电动力学复习(略)

电动力学

总结(理论和概念的线索)经典电动力学(Classical Electrodynamics):在宏观尺度上研究电磁场的运动规律，电磁场与带电体之间相互作用的规律。一、电磁现象的基本规律 1、基本方程 Maxwell方程组的一般形式电荷守恒 Lorentz力公式 2、介质的电磁特性(介质的极化、磁化特性) (1)线性、各向同性电介质、磁介质介质的极化、磁化矢量分别与 E,B(或H)成正比1

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引入辅助量 D, H (目的是使介质中的Maxwell方程只与自由电荷、自由电流有关)后有 D=ε E, B= H. (2)对非均匀、各向同性介质，以上线性关系不成立。 (3)当ε为复数时，介质中的电磁波会有衰减，当ε与电磁波频率有关时，会发生色散。 (4)导体对良导体而言，即使对于变化的电磁场也 a自由电荷电流只能存在其表面 b内部电磁场为 0 c外部电场垂直其表面 d磁感应线与导体表面平实验定律 j=σE.2

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与 1结合得到介质中的 Maxwell方程组

微分形式积分形式

把积分形式的麦氏方程在介质交界面两侧的特殊区域中作积分，就得到边界条件。边界条件对求解麦氏方程是必不可少的。 3、电磁场的能量和动量能量密度、能量流密度(反映能量随电磁波的流动) (动量密度、动量流密度←不要求)3

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二、静电学 1、电场的势 (1)它的物理意义 (2)它是第五章电磁场的标势的特例 (3)它所满足的边条件 (4)由泊松方程求解静电场 2、多极展开 a任意分布的电荷体系在远处的势通过 Taylor展开 0极、偶极、4极矩......的势 b小线度电荷体系在外电场中的能量过 Taylor展开 0极、偶极、4极矩...…在外电场的能量电偶极子在外电场中受到的作用力和力矩4

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多极展开的方法使人们可以不探究分子，原子等的电荷分布的细节，而用其总电量，偶极矩，四极矩等少数几个参量来等效地确定它的电场。并使我们根据观测到的电多极矩，对它们的电荷分布的形状作出一定推测。 3、唯一性定理没有导体情形有导体情形该定理的功能是指出在什么样的条件下，静电场能被唯一确定，从而为解决问题时(如镜像法)提供依据。该定理中并没有要求知道所考虑区域外的电荷分布，这实际上是指出：有限区域外的电荷分布是通过边条件来影响所考虑的区域内的静电场的。5

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4、分离变量解边值问题适用于 2= 0类型的电势方程把解表示为方程特解迭加的，利用迭加系数的选取来满足边条件 r= 0和∞的自然边条件介质交界面上的边条件 5、镜像法在所考虑的区域外(为什么是外?)放置设想的镜像电荷，以使原有问题的边条件能够被满足，这样就可以用电电荷的库仑势直接写出所考虑的区域内的静电势。6

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三、静磁

学

(恒定电流 i j= 0的磁场)它是第五章电磁场的矢量势的特例

1、磁场的矢势 2、磁多极展开 a任意分布的电流体系在远处的矢势通过 Taylor展开偶极、4极矩......的矢势 b小线度电流体系在外磁场中的能量过 Taylor展开偶极、4极矩...…在外磁场中的能量磁偶极子在外磁场中受到的作用力和力矩7

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3、磁标势引入磁标势用意可借用求解静电场标量势的现成的方法，求解磁场。比用矢量势求解更方便。引入磁标势的条件：所考虑的区域无自由电流，且使 H闭路积分为 0与电势的对应关系(教案 38-39页)利用上述对应关系，用静电学的方法求解磁标势，从而求出静磁场。

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四、电磁波的传播 1、波动方程在真空或没有自由电荷的均匀介质中的电场和磁场都满足 2E 2Eε 2= 0,t

它有平面波特解

E= E0ei ( k irωt ), (是时谐电磁波的一种)

它的重要性在于，波动方程的任意解都可以表为平面波的叠加。 2、平面波的描述和性质线偏振频率，波矢量，相位，振幅，偏振状态圆偏振

性质:横波， E, B, k三者相互⊥构成右手系……9

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3、电磁波在界面上的性质电磁场在介质界面上的条件反射、折射定律；Fresnel公式；全反射。 4、金属中的电磁波

得到金属中的电磁波解，其中，k成为复数矢量。复数的ε, k意味着波动方程的解是有衰减的电磁波。趋肤效应和穿透深度。δ= 2/(ωσ ).10

σ用绝缘介质中的结果，令εε+ i,ω

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5、在受限的空间(波导管)的电磁波的传播利用理想导体的边界条件(见 2页)以及 E/n|边界= 0求解波动方程(或亥姆霍兹方程)。由于波导管内的解

E(r, t )=Ε0 ( x, y )ei ( k z zωt ),

不是平面电磁波，所以电场和磁场不一定是横波。在传播方向 z的变化是行波形式，它随坐标 x和 y的变化都是驻波形式。(基本的波形模式 TE,TM)能在波导中长途传播而无衰减的条件，对频率ω的下限(以及波长的上限)有了限制——截止频率。波导管中，电磁波的模式，截止频率和波长。11

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五、电磁波的激发 1、矢势和标势 iB= 0,× E= B/ t,根据引入电磁场的矢势和标势。 B=× A, E= A/ t.洛伦兹规范规范变换(不改变 E, B)库仑规范引入势的好处是麦氏方程组有两个方程已被自动满足。而且矢、标势构成四维矢量(E, B无此简单张量特性)。——在洛伦兹规范下，势满足的方程可以写成协变形式(四维矢量形式)。从而明显地表达出电磁规律满足相对性原理.12

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2、矢势和标势方程的解——推迟势(洛伦兹规范)推迟势反映了电磁波以有限速度传播，场点的势取决于源点较早时刻发出的电磁波，推迟的时间正是电磁波由源点传播到场点

所需时间。 3、谐振电流体系在远处的辐射势在远场近似下(以 A为例),A(r, t )= A0 (θ, )ei ( krωt )

d V r'

R

场点

/ r,

r

0 O′)eik ir′dv′, A0 (θ, )= j0 (r 4π∫V由此可求出辐射场 E, B—它们是各向异性的球面波， E, B, k三者相互⊥,振幅正比于1/ r(辐射场特性)。13

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4、进一步的近似—在λ>> d的情况下，对 eik ir′作多极展开，

e

ik ir′

= 1 ik ir′+

,场点

电偶极辐射磁偶极及电四极辐射

电偶极辐射；磁偶极辐射，电四极辐射。

d V r'

R

r

周期平均意义下的 O辐射功率的角分布；辐射总功率。 (之所以要周期平均，是因为对高频电磁波而言，我们的观测值一般是它的周期平均值)14

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六、狭义相对论(第六、七章)基于绝对时空概念的伽里略变换与电磁学遵从相对性原理相矛盾，因此需要修改(为洛伦兹变换)。 1、两惯性系之间的洛伦兹变换它由时空均匀、空间各向同性、运动的相对性、光速不变原理导出。它表明时间和空间构成一个不可分割的四维整体。 2、时空的相对性洛伦兹变换表明，在不同的惯性系中，两事件的空间间隔，时间间隔都是相对的(仅时-空间隔才是绝对的)。15

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由此导致同时的相对性。由于很多测量都需要同时进行，而在不同惯性系的同时的基准不一样，因此就出现了“动尺缩短”,“动钟变慢”等相对论现象。 3、物理量按洛伦兹变换下的变换性质分类标量：四维时-空间隔，本体参考系中物理量(固有时，固有体积等),两个同阶张量的完全收缩等。矢量： x= (r, ict ), =/ x, j= ( j, icρ ),

A= ( A, i/ c ),四维速度 U= dx/dτ

四维电磁力密度 f= ( f,iw/c ),四维动量 p= ( p, iE/c )等。二阶张量：电磁场张量

Fν= Aνν A .16

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4、物理规律的协变形式。表示该规律的方程应可以写为四维张量形式，且方程两边为同阶张量。这样在作惯性系之间的变换时，方程的形式保持不变(具有协变性)。物理规律的协变性是帮助我们寻找新规律的有力武器。这是我们学习相对论的主要目的。电磁学规律可以写成协变形式，这表明洛伦兹变换是与电磁学规律满足相对性原理是相容的，而不是(像伽里略变换那样是)矛盾的。 5、相对论性力学利用力学规律应具有协变性，可找出具有协变性的四维力学方程。17

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其中前三个方程有着与牛顿第二定律相同的形式，只不过是要把静质量 m0换为动质量 m=γ m0而已。而第四个方程给出重要结论 E= mc2。质量亏损等实验证明了与质量相关的能量 m0c2和体系的结合能发生转换，因而它是有实质意义的能量。 6、四维动量和四维动量守恒四维动量 p= ( p, iE/c )。相对论性能量-

动量关系

E=

p2c2

+m c

2 4 0

四维动量守恒意味着动量和能量守恒，它是空间和时间的均匀性的反映18

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七、运动电荷的电磁场(参照第五章一起复习) 1、基本规律由推迟势导出的李纳-维谢尔势，所确定。注意李纳-维谢尔势 A(r,t),(r,t)的时间 t,并不以明显的形式出现，而是隐含在 t*= t r - re (t*) c中。 2、运动带电粒子的电磁场由李纳 -维谢尔势可导出运动带电粒子的电磁场，与第五章(小区域中的电流的辐射)类似，其电磁场也可分为近场(∝ 1/R*2 )和远场 (∝ 1/R* )、其远场也是辐射场。其辐射场的 E, B, R*(辐射方向)也相互垂直成右手系、辐射场的 E, B之间的关系 E= cB×n等都与第五章(小区域电流的辐射)类似。19

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带电粒子低速运动时，它的近场与静电、静磁场有着类似的形式，它的辐射场为电偶极辐射。带电粒子高速运动时，它的辐射功率随速度增大而迅速增加。辐射最大的方向逐步向速度方向靠近，辐射的尖锐性迅速增大。把经典电动力学运用于微观粒子(如原子中的电子)的辐射时，会出现与实际不符的现象。这说明经典电动力学的局限性，不适用于微观现象。 3、带电粒子的辐射场对带电粒子的反作用辐射阻尼力辐射使粒子损失能量、动量，相当与粒子受到一个阻尼力。20

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由辐射阻尼力对电荷所做的负功应等于在同时间内辐射出去的能量，找出辐射阻尼力的近似表达形式。由此得出作周期运动的带电粒子(原子中的电子)做振幅有衰减的简谐运动。这种由辐射阻尼而引起的振动的衰减使振子的寿命有限，且其辐射出的电磁波的频率有了(自然)宽度。八、介质对电磁波的影响介质中的电子在入射电磁波的作用下，产生振动。因而辐射出电磁波，这个波叫散射电磁波。介质把入射电磁波的部分能量转化为散射波的能量，就是介质对电磁波的影响之一。 (由于介质中的电子运动速度远小于光速，磁力远小于电力。所以我们只研究电波的散射) 21

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