高一上期末总复习

高一上期末复习

一天，有两个台湾人，和两个美国人坐火车旅行，美国人买了两张票，而台湾人却只 买一张票，美国人觉的很讷闷，于是就等著看台湾人怎么做。

过了没多久，列车长来查票，美国人就看著台湾人一起跑进厕所，列车长来敲门，他 们就递出一张票给列车长剪票。美国人想，这?这真是高招啊呀！！

回程时，美国人有样学样，只买了一张票，可是却看那两个台湾人这次连票都不买， 两个美国人更是丈二金刚摸不著头脑，就想再看看两个台湾人还有何高招。 过了没多久，列车长又来查票，这时美国人就赶快躲到厕所去，等列车长来剪票，其 中一个台湾人，就起身到美国人的藏身处，敲了敲门，门中递出一张车票，他就把车 票拿走了??

复习指南

1． 注重基础和通性通法

在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。

2.注重思维的严谨性

平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。

另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！

希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” ：

1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养

注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合

建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！

莫妒他长，妒长，则己终是短。莫护己短，护短，则己终不长 戴氏教育集团

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所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！

5.注重平时的听课效率

听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。

想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。

在这里我再一次强调听课要做到“五得”

? 听得懂 ? 想得通 ? 记得住 ? 说得出 ? 用得上 6. 注重思想方法的学习

学习数学重再学习数学思想方法，它是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，也是历年来高考数学命题的特点之一。不少学者认为：

“传授知识”是数学的一种境界，加上“能力培养”是稍高的境界，再加上“方法渗透”是较高的境界，而再加上“提高修养（指数学文化和非智力引力的介入）”则是最高境界。作为学生一定要深刻理解数学的思想方法，它是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能体现数学的学科特点，才能形成数学素养。即使在以后我们走上社会，在工作岗位上我们的这种数学素养就会内化为自身的较深的修养，从而使得自己的气质得以升华，它对于我们今后的做人和处事有很大的指导意义，再加上我们的人文素养就可以造就自己哲学修养。

高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ ? } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,

印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c??}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内

表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn图:

4、集合的分类：

莫妒他长，妒长，则己终是短。莫护己短，护短，则己终不长 戴氏教育集团

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(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合

2

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝ 二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同

一集合。

?B或反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A??A B?2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

2

实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记

作AB(或BA)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

? 有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集 三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 类型 定 由所有属于A且属义 于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A?B（读作‘A交B’），即A?B=｛x|x?A，且x?B｝． 韦 恩 图 示 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A?B（读作‘A并B’），即A?B ={x|x?A，或x?B})． 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作CSA，即 CSA={x|x?S,且x?A} S (CuA) ? (CuB) = Cu (A?B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A?B) A? (CuA)=U A? (CuA)= Φ． 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

莫妒他长，妒长，则己终是短。莫护己短，护短，则己终不长 戴氏教育集团

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ABABA 图1 图2性 A?A=A A?Φ=Φ A?B=B?A A?B?A A?B?B 质 A?A=A A?Φ=A A?B=B?A A?B?Ａ A?B?B

2.集合{a，b，c }的真子集共有 个

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,x?R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 . 4.设集合A=?x1?x?2?，B=?xx?a?，若A?B，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2

-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2

-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值 二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

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（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示． 5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

①任取x1，x2∈D，且x1

③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤ 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数

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? 基本三角函数符号记1??弧度“一全，二正弦，三切，四? 忆：112180S?l r? ? r余弦” 221801 弧度?度 ??180?? 弧度l?? r360度?2? 弧度?.tan?cot??1?倒数关系：Sin?Csc??1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1

Cos?Sec??1

tan2??1?Sec2?平方关系：Sin2??Cos?2三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 ?1 边对应的三角函数的平方 1?Cot2??Csc2?乘积关系：Sin??tan?Cos? ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin???2k???Sin? , k?z

Cos???2k???Cos? , k?ztan???2k???tan? , k?z? 角?与角??关于x轴对称

Sin??????Sin?Cos?????Cos?tan??????tan?

? 角???与角?关于y轴对称

Sin??????Sin?Cos???????Cos?tan???????tan?

? 角???与角?关于原点对称

Sin???????Sin?Cos???????Cos?tan??????tan?

?角?2??与角?关于y?x对称??Sin????Cos?Sin??Costan?2Cot?SecCsc ? ??????Cos?????Sin?Cos??????Sin??2??2???????tan?????cot?tan??????cot??2??2????Sin?????Cos??2?上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

Ⅳ 周期问题

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y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?2???

y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?2??

y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T???y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T???y?ASin??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b ?0 , T?2??y?ACos??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b?0 , T?2??y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T????

y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , T???

y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T???y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??? Ⅴ 三角函数的性质 性 质 y?Sin x y?Cos x 定义域 R R 值 域 ??1,1? ??1,1? 周期性 2? 2? 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 ??????2k???,2k??,k?z,增函数?2k??2,2k??2??,k?z,增函数?2k?,2k????,k?z,减函数 ???2k???2,2k??3??2??,k?z,减函数 对称中心 ?k?,0?,k?z ???k???2,0???,k?z 对称轴 x?k???2,k?z x?k?,k?z 5图 43 y2 1像 x-8-2π -6-3π /2-4-π -2-π /2Oπ /22π 43π /262π 8-1-2-3-4-5莫妒他长，妒长，则己终是短。莫护己短，护短，则己终不长 戴氏教育集团 12

5 y4321-π /2-83π /2O-1x6-2π -6-3π /2-4-π -2π /22π 42π 8-2-3-4-5-6 性 质 定义域 y?tan x y?cot x ????xx????,??z? 2??R ?xx???,??z? R 值 域 周期性 奇偶性 单调性 ? 奇函数 ? 奇函数 ?????k??,k???,k?z,增函数 22???k?,k????,k?z,增函数 ???,0?,k?z ?k??2??对称中心 对称轴 图 像 ?k?,0?,k?z 无 108无 y642x-15-10-5-3π /2-π -π /2Oπ /2π 3π /251015-2-4-6-8-10 ? 怎样由y?Sinx变化为y?ASin??x????k ？

振幅变化：y?Sinx y?ASinx 左右伸缩变化：

y?ASin?x 左右平移变化 y?ASin(?x??) 上下平移变化 y?ASin(?x??)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 a,a?0,b,如果有

??一个实数?,使得b??a,a?0,则b与a是共线向量；反之如果b与a是共线向量那么又且只有一个实数?,使得b??a.

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??

Ⅶ 向量的一个定理的类似推广

向量共线定理： b??a ?a?0? ?推广

平面向量基本定理： a??e ??e , ??其中e1,e2为该平面内的两个? 1122???不共线的向量?? ?推广

a??1e1 ??2e2 ??3e3, 空间向量基本定理： ?其中e?

??1,e2,e3为该空间内的三个??不共面的向量??Ⅷ一般地，设向量a??x1,y1?,b??x2,y2?且a?0,如果a∥b那么x1y2?x2y1?0 反过来，如果x1y2?x2y1?0,则a∥b.

Ⅸ一般地，对于两个非零向量a,b 有 a?b?abCos?，其中θ为两向量的夹角。Cos??a?bx1x2?y1y2ab?x21?y222

1x2?y2特别的，a?a?a2?a2 或者 a?a?a

Ⅹ

如果 a??x1,y1? , b??x2,y2? 且a?0 , 则a?b?x1x2?y1y2

特别的 , a?b?x1x2?y1y2?0 若正n边形A1A2???An的中心为O , 则OA1?OA2?????OAn?0 三角形中的三角问题

? A?B?C?? , A?B?C2??2 , A?B2??2 -C 2 Sin?A?B??Sin?C? Cos?A?B???Cos?C? Sin??A?B??C??2???Cos??2??

Cos??A?B??2???Sin??C??2??? 正弦定理：

abca?SinA?SinB?SinC?2R?b?cSinA?SinB?SinC 2余弦定理：

a2?b2?c2?2bcCosA , b?a2?c2?2acCosB c2?a2

?b2?2abCosC 莫妒他长，妒长，则己终是短。莫护己短，护短，则己终不长 戴氏教育集团

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b2?c2?a2a2?c2?b2CosA ? , CosB ? 2bc2ac 变形： 222a?b?c CosC ? 2ab? tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

3. 柯西不等式(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.

??????????????????????????????????????????????

补充

1．常见三角不等式：（1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?22. sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);

)，则1?sinx?cosx?2. (3) |sinx|?|cosx|?1.

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan?? ).

a3. 三倍角公式 ：sin3??3sin??4sin??4sin?sin(3???)sin(??). 33?cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).33??3tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??).

1?3tan2?334.三角形面积定理：（1）S?111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边222上的高）.

（2）S?111absinC?bcsinA?casinB. 222????????2????????21(|OA|?|OB|)?(OA?OB). (3)S?OAB?2C?A?B???2C?2??2(A?B). 222k??5.三角形内角和定理 在△ABC中，有

A?B?C???C???(A?B)??26. 正弦型函数y?Asin(?x??)的对称轴为x????(k?Z)；对称中心

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为(k???,0)(k?Z)；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心； ?〈三〉易错点提示： 1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、

余弦函数的有界性了吗？ 2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（

这些统称为1的代换) 常数 “1”

的种种代换有着广泛的应用．

3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）

4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(

)

莫妒他长，妒长，则己终是短。莫护己短，护短，则己终不长 戴氏教育集团 16

为(k???,0)(k?Z)；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心； ?〈三〉易错点提示： 1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、

余弦函数的有界性了吗？ 2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（

这些统称为1的代换) 常数 “1”

的种种代换有着广泛的应用．

3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）

4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(

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