经济数学微积分 第二版第四章 第四节 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用

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第四节 函数的最大值和最小值 及其在经济中的应用一、函数的最大值与最小值二、经济应用问题举例

三、小结

思考题

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一、函数的最大值与最小值经济问题中，经常有这样的问题，怎样才 能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最 低”、“效益最高”等等.这样的问题在数学中 有时可归结为求某一函数(称为目标函数)的最 大值或最小值问题. 根据自变量的取值范围，分以下两种情况 讨论.

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1.目标函数在闭区间连续由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理 知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法 步骤如下：第一步，求出有可能取得最值的点，包括 使 f ( x ) 0和 f ( x ) 不存在的点，及区间端点.

第二步，计算所求出的各点的函数值，比 较其大小，选出最大值和最小值.

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2.目标函数在开区间连续开区间的连续函数不一定有最大、最小值. 即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求 出.若函数满足下列两个条件：

(1) f ( x ) 在开区间有且仅有最大(小)值；

(2) f ( x ) 在开区间只有一个可能取得极值的点；则可以断定这个极值点一定是函数的最大 (小)值点.

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二、经济应用问题举例1. 最大利润问题

在经济学中，总收入和 总成本都可以表 示为产量 Q的函数，分别记为 R(Q )和C (Q ), 则总利润 L(Q )可表示为 L(Q ) R(Q ) C (Q )为 使 总 利 润 最 大 ， 须其 令一 阶 导 数 等 于 dL(Q ) d R(Q ) C (Q ) 零，即 0 dQ dQ

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dR(Q ) dC (Q ) dQ dQ dR(Q ) dC (Q ) 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dQ

显然，为使总利润达到最大，还应有d 2 R(Q ) C (Q ) 0, ( R (Q ) C (Q ) 0) 2 dQ d 2 ( R(Q )) d 2 C (Q ) 即 , ( R (Q ) C (Q )) 2 2 dQ dQ

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例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C ( X ) 5 X 200 (万 元),得到的收入为 R( X ) 10 X 0.01 X 2 (万元),问每批生 产多少台，才能使利润最大？

设利润为L( X ), 则 解：L( X ) R( X ) C ( X ) 5 X 0.01 X 2 200

L ( X ) 5 0.02 X

令L ( X ) 0,解得X 250(台),由于L ( X ) 0.02 0所以L(250) 425(万元)为极大值，也就是最大 值.

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2 例 2 设某厂的成本函数为 C (Q) aQ bQ c ,需求函数为 Q (d P ) / e ,其中 C (Q ) 为成本， Q 为需求量产量， P 为价

格，a,b,c,d,e 均为正常数，且 d>b,求利润最大时的产量 及最大利润.

由Q (d p) / e, 得P d eQ, 故得收益函数 解：R(Q) Q P Q(d eQ)

利润函数为L(Q ) R(Q ) C (Q ) (d b)Q (e a )Q 2 c

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L (Q ) (d b) 2(e a )Q

由L (Q) 0, 得唯一驻点 Q0

(d b) / 2(e a ) 又L 2(e a ) 0, 故 Q Q0 (d b) / 2(e a ) 时利润最大 , 最大值为 L(Q0 ) L (a b) / 2(e a ) (d b) / 4(e a ) c2

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例 3 假设某种商品的需求量 Q 是单价 P (单位:元)的函数： Q 12000 80P ; 商 品 的 总 成 本 C 是 需 求 量 的 函 数 ： C 25000 50Q ,每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利 润最大的商品价格和最大利润.

解 L (12000 80 P )( P 2) ( 25000 50Q )

80 P 2 16160 P 649000 L ( P ) 160 P 16160 令L ( P ) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L (101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为

L(101) 167080 (元)

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2. 最大收益问题

例 4 某商品的需求函数为Q Q ( P ) 75 P 2 , 问 P 为多少时，总收益最大？2 解： R( P ) QP (75 P ) P

R ( P ) 75 3 P 2

令R ( P ) 0, 得P 5(唯一驻点)R ( P ) P 5 30 0, 故P 5时收益最大 .

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例 5 设某商品的单价为 P 时， 售出的商品数量 Q 可表示为Q a c ,其中 P b

a,b,c 均为正数，且 a>bc.

(1) 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ (2) 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？

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a c ) 解 (1)销售额 R( P ) PQ P ( P b c ( P b) 2 ab R ( P ) 2 ( P b) ab b 令R ( P0 ) 0, 得P0 b ( a bc ) c c 由题设 a bc, P 0,

b 故 当0 P ( a bc )时 c 有R 0,相 应 的 销 售 额 将 随 单P 价 的增加而增加 .

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b 当P ( a bc )时, c相应的销售额将随单价 P的增加而减少 .

(2)由(1)可知P0是销售额的极大值点， 又是唯一驻 点，所以 R在P0处取得最大值，最大销 售额为

ab ab R( P0 ) b a / c c c ( a bc ) 2

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例 6 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知 该商品的需求函数为 P P( x ) 10e , 且最大 需求量为 6,其中 x 表示需求量，P 为价格： (1)求该商品的收益函数和边际收益函数； (2)求使收益最大时的产量， 最大收益和相应 的价格； (3)画出收益函数的图形。 x 2

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解 (1) R( x ) P x 10x e

x 2

(0 x 6), x 2

边际收益函数为 R ( x ) 5( 2 x )e ;

( 2)令R ( x ) 0, 得唯一驻点x 2, 又 R ( x ) x 2 5e x 2

( x 4) / 2 x 2x 2 x 2

5e 0

1

故x 2为最大值点，最大收益为R( 2) 10e 1

相应的价格为：P 10e

10e 1

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( 3)把x 2, x 4( R ( x ) 0)的点插入[0,6]内， 列表如下：x (0,2) + 2 0 极大值 (2,4) 4 0 拐 点 (4,6) +

R ( x ) R ( x )R( x )

20e

1

(4,40e 2 )

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其图形如下

: R

20e 1 40e 2 60e 30 2 4 6 x

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例 7 已知某厂生产 x 件产品的成本为x2 , C ( x ) 25000 200 x 40

问要使平均成本最小，应生产多少产品？如果每件产品 以 500 元售出，要使利润最大，应生产多少产品？

解：

C ( x ) 25000 x C ( x) 200 x x 40 25000 1 C ( x ) 2 40 x

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