2013年1月各区初三数学期末试题 中档题分类汇编 (教师版)

西城区教育研修学院·初三数学研修活动 2013.3.7

2013年1月各区 初三期末试题 中档题分类汇编

(教师版)

一. 动点问题与函数图象

1.(燕山8)．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm /秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分）．则下列结论错误．．

的是( B ) A ．AD ＝BE ＝5㎝ B ．cos ∠ABE ＝5

3

C ．当0＜t ≤5时，2

52t y =

D ．当4

29=

t 秒时，△ABE ∽△QBP

2(石景山8) ．如图，矩形ABCD 中，BC =4，AB =3，E 为边AD 上一点，DE =1，动点 P 、Q 同时从点C 出发，点P

沿CB 运动到点B 时停止，点Q 沿折线CD —DE —

EB 运 动到点B 时停止，它们运动的速度都是1cm /秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△CPQ 的面积为y cm 2．则y 与t 的函数关系图象大致是 8．如图，矩形ABCD 中，BC =4， AB =3，E 为边AD 上一点，DE =1

，动点P 、Q 同时从点C 出发，点P 沿CB 运动到点B 时停止，点Q 沿折线CD —DE —EB 运动到点B 时停止，它们运动的速度都是1cm / 秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△CPQ 的面积为y cm

2．则y 与t 的函数关系图象大 致是 B

A

B

C

E

D

Q

P

图⑴

A B C D

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3(门头沟8). 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长 度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，△APQ 的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大 致是 A

A ．

B ．

C ．

D ． 4(顺义8)．如图，等腰Rt ABC ?（90ACB ∠=?）的直角边与正方形

DEFG 的边长均为2，

且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让ABC ?沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的

长为x ，ABC ?与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，

则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ A ）

5(延庆8)．已知：如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，点E 在AD 上，且AE ＝1，点P 是线段AB 上一动点．折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN ，过点P 作PQ ⊥AB ，交MN 所在的直线于点Q . 设x =AP , y =PQ , 则y 关于x 的函数图象大致为 D

A B C D 6(朝阳8).如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4cm ，AD =2cm ，

C A

Q B D

西城区教育研修学院·初三数学研修活动2013.3.7 ∠A=60°，动点E自A点出发沿折线AD—DC以1cm/s的速度运动，设点E的运动时间为x（s），0

7(房山8). 如图，MN是⊙O的直径，弦BC⊥MN于点E，6

BC=. 点A、D分

别为线段EF、BC

上的动点. 连接AB、AD，设BD x

=，22

AB AD y

-=，

下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象是C

A. B.

C. D.

8(丰台9)．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设

）

A B C D

二．找规律

1(东城12)．如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，

点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，

PE=x.当CQ=

2

1

CE时，y与x之间的函数式是y= –x+6；当CQ=

n

1

CE（n为

A B C D

B

（第8题图

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不小于2的常数）时， y 与x 之间的函数关系式是y = –x +6(n –1).

2(通州16)．图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n 个圆中，m =2

91n -（用含n 的代数

式表示）．

3(丰台15)．如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,我们把菱形ABCD 的对称中心O 称作菱形的中心．菱 形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作 菱形中心O 所经过的路径长为

3

；经过3n （n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长

π．(结果都保留π)

3(燕山12)．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90o，∠B ＝30o，AC ＝1，AC 在直线l 上．将△ABC 在直线l 上

顺时针滚动一周，滚动过程中，三个顶点B ，C ，A 依次落在P 1，P 2，P 3处，此时AP 3按此规律继续旋转，直到得点P 2012，则AP 2012＝

l

第16题图

????

m

2n n 80

35

8

6

34

221

第12题图

2

31

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4(房山12).如图，在直角坐标系中，已知点A (－3，0)，B (0，4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④、…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36,0）

.

三. 函数图象相关问题

1.(西城 12)．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(1,0)和(1x ,0)，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <

；③a b >；④a c a 2-<<-．其中所有正确结论的序号是 ②④．

2.(东城8).（0，2），B （2，0），点C 在2y x =的图象上，若△ABC 的面积为2，则这样的C 点有 D

A ．1 个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3.(石景山12)．已知，在x 轴上有两点A （a ,0），B （b , 0）（其中b

垂线，交抛物线23x y =于点C ，点D ．直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ．若将点E ，点F 的纵坐标分别记为E y ,F y ，则E y = F y （用―>‖、 ―<‖ 或―=‖连接）．

4(海淀 12).

小聪用描点法画出了函数y =F ，如图所示.结合旋转

的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90?得到图象1F ，再将图象1

F 绕原点逆时针旋转90?得到图象2F ，如此继续下去，得到图象n F .在尝试的

过程中，他发现点P (4,2)--在图象2F （答案不唯一）上（写出一个正

确的即可）；若点P （a ，b ）在图象127F 上，则a

用含b 的代数式表示) .

四. 弧长、面积、线段长的计算

1(海淀8). 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y

轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于F .当点E 从点B 出

发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为(

B )

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A．

B

C

D

2(门头沟12)．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是

直角，点C在AD边上，BC

，把△ABC绕点A 按顺时针方向旋转n

度后恰好与△ADE重合，则n的值是45 ，点C

，

线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的面积是1

4

π．

3(通州10). 如图，⊙O的半径为3厘米，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA.

动点P从点A出发，以π厘米/秒的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为（D）秒时，BP与⊙O相切．A．1B．5 C．0.5或5.5 D．1或5 4(怀柔12).如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(秒) (0≤t＜3)，连结EF，当t值为_1或1.75或2.25_秒时，△BEF是直角三角形．

5(大兴12)．现有直径为2的半圆O和一块等腰直角三角板

（1）将三角板如图1放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边交圆于点Q，则BQ的长为

；

（2）将三角板如图2放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边的延长线交圆于Q，则BQ的

长为

.

图1

6. (朝阳12). 如图，抛物线y=

4

-

9

x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，

0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线

y=

4

-

9

x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为

25

12

2

π

-

五. 图形操作问题

F

E O

A

C

B 第10题图

E

D

C

B

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1（海淀23）. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题. 作法：

（1）在e 上任取一点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧交c 于点D ，交d 于点E ；

（2）以点A 为圆心，CE 长为半径画弧交AB 于点M ；

∴点M 为线段AB 的二等分点

.

图1

解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）

（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB 的三等分点；

图2

（2）点P 是∠AOB 内部一点，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，请找出一个满足下列条件的点

P . （可以利用图1中的等距平行线）

①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =

.

图3 图4

23. 解：（1）

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……………………2分

（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.） (2)① ②

……………………4分 ……………………7分 2(平谷22). 数学课上，老师要求小明同学作△A ’B ’C ’∽△ABC ，且''1

.2

B C BC =小明的作法是： （1） 作1

''2

B C BC =

； （2） 过点'B 作'B D ∥AB ，过点'C 作'C E ∥AC ，它们相交于点'A ； '''A B C ?就是满足条件的三角形（如图1）.

解答下列问题：

①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，'''A B C ?的周长为－－－－－－－－－－；

②已知四边形ABCD ，请你在图2的右侧作一个四边形''''A B C D ，使四边形''''A B C D ∽四边形ABCD ，且满足

''1

2

A B AB =(不写画法，保留作图痕迹). 解．（1）5………………….2分 （2）画图．…………..5分

3(怀柔22). 操作与实践：

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(1)在图①中，以线段m 为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点

上.（画出所有符合条件的菱形）（4分）

(2)在图②中，平移a 、b 、c 中的两条线段，使它们与线段n 构成以

n 为一边的等腰直角三角形.（画一个即可）（1分）

解:

注：(1)小题画对6个4分，5个3分，4个2分，

2个1分

4(燕山22)．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB

的顶点都在格点上，点A 、B 的坐标分别为（－4，4）、

（－6，2）．请按要求完成下列各题：

⑴ 把△AOB 向上平移4个单位后得到对应的△A 1OB 1，则点A 1、

B 1的坐标分别是 ；

⑵ 将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 2OB 2，

在旋转过程中线段AO 所扫过的面积为 ；

⑶ 点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△AOB 边上的5个格点，画一个三

角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且

与△AOB 相似．（要求：在图中联结相应线段，不用说明理由）

解:22．⑴ A 1(－4，8)、B 1(－6，6) ．

⑵ 如图： 线段AO 所扫过的面积为2)24(4

1??π=8π． ⑶ 如图． 5(西城21）．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点A 在y 轴的正半轴上，

△ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转α角，得到△A B C '''，点A '、B '、C '分别为点A 、B 、C 的对应点．

（1）当α=60°时，

①请在图1中画出△A B C '''；

②若AB 分别与C A ''、B A ''交于点D 、E ，则DE 的长为_______；

22题图① 22题图②

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（2）如图2，当C A ''⊥AB 时，B A ''分别与AB 、BC 交于点F 、G ，则点A '的坐标为_______，

△FBG 的周长为_______，△ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为_______．

21．解：（1）①如图7所示. ……………………………………1分

②DE 的长为 2 ； ………………………………2分 （2）点A '

的坐标为(，△FBG 的周长为 6 ，

△ABC 与△A B C '''

重叠部分的面积为27-．

…………………………………5分

6(石景山)20．已知：△ABC 中，102=AB ，4=AC ，26=BC

（1）如图1，点M 为AC

的中点，在线段BC 上取点N ，使△CMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长； （2）如图2,，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三

角形为格点三角形，试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并在图2中画出其中的一个（不需证明）．

图1 图2

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1

11N 20.解：

(1)如图：

①当N 为BC 中点，AB MN //

此时△CMN ∽△CAB ,

有21==AB MN CA CM ∵102=AB

∴10=MN ； ………2分

②当△1CMN ∽△CBA 时，有B CMN ∠=∠1

∴AB

MN BC CM 1=， 又 26=BC

∴3

52=MN .………4分 ∴MN 的长为10或3

52 （2）8个，如图（答案不唯一）. ………5分

7(大兴) 22. 操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。

图①

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，

∠BAE ＝∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F . 试探究线段AB 与AF 、

CF 之间的等量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE 、BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且

BE ：EC ＝1：2，∠BAE ＝∠EDF ，CF ∥AB 。若AB ＝5，CF ＝1

，求

DF 的长度。

P N M Q O

西城区教育研修学院·初三数学研修活动 2013.3.7 22. 解：

（1）画图：……………1分

（2

）结论：AB=AF+CF . …………2分 证明：分别延长AE 、DF 交于点M ，

∵E 为BC 的中点，

∴BE =CE .

∵AB ∥CD ，

∴∠BAE

=∠M .

在△ABE 与△MCE 中，

∠

BAE =∠

M

∠AEB =∠MEC

BE =CE ，

∴△ABE ≌△MCE .

∴AB =MC .

又∵∠BAE =∠EAF ，

∴∠M =∠EAF .

∴MF =AF .

又∵MC =MF +CF ，

∴AB =AF +CF . …………………………3分

（3）分别延长DE 、CF 交于点G ，…………4分 ∵AB ∥CF ，

∴∠B =∠C ，∠BAE =∠G .

∴△ABE ∽△GCE .

∴A B

B E

G C E C = .

又∵1

2B E E C =，

∴1

2A B G C =.

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∵AB =5， ∴GC =10 . ∵FC =1， ∴GF =9 . ∵AB ∥CF ， ∴∠BAE =∠G . 又∵∠BAE =∠EDF ， ∴∠G =∠EDF . ∴GF =DF .

∴DF =9 . …………………5分

8(通州21).如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接等边三角形ABC .黄皓、李明两位同学的作法分别是： 黄皓：1. 作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点，

2. 连结AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形.

李明：1. 以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点， 2. 连结AB ，BC ，CA ，△ABC 即为所求的三角形.

已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，并证明△ABC 是等边三角形.

21. 解：我选择黄皓的作法.

如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结OB 、OC .

∵AD 为⊙O 的直径，BC 是半径OD 的垂直平分线，

∴?

?AB AC =，??BD CD =， 11

22

OE OD OC ==， ……………… 3分；

∴AB AC =. ……………… 4分； 在Rt △OEC 中， ∴ cos 1

2

OE EOC OC ∠=

=， ∴60EOC ∠=o

， ……………… 5分； ∴120BOC ∠=o

. ∴60BAC ∠=o .

∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分.

第21题图

第21题图

第21题图

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我选择李明的作法.

如图画图正确. ……………… 2分；

证明：连结DB 、DC .

由作图可知：

DB =DO =DC ，

在⊙O 中，

∴OB =OD =OC ，

∴△OBD 和△OCD 都是等边三角形， ……… 3分；

∴60ODB ODC ∠=∠=o

， ……… 4分； ∵?

?AB AB =，??AC AC =， ∴60ODB ACB ∠=∠=o

， 60ABC ODC ∠=∠=o ， ……………… 5分；

∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分.

六.阅读理解问题

1.（西城 22）．阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．

他的解答过程如下：

∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，

∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等．

∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；

若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+．

请你参考小明的思路，解答下列问题：

（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y

（2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；

（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则的值为_______．

22．解：（1）当24x -≤≤时，二次函数1422++=x x y 的最大值为 49 ； …… 1分

（2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1-=x ，

∴由对称性可知，当4-=x 和2=x 时函数值相等.

∴若4p ≤-，则当p x =时，y 的最大值为1422++p p . ................. 2分

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若42p -<≤，则当2=x 时，y 的最大值为17. .............................. 3分 （3）t 的值为 1或5- . ....................................................................................... 5分 阅卷说明：只写1或只写5-得1分；有错解得0分. 2（昌平22）. 阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且PA =3 ，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数.

小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C '，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：图1中∠APB 的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =PB =1，PD 则∠APB 的度数等于 ，正方形的边长为 ；

（2）如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =2，PB =1，PF 则∠APB 的度数等于 ，正六边形的边长为 ．

22．解：150? . …… 1分 （1）135°. …… 3分 （2）120° …… 5分

七. 圆中的计算与证明

1 (朝阳21).如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF =BF . （1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若4

2（通州18）.如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆经过A ，C 两点，交AB 于点D ， 已知2∠A +∠B =90 ．

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；

（2）若OA =6，BC =8，求BD 的长．

（1）证明：连结OC . ………… 1分；

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∵??CD

CD =， ∴2COD A ∠=∠，

∵290A B ∠+∠=o ，

∴90COD B ∠+∠=o . ……………… 2分；

在△OCB 中，

∴90OCB ∠=o ，

∴BC 是⊙O 的切线 . ……………… 3分；

（2）解： 在⊙O 中，

∴OC =OA =OD =6， ……………… 4分； ∵90OCB ∠=o ，

∴222OB OC BC =+.

∴10OB =. ……………… 5分； ∴1064BD OB OD =-=-=. ……………… 6分.

3(燕山23)．如图，AB 是⊙O 的直径，直线AD 与⊙O 相切于点A ，

点C 在⊙O 上，∠DAC ＝∠ACD ，直线DC 与AB 的延长

线交于点E ．AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ．

⑴ 求证：DE 是⊙O 的切线；

⑵ 已知⊙O 的半径是6cm ，EC ＝8cm ， 求GF 的长．

23．⑴ 证明：联结OC ．

∵AD 是⊙O 的切线，∴∠OAD =90°，

∴∠OAC +∠DAC =90°．

∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ．

∵∠DAC =∠ACD ，

∴∠OCA+∠ACD =90°，即∠OCD =90°，

∴AD 是⊙O 的切线．

⑵ 联结BG ，

∵OC =6cm ，EC =8cm ，

∴在Rt △CEO 中，OE =OC 2+EC 2=10 cm ．

第23题

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图 8

C ∴AE =OE +OA =16 cm ．

∵AF ⊥ED ，

∴∠AFE =∠OCE =90°，∠E =∠E ．

∴Rt △AEF ∽Rt △OEC ．

∴

OC AF ＝OE

AE ， ∴AF =OE OC AE ?=10616?=9.6 cm ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AGB =90°，

∴BG ∥EF ，

∴

AF AG ＝AE

AB ， ∴AG =AE AF AB ?=166.912?=7.2 cm ， ∴GF =AF －AG =9.6－7.2=2.4cm ．

4(平谷23). 如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．

（1）求证：BD 是⊙O 的切线．

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝3

2，求△ACF 的面积． 23．（1）证明：连接BO ……………….1分

∵ AB ＝AD ＝AO ，

∴ △ODB 是直角三角形． ∴ ∠OBD ＝90° ………………………………………………………..2分

∴ BD 是⊙O 的切线．……………………….…………………………...3分

（2）解：∵ ∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ，

∴ △ACF ∽△BEF ． ……………4分

∵ AC 是⊙O 的直径，

∴ ∠ABC ＝90°．…………………5分

在Rt △BFA 中，∵ cos ∠BFA ＝32=AF BF ， ∴9

42=??? ??=??AF BF

S S ACF BEF ．………………………........................6分

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又∵ BEF S ?＝8，

∴ ACF S ?＝18 ． …………………………………………………7分

5(顺义22)．如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，以AC 为直径的O 与BC 交于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ． （1）求证：DE 是O 的切线；

（2）若O 的半径为2，1BE =，求cos A 的值． 22．（1）证明：连接AD 、OD ． ∵AC 是直径，

∴AD BC ⊥．－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分 ∵AB AC =， ∴D 是BC 的中点． 又∵O 是AC 的中点，

∴OD AB ∥．-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分 ∵DE AB ⊥， ∴OD DE ⊥．

∴DE 是O 的切线．-－－－－－－－－－－－－3分 （2）由（1）知OD AE ∥，

∴

FO OD

FA AE =

， -－－－－－－－－－－－－－－－－－4分 ∴FC OC OD FC AC AB BE +=

+-， ∴22441

FC FC +=+-． 解得2FC =． ∴6AF = ∴411

cos 62

AE AB BE A AF AF --=

===．－－－－－－－－－－5分 6(顺义24)．（7分）如图，O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交AB 于E ，交O 于D ．求弦AD CD ，的长及CE

DE

的值． 24. 解：连结BD

B

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AB 是直径，90ACB ∴∠= ．

在Rt ABC △

中，8BC ===（cm ）．－－－－－－－－－－－－1分 CD 平分ACB ∠，

AD BD

∴=，AD BD =．--－2分 在Rt ABD △中，

2

AD BD AB ==

=cm ）．-－－－－－－－－－－－3分 方法一 过A 作AM CD ⊥于M

在Rt ACM △

中，cos 4562

AM CM AC ==??=?=－－－－－－－－－－－4分 在Rt ADM △中

，DM ==5分

∴CD CM DM =+=cm ） --－6分

∵45EAD ACD ∠=∠=? ，ADE CDA ∠=∠

∴ADE ?∽CDA ? ∴AD DE CD AD

=

∴227AD DE CD ===

∴7

CE CD DE =-= ∴

2425

CE DE = --－－7分 方法二 过E 作EF AC ⊥于F ，EG BC ⊥于G ，F G ，是垂足，则四边形CFEG 是正方形．

设EF EG x ==，由三角形的面积公式，得111222

AC x BC x AC BC += ， 即1116868222x x ?+?=?? ，解得247

x =．

7

CE ∴==． --－－－－－－－－－4分

B

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由ADE CBE △∽△，得

DE AE AD BE CE BC ==

，即8

DE BE ==

， 解得307AE =

，3040

1077

BE AB AE =-=-=，

∴7

DE =

． --－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分

∴CD CE DE =+=

=cm ）．－－－－－－－－－－－6分

24

25

CE DE =

-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－7分 7（西城 20）．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线

与AB 的延长线交于点P ，∠COB =2∠PCB .

（1）求证：PC 是⊙O 的切线；

（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若MN · MC =8，求⊙O 的直径. （1）证明：∵OA =OC ， ∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO .

又∵∠COB =2∠PCB ，

∴∠ACO =∠PCB . ......................................................................................... 1分

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACO +∠OCB =90° .

∴∠PCB +∠OCB =90°， 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，

∴PC 是⊙O 的切线. ………………………2分

（2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点，

∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，

∴△AMC ∽△NMA . …………………………3分

∴

AM MC

NM MA

=

. ∴2AM MC MN =?.

∵MC MN ?=8，

∴AM = ....................................................................................................... 4分

图

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nzoq.html