2016年北京市丰台区中考数学二模试卷含答案解析

2016年北京市丰台区中考数学二模试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．截止到2015年底，我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖，志愿者总数已超110 000 000人．将110 000 000用科学记数法表示应为（ ） A．110×106

B．11×107 C．1.1×108 D．0.11×108

2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（ ）

A．点A与点D B．点B 与点D C．点B与点C D．点C与点D

3．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是（ ） A． B． C． D．

4．京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

5．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

6．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）

第1页（共37页）

A．10m B．10m C．15m D．5m

7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.6环，方差分别是S甲2=0.96，S乙2=1.12，S丙2=0.56，S丁2=1.58．在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）

A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

9．商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（ ）

A．5元 B．10元 C．12.5元 D．15元

10．一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大

第2页（共37页）

致如图2所示，则观察员的行进路线可能为（ ）

A．A→D→C→B B．A→B→C→D C．A→C→B→D D．A→C→D→B

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：x3﹣4x2+4x= ．

12．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= （度）

13．关于x的不等式ax＜b的解集为x＞﹣1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．

14．我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚各几丁？

如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，

正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为 ．

第3页（共37页）

15．北京市2010﹣2015年机动车保有量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2016年北京市机动车的保有量约 万辆，你的预估理由是 ．

16．如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标： ．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：

．

18．已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值． 19．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；

（2）若m为负整数，求此时方程的根．

第4页（共37页）

20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE=DC．

21．2016年5月29日，北京园博园迎来了“挑战100，一起跑”百公里接力路跑赛事，活动里程共100公里，采用10人×10公里的方式展开接力竞赛．王刚是一名长跑爱好者，原来每天从家匀速跑步到单位，共12公里．为参加此次活动，王刚计划加强训练，速度提高到原来的1.2倍，结果提前10分钟到单位．问王刚原来每小时跑多少公里？

22．如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）若AD=5，BD=8，计算tan∠DCE的值．

23．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6）． （1）求k的值；

（2）过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点B的坐标．

24．如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，E为 BC 的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE． （1）求证：AD为⊙O的切线； （2）若cosD=，AD=6，求FG的长．

第5页（共37页）

25．阅读下列材料：

日前，微信发布《2016微信春节大数据报告》显示，2016年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达4.2亿分钟，是2015年除夕的4倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作者共获得124508元的“赞赏”． 报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2015年除夕的8倍．除了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包．其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%．

作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配． 根据以上材料回答下列问题：

（1）2016年除夕当日，拼手气红包收发量约为 亿个；

（2）选择统计表或统计图将2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来． 26．有这样一个问题：探究函数y=

的图象与性质：

小宏根据学习函数的经验，对函数y=下面是小宏的探究过程，请补充完整： （1）函数y=

的图象与性质进行了探究．

的自变量x的取值范围是 ；

（2）下表是y与x的几组对应值

第6页（共37页）

x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 … y … ﹣ ﹣ 求m，n的值；

0 m ﹣ ﹣ 0 n … （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：① ② ．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）． （1）求点B的坐标及m的值；

（2）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围；

（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+1（k≠0）与图象M在直线一个公共点，结合图象求k的取值范围．

左侧的部分只有

第7页（共37页）

28．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．点D为AC的中点．将线段DE绕点D逆

时针旋转90°得到线段DF，连接EF，CF．过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

（1）若点E在线段DC上，如图1， ①依题意补全图1；

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上一点，如图2，且CE=

，∠CFE=15°，请求出

△FCH的面积∠CFE=12°，请写出求△FCH的面积的思路．（可以不写出计算结果）

29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，﹣1）．点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点． （1）请判断P1（﹣4，0），P2（3，0）是否为理想点； （2）若直线x=﹣3上存在理想点，求理想点的纵坐标；

（3）若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，直接写出m的取值范围．

第8页（共37页）

第9页（共37页）

2016年北京市丰台区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．截止到2015年底，我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖，志愿者总数已超110 000 000人．将110 000 000用科学记数法表示应为（ ） A．110×106

B．11×107 C．1.1×108 D．0.11×108

【考点】科学记数法—表示较大的数．

n为整数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：110 000 000=1.1×108， 故选：C．

2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（ ）

A．点A与点D B．点B 与点D C．点B与点C D．点C与点D 【考点】实数与数轴；实数的性质．

【分析】根据互为相反数的绝对值相等，可得答案． 【解答】解：|﹣2|=2，|﹣1|=1=|1|，|3|=3， 故选：C．

3．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是（ ）

第10页（共37页）

A． B． C． D． 【考点】概率公式．

【分析】让向上一面的数字是大于4的情况数除以总情况数6即为所求的概率． 【解答】解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，

大于4为5，6，则向上一面的数字是大于4的概率为=． 故选：C．

4．京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选A．

5．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．

【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两

第11页（共37页）

个内角的和计算．

【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等， ∴∠1=45°，

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴∠α=∠1+30°=75°． 故选D．

6．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）

A．10m B．10m C．15m D．5m

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】直接利用坡脚的度数结合锐角三角函数求出答案． 【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m， ∴sin30°=∴AB=故选：A．

7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.6环，方差分别是S甲2=0.96，S乙2=1.12，S丙2=0.56，S丁2=1.58．在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差；算术平均数．

第12页（共37页）

，

=10（m）．

【分析】根据方差越大，波动性越大，越不稳定进行判断． 【解答】解：∵s2丙＜s2甲＜s2乙＜s2丁， ∴在本次测试中，成绩最稳定的是丙． 故选C．

8．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）

A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【考点】直线的性质：两点确定一条直线．

【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．

【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 故选：A．

9．商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（ ）

A．5元 B．10元 C．12.5元 D．15元

【考点】一次函数的应用．

【分析】由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，所

第13页（共37页）

以降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元，则降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元．

【解答】解：∵由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，

∴降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元， ∴降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元． 故选：B

10．一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为（ ）

A．A→D→C→B B．A→B→C→D C．A→C→B→D D．A→C→D→B 【考点】动点问题的函数图象．

【分析】观察图2，发现观察员与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，确定出观察员的行进路线即可．

【解答】解：观察图2得：观察员与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，

结合图1得：观察员的行进路线可能为A→D→C→B， 故选A．

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：x3﹣4x2+4x= x（x﹣2）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

第14页（共37页）

【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可． 【解答】解：x3﹣4x2+4x =x（x2﹣4x+4） =x（x﹣2）2，

故答案为x（x﹣2）2．

12．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= 60 （度）

【考点】等边三角形的判定与性质．

【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数． 【解答】解：连接AB， 根据题意得：OB=OA=AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°． 故答案为：60．

13．关于x的不等式ax＜b的解集为x＞﹣1，写出一组满足条件的实数a，b的

第15页（共37页）

则根据题意列出方程：，解得：x=0.2（千米/分钟），

经检验x=0.2是所列出的分式方程的解， 0.2×60=12

答：王刚原来每小时跑12公里．

22．如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）若AD=5，BD=8，计算tan∠DCE的值．

【考点】矩形的判定；菱形的性质．

【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得AC⊥BD，进而得到四边形OCED是矩形；

（2）首先根据菱形的性质可得OD=BD=4，OC=OA，AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出DE=OC=3，再利用三角函数定义可得答案． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC=90°，

∴四边形OCED是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8， ∴OD=BD=4，OC=OA，AD=CD， ∵AD=5， ∴OC=

=3，

第21页（共37页）

∵四边形OCED是矩形， ∴DE=OC=3，

在Rt△DEC中，sin∠DCE=

23．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6）． （1）求k的值；

（2）过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点B的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）由反比例函数y═的图象经过点A（﹣1，6），即可求得k的值；

=．

（2）由（1）的结论可得反比例函数的解析式，然后作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，可得△CEB∽△CDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得点B的坐标．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6）， ∴6=

，

∴k=﹣6； （2）∵k=﹣6，

∴反比例函数的解析式为y=﹣， 作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∴AD∥BE， ∴△CEB∽△CDA， ∴

，

∵AB=2BC， ∴

=，

∵AD=6， ∴BE=2，

第22页（共37页）

∴点B的纵坐标为1，

∵点B在反比例函数的图象上， ∴2=﹣， ∴x=﹣3，

∴点B的坐标为（﹣3，2）； 点B在第二象限， ∵AB=2BC， ∴AC′=BC′， ∴BF=AD=6， ∴OF=1，

∴点B的坐标为（1，﹣6）．

24．如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，E为 BC 的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE． （1）求证：AD为⊙O的切线； （2）若cosD=，AD=6，求FG的长．

【考点】切线的判定．

第23页（共37页）

【分析】（1）连接AC，欲证AD是⊙O的切线，只需证明AD⊥AB即可； （2）解直角三角形求得AC和BD，然后根据勾股定理求得AB，证△FAG≌△FAC从而求得AG=AC=

；然后根据平行线分相等成比例定理即可求得FG．

【解答】（1）证明：连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∵E为

的中点，

∴∠BAE=∠CAE， ∴∠BAC=2∠BAE， ∵∠D=2∠BAE， ∴∠BAC=∠D， ∴∠ABC+∠D=90°， ∴∠BAD=90°， ∴BA⊥AD，

∴AD为⊙O的切线； （2）∵cosD=，AD=6， ∴sinD=，BD=

==10， ，AB=

=8，

∴AC=AD?sinD=6×=在△FAG和△FAC中

∴△FAG≌△FAC（AAS）， ∴AG=AC=∴BG=8﹣

， =

，

∵FG⊥AB，DA⊥AB， ∴FG∥DA，

第24页（共37页）

∴△BFG∽△BDA， ∴

=

，即．

=

，

∴FG=

25．阅读下列材料：

日前，微信发布《2016微信春节大数据报告》显示，2016年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达4.2亿分钟，是2015年除夕的4倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作者共获得124508元的“赞赏”． 报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2015年除夕的8倍．除了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包．其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%．

作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配． 根据以上材料回答下列问题：

（1）2016年除夕当日，拼手气红包收发量约为 16.16 亿个；

（2）选择统计表或统计图将2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来．

【考点】统计图的选择；用样本估计总体．

【分析】（1）根据：“除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，其中拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%”可得；

第25页（共37页）

（2）根据：“2016年除夕音视频通话时长达4.2亿分钟，是2015年除夕的4倍”及“微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2015年除夕的8倍”可得2015年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长，列表可得． 【解答】解：（1）根据题意，2016年除夕当日，拼手气红包收发量约为80.8×20%=16.16（亿个）， 故答案为：16.16；

（2）列表如下：

26．有这样一个问题：探究函数y=

的图象与性质：

小宏根据学习函数的经验，对函数y=下面是小宏的探究过程，请补充完整： （1）函数y=

的图象与性质进行了探究．

的自变量x的取值范围是 x≠0 ；

（2）下表是y与x的几组对应值 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 y … ﹣ ﹣ 求m，n的值；

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：① x＜0时，函数y随x的增大而增大． ② x＞0时，函数y随x的增大而增大． ．

0 ﹣ ﹣ 1 2 3 … m ﹣ ﹣ 0 n … 第26页（共37页）

【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质． 【分析】（1）根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围、 （2）利用描点法即可画出图象，观察图象可得函数的性质． 【解答】解：（1）数y=故答案为x≠0．

的自变量x的取值范围x≠0，

（2）函数图象如图所示，

性质①x＜0时，函数y随x的增大而增大． ②x＞0时，函数y随x的增大而增大．

故答案为：x＜0时，函数y随x的增大而增大；为x＞0时，函数y随x的增大而增大．

第27页（共37页）

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）． （1）求点B的坐标及m的值；

（2）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围；

（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+1（k≠0）与图象M在直线一个公共点，结合图象求k的取值范围．

左侧的部分只有

【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换．

【分析】（1）求出对称轴，根据对称性求出点B坐标，利用待定系数法求出m的值．

（2）画出图象，利用图象即可解决问题． （3）当直线y=kx+1经过点（，﹣与图象M在直线

）时，k=﹣

，推出直线y=kx+1（k≠0）

，当直

左侧的部分只有一个公共点，由图象可知k＜﹣

线y=kx+1经过点（﹣1，0）时，k=1，此时直线y=kx+1也满足条件，由此即可解决问题．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，点A坐标（3，0）， 又∵A、B关于对称轴对称， ∴B（﹣1，0），

把点B（﹣1，0）代入得到0=m+2m﹣3， ∴m=1．

第28页（共37页）

（2）如图，由图象可知，当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5．

（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M，如图所示，

∵x=时，y=﹣1﹣3=﹣，

）时，k=﹣

，

∴当直线y=kx+1经过点（，﹣

∴直线y=kx+1（k≠0）与图象M在直线象可知k＜﹣

，

左侧的部分只有一个公共点，由图

当直线y=kx+1经过点（﹣1，0）时，k=1，此时直线y=kx+1也满足条件， 综上所述，k的取值范围为k＜﹣

第29页（共37页）

或k=1．

28．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．点D为AC的中点．将线段DE绕点D逆

时针旋转90°得到线段DF，连接EF，CF．过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

（1）若点E在线段DC上，如图1， ①依题意补全图1；

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上一点，如图2，且CE=

，∠CFE=15°，请求出

△FCH的面积∠CFE=12°，请写出求△FCH的面积的思路．（可以不写出计算结果）

【考点】三角形综合题． 【分析】（1）①依题意补全图1

②延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°﹣∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．所以CF=FH． （2）通过证明△CEF≌△FGH（ASA）得出FC=FH，再求出FC的长，即可解答． 【解答】解：（1）①如图1，

②FH与FC的数量关系是：FH=FC． 证明如下：如图2，延长DF交AB于点G，

第30页（共37页）

由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF， ∴DG∥CB，

∵点D为AC的中点，

∴点G为AB的中点，且DC=AC， ∴DG为△ABC的中位线， ∴DG=BC． ∵AC=BC， ∴DC=DG，

∴DC﹣DE=DG﹣DF， 即EC=FG．

∵∠EDF=90°，FH⊥FC，

∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°， ∴∠1=∠2．

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°， ∴∠CEF=∠FGH=135°， 在△CEF和△FGH中，

∴△CEF≌△FGH， ∴CF=FH． （2）如图3，

第31页（共37页）

∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA=45°， ∵DF∥BC，

∴∠CBA=∠FGB=45°， ∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵点D为AC的中点，DF∥BC， ∴DG=BC，DC=AC， ∴DG=DC， ∴EC=GF， ∵∠DFC=∠FCB， ∴∠GFH=∠FCE， 在△FCE和△HFG中

，

∴△FCE≌△HFG（ASA）， ∴HF=FC，

∵∠EDF=90°，DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE=45°， ∵∠CFE=15°，

∴∠DFC=45°﹣15°=30°， ∴CF=2CD，DF=

CD，

第32页（共37页）

∵DE=DF，CE=∴

+CD=

．

CD， ，

．

∴CD=∴CF=2CD=

∵∠CFH=90°，

∴△FCH的面积为：CF?CH?=

29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，﹣1）．点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点． （1）请判断P1（﹣4，0），P2（3，0）是否为理想点； （2）若直线x=﹣3上存在理想点，求理想点的纵坐标；

（3）若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，直接写出m的取值范围．

=4+2

．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1））①如图1中，O′是MN的中点，由△P1AB∽△P1MN得求出MN，即可判断．

②如图2，画出图形即可判断点P2不是理想点．

（2）存在，如图3中，作PK⊥MN由H，交AB于G，假设P是理想点，MN与x轴的交点为H，由AB∥MN，得△PAB∽△PMN，得

=

，求出MN，得到点

=

，

M的坐标，再求出直线AM的解析式，即可求出点P坐标，再根据对称性求得另一个理想点．

第33页（共37页）

（3）如图4中，假设点P在x轴的正半轴上，是理想点，求出点P坐标即可解决问题．

【解答】解：（1）①如图1中，O′是MN的中点，

∵AB∥MN，

∴△P1AB∽△P1MN， ∴∴

==，

，

∴MN=2， ∴O′M=O′N=2， ∵CO′=2， ∴点C在⊙O′上， ∴点P1是理想点．

②由图2可知，点P2不是理想点．

（2）存在，

如图3中，作PK⊥MN由H，交AB于G，假设P是理想点，MN与x轴的交点

第34页（共37页）

为H．

∵AB∥MN， ∴△PAB∽△PMN， ∴∴

=

，

=，

，

∴MN=

∴O′M=，

在RT△CHO′中，O′H=∴MH=﹣

=

， ），

x+1， =

，

∴点M坐标（4，∴直线AM的解析式为y=∴x=﹣3时，y=∴点P坐标（﹣4，

，

），

）也是理想点．

．

根据对称性点P′（﹣4，﹣

线x=﹣3上存在理想点，理想点的纵坐标为±

（3）如图4中，假设点P在x轴的正半轴上，是理想点．

第35页（共37页）

∵AB∥MN，AB=2，MN=4， ∴△PAB∽△PNM， ∴∴=∴PO=，

∴点P坐标（，0），

∵点P1（﹣4，0）也是理想点，由图象可知，

若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，则m的取值范围是﹣4≤m＜0或0＜m≤．

=

， ，

第36页（共37页）

2017年2月11日

第37页（共37页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nyz6.html