可靠性建模

可 靠 性 建 模 可 靠 性 分 配 可 靠 性 预 计

二 零刘 零 九

保 中

年 八 月

八 日

目 录

1. 何谓可靠性模型 ................................................................................... 3 2. 建立可靠性模型的目的 ...................................................................... 3 ⒊ 可靠性建模的约定 .............................................................................. 4 3.1 可靠性建模限定为任务可靠性模型 ............................................. 4 3.2 可靠性建模暂不可考虑维修问题 .................................................. 5 4. 建立可靠性模型的步骤 ....................................................................... 5 4.1 定义产品 .......................................................................................... 5 4.2 绘制产品的可靠性框图 .................................................................. 9 4.3 确定计算系统可靠性的数学公式 ................................................ 12 5. 可靠性分配与预计 ............................................................................. 12 5.1 可靠性分配 .................................................................................... 12 5.1.1 可靠性分配概述 ...................................................................... 12 5.1.2 初次分配时的假设 .................................................................. 13 5.1.3 按复杂程度进行分配 .............................................................. 14 5.1.4 参考相似产品进行分配 .......................................................... 15 5.2可靠性预计 ..................................................................................... 16 5.2.1 可靠性预计概述 ...................................................................... 16 5.2.2 可靠性预计的程序 .................................................................. 17 6. 常用的可靠性模型 ............................................................................ 19 6.1 串联模型 ........................................................................................ 20 6.2 并联模型 ........................................................................................ 21 6.3 混联模型 ...................................................................................... 244 6.4 表决模型 ...................................................................................... 266 6.5 旁联（非工作贮备）模型 .......................................................... 299 6.6 网络模型 ...................................................................................... 311 6.7 典型模型的应用 .......................................................................... 322

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1. 何谓可靠性模型

在着手建立可靠性模型之前，首先要明白什么是可靠性模型。可靠性模型由两部分组成：一个可靠性框图和一个计算可靠性数值的数学公式。例如，本文第20页的图3及其对应的计算公式（8），二者共同构成串联系统的可靠性模型。可靠性框图用来描述系统与其组成单元之间的可靠性逻辑关系；而计算公式则是用来描述系统与单元之间的可靠性定量关系。

这里所说的“系统”和“单元”是一个相对的概念。例如，对于组成惯性导航系统的平台和计算机而言，惯性导航系统是“系统”，而平台和计算机则是“单元”。但对于惯性导航系统的装载对象（例如飞机和导弹）而言，惯性导航系统就只能算做单元了。一般来说，总是把复杂的产品叫做系统，而把它的组成部分叫做单元。有时候，为了表述上的方便起见，也把系统及其组成单元统称为“产品”。这里所说的产品是指能够独立进行研究和试验的对象。 2. 建立可靠性模型的目的

可靠性建模是一项基础性的工作，是一切可靠性活动的前提。在产品的方案设计阶段，是为了进行可靠性的分配和预计；在产品的制造阶段，用于故障的分析（可靠性分析）；在产品制造出来之后，还需对产品的固有可靠性进行评估，此时也要用到可靠性模型。总之，几乎所有的可靠性活动都会或多或少地涉及到可靠性模型。

可靠性模型的用途虽然很多，但主要应用于可靠性分配和可靠性预计。可靠性建模、可靠性分配和可靠性预计，三者都是产品“方案

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设计”阶段的重要工作内容，应在方案阶段完成。在产品的研制过程中，如果产品的技术状态有变化，还应及时地对可靠性模型作适当的调整。

3. 可靠性建模的约定

3.1可靠性建模限定为任务可靠性模型

就可靠性建模而论，可将产品的可靠性分为“基本可靠性”和“任务可靠性”两大类。

基本可靠性是指，在规定的条件下，产品的无故障持续时间或者概率。基本可靠性模型，是用来估计由于产品自身的不可靠而引起的对维修和后勤保障（售后服务）的要求，所以它是一种用来度量使用经费的模型。

产品能否完成预期的任务，取决于各种功能的完成。因此，任务可靠性是指，产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力。而任务可靠性模型，则是用来估计产品在执行任务的过程中完成规定功能的概率，它是一种度量产品的工作有效性的模型。

一般来说，同一个产品的任务可靠性模型与基本可靠性模型是不一致的，不能用基本可靠性模型去估计产品的任务可靠性。由于系统中的任何一个单元发生故障后，都需要进行维修或者更换，冗余单元也不例外，因此基本可靠性模型“永远”是一个全串联的模型。而任务可靠性模型则较为复杂，只有在无冗余或者无替代工作模式时，才是串联模型。

基本可靠性的建模程序非常简单，只要将系统的所有组成单元都

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串联起来就可以了（任何一级单元的内部也均为串联模型）。因此，下面只讨论任务可靠性的建模问题。 3.2 可靠性建模暂不考虑维修问题

从维修的角度看，可将产品划分为可修复的和不可修复的两大类。可修复的产品出了故障、经修复后，可重新投入使用。所谓不可修的复产品，在发生故障后，不对其作任何修理而停止使用。一种情况是，根本无法修理；另一种情况是，可以修理，但不值得修理。经修复后再次使用的产品，其可靠性与首次故障前的可靠性，一般来说是不相同的，情况比较复杂。因此，在建立可靠性模型时，为了使问题得到简化，通常假设，修复后的产品其可靠性水平，与首次故障前是相同的。或者理解为，暂不考虑产品的维修问题。也就是说，在建立可靠性模型时，将所有的产品均视为“不可修复产品”进行讨论。

综上所述，在建立可靠性模型时，建模的对象限定为“不可修复产品”的任务可靠性模型。即使能修，也暂不考虑维修的问题。 4. 建立可靠性模型的步骤

这里给出的建模步骤，取自GJB 813-90《可靠性模型的建立和可靠性预计》，也分为三步进行。第一步，定义产品；第二步，绘制产品的可靠性框图；第三步，确定计算可靠性值的数学公式。虽然步骤一致，但每一步的具体内容不完全一样，本文更为简明。 4.1 定义产品

在着手建立产品的可靠性模型之前，首先要熟知产品。在此基础上，编写一个简要的文字说明，这段“文字说明”就叫做“定义产品”。

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混联模型，其可靠性框图如图1（c）所示，

C3C1C2C5C4C6C7

图1（c）

图1（c）中的每一个单元代表一个组（合）件。

还可以继续画下去，那么究竟分解到哪一级为止呢？视具体情况而定，一般来说，分解到电路板一级就可以了。因为，电路板的下一级组成单元就是元器件，不能再分了。

◆ 每一个方框都应加以标识，对于只包含少数几个方框的简单框图，可直接标在对应的方框中。对于含有较多方框的复杂框图，可对所有的方框进行统一的编码，做到“一框一码”，并将编码填入对应的方框中。然后，拟制一张编码清单表，在表中说明每一编码所代表的单元名称、型号、功能和可靠性值。

◆ 在可靠性框图中，所有方框之间的连线没有可靠性值。但产品中的导线、电缆和连接器具有可靠性值，不能遗漏。可以将其合并在一起单独占有一个方框；也可以分别将其并入所在的单元。

◆ 为了简化可靠性模型，有两类单元可以不反映在框图中。一类是所谓的“高可靠单元”，其可靠度近似为“1”；另一类是功能相对次要的单元，即使失效，也不会危及任务的成功。这两类单元被称为“未列入模型单元”。虽然没有将其画入框图，但应以“未列入模型单元清单”的形式附在框图的下面，并说明理由。

◆ 当软件的可靠性没有纳入可靠性框图时，是假设软件完全可

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靠，但应简述其理由。

◆ 当人的因素没有纳入可靠性框图时，是假设操作人员完全可靠，或者假设人员与产品之间没有相互作用的问题。如果有“人在回路中”的情况，则应考虑人的因素。

◆ 在建立可靠性模型时，通常假设，产品的所有输入量均在规定的范围之内，即不考虑由于输入错误而导致系统故障的情况。另外还假设，各个单元的故障是相互独立的。 4.3 确定计算系统可靠性的数学公式

在完成可靠性框图的绘制之后，可根据可靠性框图展示的逻辑关系推导出系统可靠性值的计算公式，即系统的可靠性数学模型。可靠性数学模型描述的是各单元的可靠性变量与系统可靠性值之间的定量关系，利用已知的单元可靠性值（如可靠度、失效率或者MTBF等）就能计算出系统的可靠性值。 5. 可靠性分配与预计

在完成了可靠性建模之后，可接着进行可靠性分配与可靠性预计。而且，在撰写“可靠性分配报告”和“可靠性预计报告”时，要将建模的内容作为报告的组成部分，分别置于这两份报告的前部。

可靠性分配与可靠性预计互为逆过程。可靠性分配是一个自上而下的分解过程；而可靠性预计是一个自下而上的综合过程。 5.1 可靠性分配 5.1.1 可靠性分配概述

所谓可靠性分配，就是把系统（整机产品）的可靠性指标（在研

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制合同或研制任务书中规定）逐级向下，分解成各级组成单元的可靠性指标，是一个自上而下的分解过程。

在产品的方案论证阶段，有很多因素是未知的，或者是不确定的。因此，可靠性分配很难做到“精准”，只能将整机产品的可靠性指标“粗略”地分配下去。随着研制工作的不断深入，各种数据资料的不断地增多，应该不失时机地对已分配的指标进行适当的修正和调整。另外，在进行可靠性预计时，也可能发现分配的指标不够合理，而需要调整。因此，可靠性分配很难做到“一锤定音”，而是一个由粗到精、逐步趋于合理（相对合理）的过程。 5.1.2 初次分配时的假设

在初次分配时，为了突出重点、简化计算，通常作如下假设： ⑴ 假设整机产品的可靠性框图为串联模型。由于绝大多数的产品不采用整机冗余的方案，即使采用“局部冗余”，也是在级别较低的单元上实施。因此，这条假设通常是满足的。

⑵ 假设各分部件都在同机工作，而且任务时间相同。 ⑶ 假设各分部件的故障率（失效率）均为常数，即寿命分布为指数型。对于剔出了早期故障、任务时间较短，而且能够进行事先维护和更换的产品，其故障时间能很好地符合指数分布。

⑷ 假设各分部件的故障是相互独立的。 ⑸ 假设各分部件的工艺成熟度基本相同。

⑹ 如果整机产品的结构尺寸（三维尺寸）不是很大，而且其内部没有大功率的发热部件，可假设各分部件所处的环境是相同的。

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5.1.3 按复杂程度进行分配

在以上假设条件下进行可靠性分配时，可暂时只考虑各分部件在“复杂程度”上的差异，按比例进行分配。由于在前面已经假设，各分部件的失效率均为常数，为了方便起见，可将“可靠性分配”转换为“失效率分配”。

设整机产品由n个分部件组成（串联模型），第i（i=1，2，…n）个分部件的失效率可按下式进行计算，

?i?ki ?s?Ni?s (3)

Nki?Ni

N?ki?1 (4)

i?1nn??i??s (5)

i?1式中，?i——第i个分部件的失效率； ki——第i个分部件的复杂度系数；

Ni——第i个分部件中所含的基本单元数（或元器件数）；

?s——整机产品的失效率；

N——整机产品中所含的基本单元总数（或元器件总数）； 在得到?i后，再考虑任务时间t，即可计算出第i个分部件的可靠度， Ri(t)?e??i t (6)

如果遇到任务时间不相同的情况，可参考本文的（1）式和（2）式给出的方法进行修正。

当然，用这种“按比例分配”的方法，显得有些“粗糙”，但在

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方案设计阶段，由于资料的匮乏，实际上很难做到精细。尽管此法有些粗糙，但基本上反映了各分部件之间的可靠性“相对水平”（即横向对比关系），而且这种对比关系是比较客观的。因为元器件的数量是客观存在的，不受人的“主观因素”的影响。相对而言，“专家打分”法就很容易受到专家们的情绪的影响，而且每个专家的尺度把握也很难做到一致。因此，要慎用。

随着研制工作的不断深入，资料的逐步增多，可将前面被忽略的假设条件再逐个加入，并对指标进行修正，使得可靠性分配日趋合理。在进行可靠指标修正时，可适当地改变比例系数ki的取值（此时，不再考虑基本单元数Ni）。例如，当加入“工艺成熟度”时，可适当地增加“成熟度较低”部件（其内部含有新器件、新材料、新技术等）的ki值，即降低对它的可靠性要求；同时减少“成熟度较高”部件（技术成熟、继承性好）的ki值，即提高对它的可靠性要求。但应保持（4）式和（5）式继续成立。而且，这种“定量”的调整，应该是小幅度的，尽量不要颠覆已经确定的“定性关系”，即各部件间，可靠性“谁高、谁低”的横向对比关系。如果还要继续加入其他影响因素时，可照此办理，但限于篇幅不再赘述。 5.1.4 参考相似产品进行分配

一般情况下，新研制的产品往往是老产品的改型，有时也称老产品为“相似产品”。在初次对新产品进行可靠性分配时，可以参照老产品的可靠性分配结果，故称这种方法为“相似产品法”，计算公式如下：

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?iO?iN??sN (7)

?sO式中，?iN—新产品的第i个单元的失效率（与老产品的第i个单元

的失效率相对应）；

； ?sN—新产品整机失效率（与老产品的整机失效率对应）

?iO—老产品第i个单元的失效率；

?sO—老产品整机失效率。

由（7）式可知，新产品的可靠性分配是直接套用了老产品（或者相似产品）的比例关系（?iO?sO）。因此，老产品必须是技术上成熟的产品，而且其可靠性指标的分配是合理的。否则，不能套用。在实际应用时，根据新产品相对老产品在技术状态上的差别，可适当地进行调整。 5.2可靠性预计 5.2.1 可靠性预计概述

所谓可靠性预计，就是根据元器件的可靠性值逐级向上预计（计算）各级单元的可靠性值，直至系统级为止，是一个自下而上的综合过程。

可靠性分配是从顶层产品（整机产品）开始的，逐级向下展开，一直分配到最底层的基本单元为止。可靠性预计正好相反，从最底层的单元开始。首先对位于底层的所有单元分别进行预计，再将预计的结果分别代入到各自对应的“上一级单元”的可靠性数学模型中，即可计算出“上一级单元”的可靠性值。如此，逐级地向上推算，直到计算出顶层产品的可靠性值为止。

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需要指出的是，所有单元的可靠性预计值均应优于其给定的指标（由上一级单元的分配结果确定）。如果实现该指标确有困难，其可能的原因有二：

其一，所选元器件的质量等级可能偏低，需要提高其质量等级，特别是用量较大的元器件；

其二，可靠性指标的分配可能不合理，需要向上一级设计师反馈意见，调整可靠性分配的结果。

由此可见，可靠性分配与可靠性预计是相辅相成的，首次分配时，由于资料不足，分配的指标可能不够合理，需要多次调整和迭代，使之逐步趋于合理。

另外，为了提高预计结果的可信程度，以及同级单元预计结果的可比性，需要统一预计时所采用的“尺度”：

① 所采用的预计方法（模型）要统一；

② 所使用的失效率手册（即数据来源）也要统一。 5.2.2 可靠性预计的程序

中间单元和整机产品的可靠性预计，只是将下一级单元的预计结果代入到公式（可靠性数学模型）中进行计算，相对来说比较简单；而底层单元（电路板）的可靠性预计则较为复杂，而且是“全部预计”的基础，也最为重要。因此，下面只讨论底层单元的可靠性预计。

在GJB/Z 299A-91《电子设备可靠性预计手册》（简称《手册》）中，给出了最为常用的“元器件应力分析法”的预计程序。为了便于应用，这里以“电路板”为例，并结合《手册》概述如下：

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⑴ 建立电路板的可靠性模型：

可靠性模型是可靠性预计的前提，因此，首先要建立电路板的可靠性模型，即确定“板上元器件”之间的可靠性串、并联关系（注意：不是物理串、并联）。

⑵ 确定元器件的“基本失效率”λb：

基本失效率是仅考虑温度应力和电应力时，电子元器件的失效率，即暂不考虑质量等级、其他环境因素等对元器件的影响。根据电路板研制任务书的相关要求，确定板上元器件的工作温度T和电应力比S（工作电应力∕额定电应力）。根据元器件的类型，查阅《手册》的“T—S”表格，即可得到元器件的基本失效率λb 。不同类别的元器件，具有不同的“T—S”表。

⑶ 计算元器件的“工作失效率”λp：

元器件的工作失效率λp是基本失效率λb与一系列修正系数（即所谓的π系数）的连乘积，是对基本失效率λb的修正。基本失效率已经考虑了温度和电应力的影响，除此之外，还要进一步考虑质量等级、其他环境因素等对元器件的影响。不同的影响，用不同的π系数进行修正。而且，不同类别的元器件，具有不同的“修正模型”和不同的π系数（对应不同的应用要素：环境类别、质量等级、结构系数、成熟系数等）。查阅《手册》，首先确定元器件的“λ

p

计算模型”和

π系数的数值；然后再将π系数的数值代入模型即可计算出元器件的工作失效率。

⑷ 计算同类元器件的工作失效率之和：

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在得到所有元器件的工作失效率之后，再将电路板上同类型的元器件的工作失效率相加。

⑸ 计算电路板的工作失效率：

将电路板上各类元器件的工作失效率之“和”再相加，就可得到该电路板的工作失效率，即该电路板的预计结果。

⑹ 预计上一级单元的可靠性值：

该电路板仅仅是其上一级单元的组成之一；该电路板的预计结果就是其上一级单元的一个已知参数。但是，同级别的电路板不止一个，上一级单元也不止一个。当同级别的所有电路板都完成了可靠性预计后，要“对号入座”，找到各自的上一级单元。然后，再将各电路板的预计结果分别代入到各自的上一级单元的可靠性模型中，就可以计算出上一级单元的失效率。照此继续下去，就可以最终计算出整机产品的失效率。 6. 常用的可靠性模型

常用的可靠性模型（典型模型）如图2所示。根据其复杂程度和有无贮备功能可将它们分为三大类。即非贮备模型、贮备模型和网络模型。实际的工程系统，无论其结构有多么复杂，总可以将其视为由几个典型模型构成的组合体。

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可靠性模型 非储备模型 储备模型 网络模型 串联模型 工作储备 非工作储备 （旁联模型）并联模型 混联模型 表决模型 冷储备 温储备 热储备

图2

6.1 串联模型

设一个系统由n个单元组成，只有全部单元都正常工作时，系统才能正常工作，或者说，只要其中的任一单元故障，则系统故障。我们称这种系统为“可靠性串联系统”，简称为串联系统。串联系统的可靠性框图如图3所示。

R1R1Rn

图3

图中，R1，R2，……，Rn分别为单元1、单元2、……、单元n的可靠度，即各单元的可靠性变量。串联系统的可靠性数学模型，即系统的可靠度为，

Rs?t??R1?t??R2?t???Rn?t???Ri?t? (8)

i?1n式中，Rs(t)——系统在t时刻正常工作的概率，即系统在t时刻的可

靠度；

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Ri(t)——第i个单元在t时刻正常工作的概率，即第i个单元在

t时刻的可靠度（i＝1，2，3，……，n ）。

（8）式表明，串联系统的可靠度等于各单元的可靠度之积。当各单元的寿命分布均为指数型，且工作时间t相同时，则单元可靠度为：

Ri(t)?e??it (9)

式中：λ

i ——第

i个单元的失效率。

如果进一步假设系统的工作时间也为t，则系统的可靠度为，

?n?Rs(t)??Ri(t)?exp????it??exp???st? (10)

?i?1?i?1n系统的失效率为，

?s???i (11)

i?1n式中：?s——系统的失效率，为各单元的失效率之和。。

（10）式表明，串联系统的寿命分布仍然是指数型。所以，系统的平均故障间隔时间MTBFS为，

MTBFs＝1?s?1??i?1n (12)

i请注意，只有指数型分布，才可以用λs的倒数来计算MTBFS，对于其他分布，（12 ）不成立。由（12）式可知，串联的单元数愈多，则系统的MTBFs值愈小，系统的可靠性就愈低。 6.2 并联模型

设一个系统由n个单元组成，只要有一个单元工作正常，则系统就能正常工作。或者说，只有当所有单元都故障时，系统才故障。我

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们称这种系统为“可靠性并联系统”，简称为并联系统。并联系统是最简单的工作贮备（冗余）系统。多个单元并联虽然提高了系统的任务可靠性，但系统的基本可靠性却随之下降。因为，其中的任何一个单元故障，都必须进行维修或更换，增加了维修和保障费用，设计时应进行综合权衡。并联系统的可靠性框图如图4所示。

R1R1Rn

图4

图中，R1，R2，……，Rn的意义同前，不再说明。

由（8）式可知，串联系统的可靠度等于各单元的可靠度之积。并联系统则相反，系统的“不可靠度Fs(t)”等于各单元的“不可靠度Fi(t)”之积，即“不可靠度串联”，如下式所示，

Fs(t)??Fi?t????1?Ri(t)? (13)

i?1i?1nn由于可靠度R与不可靠度F之和等于1，所以并联系统的可靠度为，

Rs(t)?1?Fs?t??1-??1?Ri(t)?? (14)

i?1nRs(t)和Ri(t)的意义同前，不再说明。

可见，并联系统的可靠性模型较为复杂，下面仅以最常见的二单元并联为例加以说明，即n＝2，

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Rs(t)??????1?Ri(t)???1??1?R1?t???1?R2?t??i?12 (15)

?????????R1?t??R2?t??R1?t?R2?t? 当各单元的寿命分布均为指数型，而且各单元与系统的工作时间均相同时，将（9）式代入上式，两个指数单元并联后的可靠度为，

Rs(t)?e??1t?e??2t?e?(?1??2)t (16)

显然，不能由（16）式直接得到并联系统的失效率?s?t?，为此，不加证明借用一个计算公式如下，

?s(t)??1dRs(t) (17)

Rs(t)dt该微分方程描述了失效率与可靠度之间的函数关系，普遍适用，在一般的可靠性文献中均有证明。将（16）式代入（17）式得，

?s＝?1e??1t??2e??2t?(?1??2)e?(?1??2)te??1t?e??2t?e?(?1??2)t (18)

由（18）式可知，并联系统的失效率不是常数，而是时间的函数。就是说，虽然各单元的寿命分布是指数分布，但并联系统的寿命分布不再是指数分布，这一点与串联系统是不同的。正因为如此，不能再用（12）式来计算系统的MTBFS，而只能采用普遍适用的积分计算来求取MTBFS ，

MTBFs＝?Rs(t)dt0??11????????????????1?2?1??? (19)

该积分方程与(17)式所示的该微分方程一样，具有普遍性，均为不加证明直接引用。

由（19）式可知，虽然并联系统的失效率不再是常数，但其平均

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故障间隔时间MTBFS仍然是常数。 6.3 混联模型

在实际的工程系统中，并非都是单纯的串、并联结构，有时还有由串联和并联混合组成的所谓“混联系统”。混联系统总可以简化为若干个典型的串联、或并联的子系统，然后再采用“等效模型法”来计算其可靠度。只需分别采用串联和并联的基本公式就可计算出混联系统的可靠度。这种方法，对于并不十分复杂的系统，是较为实用的。混联模型又有“串－并”和“并－串”两种基本形式。

⑴ 串—并联系统：

所谓“串－并联系统”，由m个“子系统”串联而成，每个子系统又由n个单元并联而成。这种混联系统的可靠性框图如图5所示。

R11R12R21R22Rm1Rm2R1nR2nRmn

图5

图中，Rij为第i个子系统的第j个单元的可靠度。i=1,2,…,m；j=1,2,…,n 。

假设每个子系统都是由n个相同的单元并联而成，而且每个单元的可靠度都是Rd，由（14）式可知，子系统的可靠度为：

n (20) Rp?1?（1?Rd）于是，由m个相同子系统串联而成的系统的可靠度为，

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nmRs?(Rp)m?[1?（1?Rd）] (21)

⑵ 并-串联系统：

所谓“并－串联系统”，是由m个子系统并联而成，每个子系统又由n个独立单元串联而成。这种混联系统的可靠性框图如图6示。

R11R21R12R22R1nR2nRm1Rm2Rmn

图6

图中，Rij为第i个子系统的第j个单元的可靠度。i=1,2,…,m；j=1,2,…,n 。

假设每个子系统都是由n个相同的单元串联而成，而且每个单元的可靠度都是Rd，则子系统的可靠度为：

Rc?Rnd (22)

于是，由m个相同子系统并联而成的系统的可靠度为：

Rs(t)?1?Fs?t??1-??1?Rc?i?1m?????????????1?Rc?mm?????????????1?Rn?d (23)

在上述的图5和图6中，均假设各子系统都是由n个相同的单元组成，而且每个单元的可靠度也是相同的，这样做的目的仅仅是为了简化模型而已。其实，单元数不一定相同，可靠度也不一定相等。对于更为复杂的混联系统，总可以简化为若干个典型的串联、或并联的子系统，然后再逐级使用等效模型法，最终可以求得整个系统的可靠

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度。当然，其数学模型就要复杂得多了。 6.4 表决模型

表决系统也是一种工作贮备系统，把来自各个组成单元的输出信号同时输入一个特定的“表决器”，表决器再根据预定的“表决规则”对各单元的工作情况进行检测，进而判定并隔离故障单元。当故障单元数少于规定的“有效单元”数时，系统就能正常工作，称这样的系统为表决系统。

设一个表决系统由n个单元组成，只要其中有k个或者k个以上单元“不故障”，则系统就能正常工作。称k为有效单元数，称这样的系统为n中取k不故障系统，简称为n中取k系统，记为k/n（G）。其中的G可能是Gage的首字母，意为：度量、表决。很显然，当k＝1时，1/n(G)就是并联系统；当k＝n时，n/n(G)就是串联系统。

k/n（G）系统的可靠性框图如图7所示。

R1R2k/n（G）Rn

图7

图中的“k/n（G）”就是n中取k“表决器”。在此，我们假设表决器的可靠度很高，近似为1。而且进一步假设各组成单元的可靠度相等，均为Rd，则系统的可靠度为：

iin?i (24) Rs??CnR（1?R）ddi?k第 26 页 共 34 页

n

Cin表示从n个单元中抽取i个正常单元的组合数, 计算公式为，式中，

iCn?n! (25)

i!(n?i)!当各单元的可靠度是时间t的函数，而且均为指数分布时，则系统的可靠度为，

i-i?tn?i (26) R（??Cne（1-e-?t）st）i?kn由上式可知，虽然单元的寿命分布为指数型，但表决系统的寿命为“二项分布”，不再是指数型。因此，系统的MTBFS只能用对可靠度的积分进行计算,

MTBFs＝?Rs(t)dt??0?1 (27) i?i?kn式中的?为各单元的失效率。

表决系统常用于数字电路和自动控制系统中，其中的一个应用特例就是“多数表决系统”，即（i＋1）（/2i＋1）（G）系统。其中， i+1=k; 2i+1=n。可见，该系统由奇数（2i＋1）个单元组成，系统是否“故障”以多数（i＋1）单元的工作状态为准。在多数表决系统中，又以“三中取二系统”（i＝1）最为常见，即2/3（G）系统，它的可靠性框图如图8所示。

ABC2/3（G）ABBCCA

图8（a） 图8（b）

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图8（b）为图8（a）的等效模型。

假设，图8中的单元A、B、C的寿命分布均为指数型，而且具有相同的可靠度，那么，将k＝2、n＝3代入（26）式和（27）式，可得2/3（G）系统的可靠度R???和MTBF?/?如下， （t）R???（t）?3e-2?t?e-3?t (28)

MTBF?/?＝5 (29) 6?对于1/3（G）系统（3单元并联），将k＝1、n＝3代入（27）式可得：

MTBF?/?＝11 (30) 6?对于3/3（G）系统（3单元串联），将k＝3、n＝3代入（27）式可得：

MTBF?/?＝1 (31) 3?对比（29）、（30）和（31）式可知，由三个单元组成的2/3（G）表决系统的MTBF?/?（=3/3（G）系统（

5），比由相同单元组成的串联系统高，即比6?1）为高；比由相同单元组成的并联系统低，即比3?6111/3（G）系统（）为低；而且，比一个单元的MTBF（=）也低。

6?6?可见，表决系统的可靠性介于串联系统与并联系统之间。

以上的分析，是在表决器完全可靠的情况下进行的。如果表决器不完全可靠，则应考虑表决器的可靠度，此时表决系统的可靠度为：

iin?iR（?Rv?CnR（st）d1-Rd） (32)

i?kn其中：Rv为表决器的可靠度。

由(32)式可知，表决器的可靠度严重地影响系统的可靠度，所以

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要求表决器的可靠度要大大高于各组成单元的可靠度。对于用硬件实现的表决器而言，这一要求是非常高的，否则，冗余就没有意义了。因此, 表决系统要慎用。 6.5 旁联（非工作贮备）模型

上述的并联系统、混联系统和表决系统都属于“工作贮备系统”。它们的共同特点是所有的单元都同时在工作，每一个单元既是工作单元，同时又是贮备单元。而“非工作贮备”系统则不同，只有一个单元在工作，其余的单元都不工作，即处在待机（贮备）状态。当工作单元故障时，立即由第一个贮备单元接替工作。当接替的单元再次故障时，立即由下一个贮备单元接替工作，直到全部贮备单元都故障时，系统才发生故障。因此，称这种系统为非工作贮备系统，有时也称为“旁联系统”（旁观者）。很显然，非工作贮备系统需要一个故障检测器和单元切换开关（注意：不是表决系统的表决器）。

根据贮备单元在待机期间的失效率不同，非工作贮备系统又划分为三个类别：

⑴ 冷贮备系统：所谓冷贮备系统是指，处在待机状态的单元不会发生故障，即待机单元的失效率为零；

⑵ 热贮备系统：所谓热贮备系统是指，处在待机状态的单元有可能发生故障，而且待机单元的失效率与工作单元的失效率是相同的；

⑶ 温贮备系统：所谓温贮备系统是指，处在待机状态的单元有可能发生故障，而且待机单元的失效率介于冷贮备系统和热贮备系之

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间。由于温贮备系统在待机期间也有可能发生故障，因此有时候，也把温贮备系统统并入热贮备系统。

由上述三个定义可知，冷贮备系统是一种理想的情况，实际上并不存在，仅仅是为了简化模型而已。在实际的工程系统中，贮备单元在待机期间，即使不通电，但由于受到温度、湿度、振动和冲击等环境应力的作用，也有可能发生故障，即失效率并不为零，但也不同于工作期间的失效率，而是介于两者之间。因此，在实际工程中，多为温贮备系统。一般来说，温贮备系统的贮备单元的性能是在缓慢地恶化，直至最终发生故障。

由于热贮备系统和温贮备系统的贮备单元在待机期间有可能发生故障，因此，它们的可靠性数学模型比冷贮备系统要复杂得多，以下只对冷贮备系统加以简单的说明。

假设冷贮备系统由n个单元组成，其中只有一个单元在工作，其余的（n??）个单元不工作，即处在待机（贮备）状态。冷贮备系统的可靠性框图如图9所示。

12Kn

图9

图中的K为故障检测和切换装置（两个功能合而为一）。

如果进一步假设故障检测器和切换开关完全可靠，而且各单元的

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