2017-2018学年高中数学苏教版必修5学案：3.1 不等关系 Word版含解析正式版

3.1 不等关系

1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．

2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点) 3．会比较数(或式)的大小．(难点)

[基础·初探]

教材整理 不等关系

阅读教材P73～P74，完成下列问题．

在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．

1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000 Hz，用不等式表示为________．

【解析】 “不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于2 000 Hz”即“≤2 000 Hz”．

【答案】 80 Hz≤x≤2 000 Hz

2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不高于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．

?f≤2.5%，

【答案】 ?

?p≥2.3%

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________

[小组合作型]

用不等式表示不等关 系 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，

若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

【精彩点拨】 总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．

??x－2.5

【自主解答】 设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为?8－×0.2?

0.1??x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式??x－2.5

?8－?x≥20.

0.1×0.2??

用不等式表示不等关系的注意事项

1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大

小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．

2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．

[再练一题]

1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．

【解析】 该两位数为10b＋a，由题意可知10b＋a>50. 【答案】 10b＋a>50

用不等式组表示不等关 系 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡

车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．

【精彩点拨】

【自主解答】 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，

?

?10×6x＋6×8y≥360，则?0≤x≤4，x∈N，??0≤y≤7，y∈N，

x＋y≤9，

?

?5x＋4y≥30，即?0≤x≤4，x∈N，??0≤y≤7，y∈N.

x＋y≤9，

用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：

(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．

(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意． (3)要将所有不等关系都表示为不等式．

[再练一题]

2．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，写出L与W的关系．

图3-1-1

【解】 由题意，得

??L>4W，?L>0，??W>0.

?L＋10??W＋10?＝350，

[探究共研型]

实数大小的比 较 探究1 如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，a

【提示】 若a>b，则a－b>0，反之也成立； 若a＝b，则a－b＝0，反之也成立； 若a

探究2 若a>b，则b>1吗？反之呢？

aa

【提示】 若a>b，当b<0时，b<1，即a>bD?\\b>1； a－baa

若b>1，则b－1>0，即b>0， ∴a－b>0，b>0或a－b<0，b<0， a

即b>1D?\\a>b，反之也不成立．

已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

x<1

【精彩点拨】 作差―→因式分解――→判号―→下结论 【自主解答】 x3－1－(2x2－2x) ＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ??1?23?x－?＋?， ＝(x－1)??

??2?4?∵x<1，∴x－1<0， ?1?3

又∵?x－2?2＋4>0，

????1?23?

x－?＋?<0， ∴(x－1)??

??2?4?∴x3－1<2x2－2x.

1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．

(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．

2．作商法比较大小的步骤及适用范围

(1)作商法比较大小的三个步骤： ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．

(2)作商法比较大小的适用范围： ①要比较的两个数同号；

②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．

[再练一题]

3．若m>2，比较mm与2m的大小． mm?m?m

【解】 ∵2m＝?2?，

??m

又m>2，∴2>1， ?m?m?m?0

∴?2?>?2?＝1， ????∴mm>2m.

[构建·体系]

1．用不等式表示a与b的平方和是非负数，应为________．

【解析】 a与b的平方和应表示为a2＋b2，非负数即≥0，故a2＋b2≥0. 【答案】 a2＋b2≥0

2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一

车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为________．

??v≤120，

【解析】 由题意可知v≤120，d≥10，即?

??d≥10.?v≤120，

【答案】 ?

?d≥10

3．b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.

【导学号：91730050】

【解析】 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． a＋ma

【答案】 >

b＋mb

4．已知m＝x2＋2x，n＝3x－2，则m与n的大小关系是________． ?1?27?1?2x－??【解析】 ∵m－n＝x－x＋2＝＋，又?x－2?≥0， ?2?4??

2

∴m－n>0，∴m>n. 【答案】 m>n

5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？

60x＋70y≤500，??

设软件数为x，磁盘数为y，由题意得?x≥3且x∈N，

??y≥2且y∈N.

我还有这些不足：

(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________

【解】

我的课下提升方案：

(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________

学业分层测评(十四)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.

【答案】 ab a≥b

2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为________.

【导学号：91730051】

【解析】 “限重”即不超过的意思，即T≤40. 【答案】 T≤40

3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是________．

【解析】 “不低于”即≥，“高于”即>， “超过”即“>”， ∴x≥95，y>380，z>45.

【答案】

?x≥95，?y>380，?z>45

4．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦

工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．

【答案】

?50x＋*40y≤2 000，?x∈N，?y∈N*

5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”

设身高为h(米)，请用不等式表示下表中的不等关系 文字表述 符号表示 身高在1.2～1.5米之间 身高超过1.5米 身高不足1.2米 【解析】 身高在1.2～1.5米之间可表示为1.2≤h≤1.5， 身高超过1.5米可表示为h>1.5， 身高不足1.2米可表示为h<1.2. 【答案】 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2

a16．若a∈R，则与的大小关系是________．

1＋a22

22

a12a－1－a－?a－1?a1

【解析】 ∵－＝＝≤0，∴≤. 2222221＋a2?1＋a?2?1＋a?1＋a

a1【答案】 ≤

1＋a22

7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．

【解析】 如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那

么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为

8xx－12

，因此，不等关系“它原来行

8x

>9来表示． x－12

驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式

8x

>9 x－12

【答案】 8(x＋19)>2 200

8．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．

【解析】 ∵A＝n－

n－1＝

n＋

B＝n＋1－n＝

1n＋1＋n

，

1n－1

，

∵0B.

n－1

【答案】 A>B 二、解答题

9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．

【解】 假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，根据题意需用不等式组来表示，则有

??3x≥y，?x∈N，??y∈N，

**

500x＋600y≤4 000，

?

?3x≥y，即?x∈N，??y∈N.

**

5x＋6y≤40，

10．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 【解】 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)