第7讲 对数函数

第13课时 对数函数的概念及计算 第一部分 知识梳理

1、对数的概念

一般地，若ax?N(a?0,且a?1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN

a叫做对数的底数，N叫做真数.

举例：如：42?16,则2?log416，读作2是以4为底，16的对数. 4?2，则

1211?log42，读作是以4为底2的对数.

222、对数式与指数式的互化

在对数的概念中，要注意：

（1）底数的限制a＞0，且a≠1 （2）ax?N?logaN?x

指数式?对数式

幂底数←a→对数底数 指 数←x→对数 幂 ←N→真数

例题：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

11m （3）()?5.73 643（4）log116??4 （5）log100.01??2 （6）loge10?2.303

（1）5=645 （2）24

?6?23．对数的性质：

提问：因为a＞0，a≠1时，ax?N?x?logaN 则 由１、a=1 ２、a=a 如何转化为对数式 ②负数和零有没有对数？

0

1

③根据对数的定义，a由以上的问题得到 ①

logaN=？

a0?1,a1?a （a＞0，且a≠1）

② ∵a＞0，且a≠1对任意的力，log10N常记为lgN. 恒等式：a4、两类对数

① 以10为底的对数称为常用对数，log10N常记为lgN.

② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，logeN常记为lnN.

以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg100?2. 5、对数的运算法则

logaN=N

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么： （1）logaMN?logaM?logaN （2）logaM?logaM?logaN N（3）logaMn?nlogaM第二部分 例题讲解

(n?R)

例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

1（1）2?7?； （2）3a?27； （3）10?1?0.1；

128（4）log132??5； （5）lg0.001??3； （6）ln100=4.606.

2解：（1）log21??7； （2）log327?a； （3）lg0.1??1； 1281（4）()?5?32； （5）10?3?0.001； （6）e4.606?100.

2例2 计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）log48； （3）lne. 解：（1）设lg0.001?x，则10x?0.001，即10x?10?3，解得x??3. 所以，lg0.001??3.

33（2）设log48?x，则4x?8，即22x?23，解得x?. 所以，log48?.

22111（3）设lne?x，则ex?e，即ex?e2，解得x?. 所以，lne?.

22M例3 求证：（1）logaan?n； （2）logaM?logaN?loga.

N证明：（1）设logaan?x，则an?ax，解得x?n. 所以logaan?n.

（2）设logaM?p，logaN?q，则ap?M，aq?N.

MMap因为?p?q?logaM?logaN. ?q?ap?q，则logaNNaM所以，logaM?logaN?loga.

Nlogcb例4 试推导出换底公式：logab? （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）.

logca证明：设logcb?m，logca?n，logab?p， 则cm?b，cn?a，ap?b. 从而(cn)p?b?cm，即np?m. 由于n?logca?logc1?0，则p?所以，logab?logcb. logcam. n例5 化简与求值：

1（1）(lg2)2?lg2lg5?(lg2)2?lg2?1；（2）log2(4?7?4?7).

21111解：（1）原式=(lg2)2?lg2lg5?(lg2?1)2=lg22?lg2lg5?(lg2?1)

22421111 =lg22?lg2lg5?lg2?1=lg2(lg2?2lg5?2)?1

4224

1 =lg2(lg100?2)?1?0?1?1.

412?1（2）原式=log2(4?7?4?7)2=log2(4?7?4?7)2

211 =log2(4?7?4?7?242?7)=log214.

2211例6 若2a?5b?10，则?= .

ab解：由2a?5b?10，得a?log210，b?log510. 则

1111??lg2?g5?lg10?1. ??ablog210log510第14课时 对数函数的图像及性质

第一部分 知识梳理

1. 一般地，我们把函数y?logax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

2. 画出函数y?log2x的图象, 再利用电脑软件画出y?log0.5x的图象.

x y 1 2－1 1 0 2 1 4 2 6 2.58 8 3 12 3.58 16 4 y y?log0.5x

０ x

y?log2x

注意到：y?log1x??log2x，若点(x,y)在y?log2x的图象上，则点(x,?y)在y?log1x的图象上. 由

22于（x,?y）与（x,?y）关于x轴对称，因此，y?log1x的图象与y?log2x的图象关于x轴对称 . 所以，

2由此我们可以画出y?log1x的图象 .

2【扩展】探究：选取底数a(a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？

画出y?log4x，y?log3x，y?log1x和y?log1x

34

4 2y?log4x -50 -25y?log1x y?log1x -4图象的特征 （1）图象都在y轴的右边 43提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？

函数的性质 （1）定义域是（0，+∞） （2）1的对数是0 x（3）当a＞1时，y?loga是增函数，当 （2）函数图象都经过（1，0）点 （3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降 . 0＜a＜1时，y?logax是减函数. （4）当a＞1时 x＞1，则logax＞0 （4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 . 0＜x＜1，logax＜0 当0＜a＜1时 x＞1，则logax＜0 0＜x＜1，logax＜0 由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）： a＞1 （1）定义域（0，+∞）； （2）值域R； （3）过点（1，0），即当x=1，y=0； （4）在（0，+∞）上是增函数 0＜a＜1 图 象 性 质 在（0，+∞）是上减函数 第二部分 例题讲解

1例1 比较大小：（1）log0.90.8，log0.90.7，log0.80.9； （2）log32，log23，log4.

3解：（1）∵ y?log0.9x在(0,??)上是减函数，且0.9?0.8?0.7， ∴ 1?log0.90.8?log0.90.7. 又 log0.80.9?log0.80.8?1， 所以log0.80.9?log0.90.8?log0.90.7. （2）由 log31?log32?log33，得0?log32?1.

1又log23?log22?1，log4?log41?0，

31所以log4?log32?log23.

3例2 求下列函数的定义域：（1）y?log2(3x?5)；（2）y?log0.5(4x)?3. 解：（1）由log2(3x?5)?0?log21，得3x?5?1，解得x?2. 所以原函数的定义域为[2,??).

（2）由log0.5(4x)?3?0，即log0.5(4x)?3?log0.50.53，

11所以0?4x?0.53，解得0?x?. 所以，原函数的定义域为(0,].

3232例3 求不等式loga(2x?7)?loga(4x?1)(a?0,且a?1)中x的取值范围.

2x?7?0?1?解：当a?1时，原不等式化为?4x?1?0，解得?x?4.

4??2x?7?4x?12x?7?0??当0?a?1时，原不等式化为 ?4x?1?0，解得x?4.

??2x?7?4x?11所以，当a?1时，x的取值范围为(,4)；当0?a?1时，x的取值范围为(4,??).

4例4 讨论函数y?log0.3(3?2x)的单调性.

解：先求定义域，由3?2x?0, 解得x?33. 设t?3?2x,x?(??,)，易知为减函数. 223又∵ 函数y?log0.3t是减函数，故函数y?log0.3(3?2x)在(??,)上单调递增.

2第三部分 课堂练习

1. 将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值 .

（1）5?12?x1 （2）log542?x （3）3?x1 275（4）()?64 （5）lg0.0001?x （6）lne?x

14

2. 已知3?2，那么log38?2log36用a表示是（ ）

A、a?2 B、5a?2 C、3a?(1?a) D、 3a?a 3、2loga(M?2N)?logaM?logaN，则A、

22aM的值为（ ） N1 B、4 C、1 D、4或1 4122?n,则logay等于（ ） 4、已知x?y?1,x?0,y?0，且loga(1?x)?m,loga1?x11A、m?n B、m?n C、?m?n? D、?m?n?

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