人教版-数学-八年级上册-《角的平分线的性质》同步练习2

初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 12.3 角的平分线的性质

基础巩固

一、填空题

1．如图1，在△ABC 中，∠C＝900

，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC∶DB＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

3题图

D C B A 图1 图2

2．如图2所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．

3．如图3，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。

图3 图4

4．如图4，已知AB ∥CD，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。

5．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。

二、选择题

6．如图5，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则)(n m +与)(c b +的大小关系是（ ）

A 、n m +＞c b +

B 、n m +＜c b +

C 、n m +＝c b +

D 、无法确定

选择第4题图 P

D C B A

图5 图6 7．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 边

的距离为( )

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初中-数学-打印版 A ．18 B ．16 C ．14 D ．12

8．如图6，AE⊥BC 于E ，CA 为∠BAE 的角平分线，AD=AE ，连结CD ，则下列结论不正确的是( )

A ．CD=CE

B ．∠ACD=∠ACE C．∠CDA =90° D．∠BCD=∠ACD

9．在△ABC 中，∠B=∠ACB，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数为( )

A ．40°

B ．36°

C ．70° D．60°

10．在以下结论中，不正确的是( )

A ．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上

B ．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等

C ．一个角只有一条角平分线

D ．角的平分线有时是直线，有时是线段

三、解答题

11．如图7所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB ⊥AB 于B ，EC⊥AC 于C ，D 是AE 上一点，求证：BD=CD 。

图7 图8图9

12．如图8，BD=CD ，BF⊥AC 于F ，CE⊥AB 于E 。求证：点D 在∠BAC 的角平分线上。

13．如图9，∠AOP=∠BOP，AD ⊥OB 于D ，BC⊥OA 于C ，AD 与BC 交于点P 。求证：AP=BP 。

综合提高

一、填空题

14．如图10，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线EF 。如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个。

图10

15．已知△DE F≌△ABC ，AB =AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC =4 cm ，

则△DE F 的边中必有一条边等于______。

16．在△ABC 中，∠C =90°，BC =4CM ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且BD ：DC =5：3，则D 到AB 的距离为_____________。

17．∠B =∠C =900，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED =350，如图11，则∠EAB 的度数是 。

B 图11

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18．△ABC 中，AB=AC ，∠B、∠C 的角平分线的交点为O ，连结AO ，若S △AOB =6cm 2

，则S △AOB = 。 二、选择题

19．如图12所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。

A.9 cm

B.5 cm

C.6 cm

D.不能确定

图12

20．下列命题中正确的是（ ）

A ．全等三角形的高相等

B ．全等三角形的中线相等

C ．全等三角形的角平分线相等

D ．全等三角形对应角的平分线相等 21．如图13， ∠AOB 和一条定长线段A ，在∠AOB 内找一点P ，使P 到

OA 、OB 的距离都等于A ，做法如下：（1）作OB 的垂线NH ，使NH =A ，H 为垂足．（2）

过N 作NM ∥OB ．（3）作∠AOB 的平分线OP ，与NM 交于P ．（4）点P 即为所求．其中（3）的依据是（ ）

A .平行线之间的距离处处相等

B .到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C .角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D.到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上 22．如图14，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ）

A ．DE=DF

B ．AE=AF

C ．△ADE ≌△ADF

D ．AD=DE+DF

23．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ） A ．45° B．135° C．45°或135° D．都不对 三、解答题

24．如图15，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△B AC 的外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE⊥A B 于E ，且AB>AC ，求证：BE －AC=AE ．

图13

A

D C

B 图14

E

F A

F C

D

图15

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25．如图16所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD ．

图16

拓展探究

一、解答题 26．如图17， △ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D ， F 为垂足， DE⊥AB 于E ， 且AB>AC 求证：BE －AC=AE ．

图17图18 27．如图18，已知AD∥BC， ∠DAB 和∠ABC 的平分线交于E ， 过E 的直线交AD 于D ， 交BC 于C ， 求证: DE=EC ．

28．如图19，已知AC∥BD、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？请说明理由．

D

C A

B

E 图19

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参考答案

基础巩固

一、填空题

1. 15；

2. 2；

3. DE=DF=DG；

4. 4；

5. 130°

二、选择题

6.A

7.C

8.D

9.A 10.D

三、解答题

11．证：先证Rt△ACE≌Rt△ABE，推出AB=AC。再证△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE)，得出DC=DB。

12．证：在△DBE和△DCF中，

90,

,

,

BED CFD

BDE CDF

BD CD

∠=∠=??

?

∠=∠

?

?=

?

所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的角平分线上。13．证：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD

在△ACP和△BDP中，

90,

,

,

ACP BDP

PC PD

APC BPD

∠=∠=?

?

?

∠=

?

?∠=∠

?

，∴△APC≌△BPD

∴AP=BP。

综合提高

一、填空题

14. 作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分线与EF的交点；1；2 15. 4cm或9.5cm 16. 1.5cm

17. 35° 18. 6cm2

二、选择题

19.C 20.D 21.B 22.D 23.C

三、解答题

24．证：过D作DN⊥AC, 垂足为N, 连结DB、DC则DN=DE，DB=DC，又∵DE⊥AB, DN⊥AC,

∴Rt△DBE≌Rt△DCN，∴BE=CN．又∵AD=AD，DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA，∴AN=AE，∴BE=AC+AN=AC+AE，

∴BE－AC=AE．

25．证一（截长法）：如图1所示，过点D作BD⊥AB于E，

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA且AD公共，

∴△ADE≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，CD＝DE

在△DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，

A

C

图1

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 ∴△EBD 是等腰直角三角形．∴DE＝EB ，∴CD＝EB ．

∴AC＋CD ＝AE ＋EB ，即AC ＋CD ＝AB ．

证法二（补短法）：

如图2所示，在AC 的延长线上截取CM ＝CD ，连结DM ．

在△MCD 中，∠MCD＝90°，CD ＝CM

∴△MCD 是等腰直角三角形．∴∠M＝45°

又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°

∴∠M＝∠B＝45° 又∵AD 平分∠CAD ∴在△MAD 与△BAD 中?????∠∠?∠∠AD AD BAD MA 45B M ＝＝＝

∴△MAD≌△BAD（AAS ）∴MA＝AB ，即AC ＋CD ＝AB ．

拓展探究

一、解答题

26．证：过D 作DN⊥AC， 垂足为N ， 连结DB 、DC ，则DN=DE ， DB=DC 又∵DE⊥AB， DN⊥AC， ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN

又∵AD=AD， DE=DN ，∴Rt△DEA≌Rt△DNA ∴AN=AE

∴BE=AC+AN=AC+AE ∴BE－AC=AE

图3

27．证：在AB 上截取AF=AD 。∵AE 是∠DAF 的平分线(已知)

∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义)

在△DAE 和△FAE 中，??

???=∠=∠=)()()(公共边已证已作AE AE FAE DAE AF AD ∴△DAE≌△FAE(SA S)

∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等) ∵∠AFE+∠BFE=1800(邻补角定义)

又AD∥BC(已知) ∴∠D+∠C=1800(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)

B M D

图2

初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 ∵BE 是∠ABC 的平分线(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)

在△FBE 和△CBE 中??

???=∠=∠∠=∠)()()(公共边已证已证BE BE C BFE CBE FBE ∴△FBE≌△CBE(AA S)

∴FE=CE(全等三角形对应边相等) ∴DE=EC．

图4

28．结果：相等．

34

D

C A 65(1)F

E 1234

D

C

A B

65(2)E F

12

证法一：如图（1）在AB 上截取AF=AC ，连结EF ．

在△ACE 和△AFE 中， 12AC AF AE AE =??∠=∠??=?

∴△ACE≌△AFE（SAS ）

518056180C

AC BD C D ∴∠=∠???∠+∠=???∠+∠=??

?∠6=∠D

在△EFB 和△BDE 中，634D BE BE ∠=∠??∠=∠??=?

∴△EFB≌△EDB（AAS ） ∴FB=DB

∴AC+BD=AF+FB=AB

证法二：如图（2），延长BE ，与AC 的延长线相交于点F 434AC BD F ?∠=∠??∠=∠?

?∠F=∠3

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初中-数学-打印版 在△AEF 和△AEB 中，312F AE AE ∠=∠??∠=∠??=?

∴△AEF≌△AEB（AAS ）∴AB=AF，BE=FE 在△BED 和△FEC 中，564BE FE F ∠=∠??=??∠=∠?

∴△BED≌△FEC（ASA ） ∴BD=FC ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．

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