′(x )=211e 2e x x
-. 当0<x <2时,f ′(x )<0;当x >2时,f ′(x )>0.
所以f (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
(2)当a ≥1e 时,f (x )≥e ln 1e
x
x --. 设g (x )=e ln 1e x x --,则e 1()e x g x x
'=-. 当0<x <1时,g ′(x )<0;当x >1时,g ′(x )>0.所以x =1是g (x )的最小值点. 故当x >0时,g (x )≥g (1)=0.
因此,当1e
a ≥时,()0f x ≥. 22.解:(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为
22(1)4x y ++=.
(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.
由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.
当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,
2=,故43k =-或0k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43
k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.
当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,
2=,故0k =或
43
k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =
时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4||23
y x =-+. 23.解:(1)当1a =时,()|1||1|f x x x =+--,即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??=-<<??≥?
故不等式()1f x >的解集为1{|}2
x x >. (2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立. 若0a ≤,则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥;
若0a >,|1|1ax -<的解集为20x a <<,所以21a ≥,故02a <≤. 综上,a 的取值范围为(0,2]
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