全国高考数学试题综合1

2011（北京理卷）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是 A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数

i?2? 1?2i4343?i D．??i 5555A．i B．-i C．?3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是

A．(1,?2) B．(1,??2)

C． (1,0) D．(1，?)

4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A．-3

1 21C．

3B．-

D．2

5．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F， 延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

???6．据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分）为 f(x)?????cxcA,x?A,（A，

,x?AC常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中， 最大的是

A．8

B．62

C．10 D．82 8．设A?0,0?,B?4,0?，C?t?4,4?,D?t,4??t?R?.记N?t?为平行四边形ABCD内部（不

含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N?t?的值域

为

A．?9,10,11? B．?9,10,12? C．?9,11,12? D．?10,11,12?

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．在?ABC中。若b=5，?B??4，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

10．已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）。若a-2b与c共线，则

k=___________________。 11．在等比数列{an}中，a1=

1，a4=-4，则公比q=______________；2a1?a2?...?an?____________。

12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____个。（用数

字作答）

?2x?2?,13．已知f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值

?(x?1)3,x?2?范围是_______

14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数a(a?1)的点的轨迹.给出下列三个结论：所有正确结论的序号是

① 曲线C过坐标原点； ② 曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于

2

12a。 2三、解答题共6小题，共80分。

15．（13分）已知函数f(x)?4cosxsin(x??6)?1。

????,?上的最大值和最小值。 ?64?

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：（Ⅱ）求f(x)在区间??

16．（ 14分）在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形，

AB?2,?BAD?60?.

(Ⅰ)求证：BD?平面PAC;（Ⅱ）若PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

17． （13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数

据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树

Y的分布列和数学期望。 （注：方差s?的平均数）

18．（ 13分）已知函数f(x)?(x?k)e。

（Ⅰ）求f(x)的单调区间（Ⅱ）若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)≤值范围。

2xk22221?x1?x?x2?x???xn?x?，其中x为x1，x2，…… xn???n?

??????1，求k的取e

x219．（ 14分）已知椭圆G:?y2?1.过点（m,0）作圆x2?y2?1的切线I交椭圆G于

4A，B两点.

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.

20．（13分）若数列An?a1,a2,...,an(n?2)满足an?1?a1?1(k?1,2,...,n?1)，数列An为

E数列，记S(An)=a1?a2?...?an．

（Ⅰ）写出一个满足a1?as?0，且S(As)〉0的E数列An；

（Ⅱ）若a1?12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S?An?=0？

如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。

参考答案

一、（1）C （2）A （3）B （4）D（5）A （6）D （7）C （8）C 二、（9）

255210 （10）1（11）—2 2n?1?1 （12）14（13）（0，1）（14）2②③

三、（15）解：（Ⅰ）因为f(x)?4cosxsin(x?

?6)?1?4cosx(31sinx?cosx)?1 22?3sin2x?2cos2x?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x?为?

?6)所以最小正周期

（Ⅱ）因为??6?x??4,所以??6?2x??6?2?. 3 于是，当2x??6??2,即x??6时，f(x)取得最大值2；

当2x???6???6,即x??6时,f(x)取得最小值—1. （16）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,

所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则

P（0，—3，2），A（0，—3，0），B（1，0，0），C（0，3，0）. 所以PB?(1,3,?2),AC?(0,23,0).设PB与AC所成角为?，则

cos?PB?AC66|PB|?|AC|?22?23?4. （Ⅲ）由（Ⅱ）知BC?(?1,3,0).设P（0，－3，t）（t>0），则

BP?(?1,?3,t)

设平面PBC的法向量m?(x,y,z),则BC?m?0,BP?m?0

所以????x?3y?0,令y?3,则6??x?3y?tz?0x?3,z?.?t

所以m?(3,3,6t)同理，平面PDC的法向量n?(?3,3,6t)

平面PCB⊥平面PDC,所以m?n=0，即?6?36t2?0解得t?6所以PA=6

（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为x?8?8?9?104?354;

方差为s2?14[(8?354)2?(8?354)2?(9?354)2?(10?352114)]?16.

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组

同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以

4．已知?an?为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为

?an?的前n项和，n?N*，则S10的值为

A．-110

6B．-90 C．90 D．110

?x2?25．在?的二项展开式中，x的系数为 ???2x???153315 A．? B． C．? D．

48846．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB?CD,2AB?3BD,BC?2BD，则

sinC的值为

A．

3366 B． C． D． 3636log23.47．已知a?5

,b?5log43.6?1?,c????5?log30.3

,则

C．a?c?b

D．c?a?b

A．a?b?c B．b?a?c

8．对实数a和b，定义运算“?”：a?b???a,a?b?1, 设函数

?b,a?b?1.f(x)??x2?2???x?x2?,x?R.若函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，

则实数c的取值范围是

A．???,?2????1,?

??3?2?B．???,?2????1,???3?? 4?

C．??1,?????1?4??1?,??? ?4?D．??1,???3??1????,??? 4??4?二、填空题．

9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法 从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人 数为___________

10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体 的体积为__________m

3?x?8t2,11．已知抛物线C的参数方程为?（t为参数）若斜率为1的

y?8t.?直线经过抛物线C的焦点，且与圆?x?4??y?r(r?0)相切，

222

则r=________.

12．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一

点，且DF?CF?2,AF:FB:BE?4:2:1.若CE与圆相切，则

线段CE的长为__________.

13．已知集合A?x?R|x?3?x?4?9,B??x?R|x?4t??6,t?(0,??)?，则

集合A?B=________.

14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,?ADC?90,AD?2,BC?1,P是腰DC上的

0????1t??????????动点，则PA?3PB的最小值为____________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（13分）已知函数f(x)?tan(2x??4),

??（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期；（II）设???0,大小．

??4?若f()?2cos2,?求?的?，

?216．（13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱

子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，

（i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X) . 17．（13分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，

H是正方形AA1B1B的中心，AA1?22，C1H?平面AA1B1B，且C1H?5.

（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角A?AC 11?B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN?平面A1B1C，求线段

BM的

长．

18．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，F1,F2分别为椭圆

x2y2（Ⅰ）求椭圆的离心率e； ??1的左右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．

a2b2??????????（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，满足AM?BM??2，M是直线PF2上的点，

求点M的轨迹方程．

19．（14分）已知a?0，函数f(x)?lnx?ax,x?0.（f(x)的图像连续不断）

213时，证明：存在x0?(2,??)，使f( x0)?f()；82（Ⅲ）若存在均属于区间?1,3?的?,?，且????1，使f(?)?f(?)，证明

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）当a?ln3?ln2ln2． ?a?53

20．（14分）已知数列{an}与{bn}满足：bnan?an?1?bn?1an?2且

3?(?1)n*， n?N，?0,bn?2a1?2,a2?4．

（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N，证明：?cn?是等比数列；

*（III）设Sk?a2?a4?????a2k,k?N,证明：

*?ak?14nSkk7?(n?N*)． 6参考答案

一、选择题：每小题5分，满分40分.BABDCDCB 二、填空题：，每小题5分，满分30分. 9．12 10．6?? 11．2 12．

7 13．{x|?2?x?5} 14．5 2三、解答题

15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的

正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I）解：由2x? 得x??4??2?k?,k?Z，

?8?k?,k?Z. 2所以f(x)的定义域为{x?R|x??8?k?,k?Z} 2f(x)的最小正周期为

?. 2 （II）解：由f()?2cos2a,

得tan(a?a2?4)?2cos2a,

sin(a?)4?2(cos2a?sin2a), ?cos(a?)4?整理得

sina?cosa?2(cosa?sina)(cosa?sina).

cosa?sina因为a?(0,?4)，所以sina?cosa?0.

11,即sin2a?. 22因此(cosa?sina)2?由a?(0,?)，得2a?(0,).

42?所以2a??6,即a??12.

16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相

互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai?(i?0,1,2,3),则

1C32C21 P(A3)?2?2?.

C5C35 （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B?A2?A3，又

2111C32C2C2C2C21?? P(A2)?2?2? ,C5C3C52C322 且A2，A3互斥，所以P(B)?P(A2)?P(A3)?117??. 2510 （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.

729)?,1010072117 P(X?1)?C2(1?)?,

101050749P(X?2)?()2?.10100P(X?0)?(1? 所以X的分布列是 X P 0 1 2 921 10050921497 X的数学期望E(X)?0??1??2??.

10050100549 10017．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间

向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,?2,5)

（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'?2,且g(x')?0即可）

（III）证明：由f(?)?f(?)及（I）的结论知??从而f(x)在[?,?]上的最小值为f(a).

又由????1，?,??[1,3],知1???2???3.

2a??， 2a故??f(2)?f(?)?f(1),?ln2?4a??a,即?

f(2)?f(?)?f(3).ln2?4a?ln3?9a.??从而

ln3?ln2ln2?a?. 53

20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、

综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

?1,n为奇数3?(?1)n,n?N*, 可得bn?? （I）解：由bn? 22,n为偶数?又bnan?an?1?bn?1an?2?0,

当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3??3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4??5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4?4.（II）证明：对任意n?N,

*

a2n?1?a2n?2a2n?1?0,

②

① 2a2n?a2?n?1a0,?n2?2a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0,

④

③ ②—③，得

a2n?a2n?3.将④代入①，可得a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1)即cn?1??cn(n?N) 又c1?a1?a3??1,故cn?0,因此

*cn?1??1,所以{cn}是等比数列. cnk（III）证明：由（II）可得a2k?1?a2k?1?(?1)， 于是，对任意k?N且k?2，有

*a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,?(?1)k(a2k?3?a2k?1)??1.将以上各式相加，得a1?(?1)a2k?1??(k?1), 即a2k?1?(?1)k?1

k(k?1)，

k?1此式当k=1时也成立.由④式得a2k?(?1)(k?3).

从而S2k?(a2?a4)?(a6?a8)???(a4k?2?a4k)??k,

S2k?1?S2k?a4k?k?3.

所以，对任意n?N,n?2，

nSkS4m?3S4m?2S4m?1S4m?(???) ??aaaaak?1km?14m?34m?24m?14mn*4n??(m?1n2m?22m?12m?32m???) 2m2m?22m?12m?323?)

2m(2m?1)(2m?2)(2m?2)??(m?1n253???? 2?3m?22m(2m?1)(2n?2)(2n?3)1n53???? 3m?2(2m?1)(2m?1)(2n?2)(2n?3)151111113 ???[(?)?(?)???(?)]?3235572n?12n?1(2n?2)(2n?3)15513?????3622n?1(2n?2)(2n?3)

7?.6对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意n?N,

*SSS1S2????2n?1?2n a1a2a2n?1a2n?(SSSSS1S2?)?(3?4)???(2n?1?2n) a1a2a3a4a2n?1a2n11121n?(1??)?(1?2?2)???(1??) 2nn41244?(4?1)4(4?1)11121n?n?(?)?(2?22)???(n?nn)

41244(4?1)44(4?1)111?n?(?)?n?.

4123

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

i2?i3?i41．复数?

1?i

A．?11?i 22?B．?11?i 22C．

1111?i D．?i 22222．“x???”是“x????”的

D．既不充分也不

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

必要 3．已知lim(x???ax???)??，则a? x???xB． 2

5 A．??

nC．3

6D．6

4．(1?3x)(其中n?N且n≥6)的展开式中x与x的系数相等，则n=

A．6

B．7

C．8

D．9

=In(2?x)在其上为增函数的是 5．下列区间中，函数f（x）

A．（-?,1]

B．??1,?

3??4??C．?0,?3?2? D．?1,2?

6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a?b）?c?4，且C=60°，则ab的值为

A．

224 3B．8?43

C． 1 D．

2 37．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=

A．

14?的最小值是 abC．

7 222B．4

9 2D．5

8．在圆x?y?2x?6y?0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则

四边形ABCD的面积为

A．52

B．102

C．152

D．202

9．高为

2的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为14的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

A．

2 4B．

22 2C．1

D．2 10．设m，k为整数，方程mx?kx?2?0在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 A．-8 B．8 C．12 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

D．13

11．在等差数列{an}中，a3?a7?37，则a2?a4?a6?a8?__________ 12．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则2e1?e2?__________

13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________ 14．已知sin??1????cos?，且???0,?，则2?2?cos2?的值为__________ ???sin????4??15．设圆C位于抛物线y?2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________

三、解答题：本大题共6小题，共75分

16．（13分）设a?R，f?x??cosx?asinx?cosx??cos?22????x?满足?2??11????f????f?0?，求函数f(x)在[,]上的最大值和最小值.

424?3?

17．（13分）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区

的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率； （Ⅱ）申请的房源所在片区的个数?的分布

列与期望

18．（13分）设f(x)?x?ax?bx??的导数f'(x)满足f'(?)??a,f'(?)??b，其中常

数a,b?R．

（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(?,f(?))处的切线方程； （Ⅱ） 设g(x)?f'(x)e?x??，求函数

g(x)的极值．

19．（12分）如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC?平面ACD，AB?BC，

AD?CD，?CAD????．

（Ⅰ）若AD??，AB??BC，求四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）若二面角C?AB?D为???，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

20．（12分）椭圆的中心为原点O，离心率e? （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

?，一条准线的方程为x???． ?uuuruuuruuur （Ⅱ）设动点P满足：OP?OM??ON，其中M,N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为??，问：是否存在两个定点F?,F?，使得PF??PF?为定值？?若存在，求F?,F?的坐标；若不存在，说明理由．

21．（12分）

设实数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn?1?an?1Sn(n?N)

（I）若a1,S2?2a求S2和a3； （II）求证：对k?3有0?ak?1?ak?2成等比数列，

*4 3

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1—5 CADBD 6—10 ACBCD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11．74 12．3 13．三、解答题：满分75分. 16．（本题13分）

解：f(x)?asinxcosx?cosx?sinx ?221411 14．? 15．6?1

232asin2x?cos2x. 23a1????1,解得a?23. 222由f(??3)?f(0)得?因此f(x)?当x?[3sin2x?cos2x?2sin(2x?).

6?,]时,2x??[,],f(x)为增函数， 43632?11???3?当x?[,]时,2x??[,],f(x)为减函数，

324624?11??所以f(x)在[,]上的最大值为f()?2.

443?11?又因为f()?3,f()?2,

424?11?11?故f(x)在[,]上的最小值为f()?2.

4242417．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题.

（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式C4?2种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为

22?????2C4?228?. 4273解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)?1. 3从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为

821222P4(2)?C4()()?.

3327 （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又

31?,4273 1322C32(C2C4?C4C2)14C32(24?2)14P(??2)??(或P(??2)??)44272733P(??1)?12123C3C4C24C4A34P(??3)??(或P(??3)??).

993434综上知，ξ有分布列 ξ P 从而有

1 2 3 1144 27279E??1?114465?2??3??. 272792732218．（本题13分）

解：（I）因f(x)?x?ax?bx?1,故f?(x)?3x?2ax?b. 令x?1,得f?(1)?3?2a?b,

由已知f?(1)?2a,因此3?2a?b?2a,解得b??3. 又令x?2,得f?(2)?12?4a?b,由已知f?(2)??b, 因此12?4a?b??b,解得a??.

32325x?3x?1,从而f(1)?? 223又因为f?(1)?2?(?)??3,故曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

25y?(?)??3(x?1),即6x?2y?1?0.

2因此f(x)?x?3 （II）由（I）知g(x)?(3x?3x?3)e，

从而有g?(x)?(?3x?9x)e.

令g?(x)?0,得?3x?9x?0,解得x1?0,x2?3. 当x?(??,0)时,g?(x)?0,故g(x)在(??,0)上为减函数； 当x?(0,3)时,g?(x)?0,故g(x)在（0，3）上为增函数； 当x?(3,??)时，g?(x)?0,故g(x)在(3,??)上为减函数；

从而函数g(x)在x1?0处取得极小值g(0)??3,在x2?3处取得极大值g(3)?15e. 19．（本题12分）

（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC， 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，

且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=3. 在Rt△ABC中，因AC=2AF=23，AB=2BC，

?322?x2?x由勾股定理易知BC?故四面体ABCD的体积

215415,AB?. 551114152154V??S?ABC?DF?????.

332555 （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.

设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC， 故由三垂线定理知DE⊥AB.

所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°

设AD?a,则DF?AD?sinCAD?a. 2a33??a, 236在Rt?DEF中,EF?DF?cotDEF?从而GH?13BC?EF?a. 26因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，FH?1aBD?， 22又FG?1aAD?,从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 22FG2?GH2?FH2GH3cosFGH???

2FG?GH2FG6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

3. 6解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，

平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.

不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为

A(0,?3,0),C(0,3,0),D(0,0,1), ????则AD?(0,3,1).显然向量k?(0,0,1)是平面ABC的法向量. 已知二面角C—AB—D为60°，

故可取平面ABD的单位法向量n?(l,m,n)， 使得?n,k??60,从而n??1. 2????3由n?AD,有3m?n?0,从而m??.6由l2?m2?n2?1,得l??6.3

????????????设点B的坐标为B(x,y,0);由AB?BC,n?AB,取l?6，有 3?46?x2?y2?3,x?,x?0,????9?解之得,?(舍去) ?6?3x?(y?3)?0,?y??3??y?73,?6?3?9?易知l??6与坐标系的建立方式不合，舍去. 3????46734623,?,0). ,,0).所以CB?(因此点B的坐标为B(9999从而

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