第五章 弯曲应力

第五章 弯曲应力

内容提要

一、梁的正应力

Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲

纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。

Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：

1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；

2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴

中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。

中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。

中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为

M?x?1 (5-1) ???x?EIz式中：??x?为变形后中性层的曲率半径，M?x?为弯矩，EIz为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。

Ⅳ、梁的正应力公式

1. 横截面上任一点的正应力为

??My (5-2) Iz正应力的大小与该点到中性轴z的距离y成正比，试中M和y均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断?是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为

?max?Mymax (5-3) IzWz?Iz (5-4) ymaxWz为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，Wz的公式应熟记。

3. 弯曲正应力公式的适用范围：

1)在线弹性范围内????p?，在小变形条件下的平面弯曲弯。

2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公

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式为近似公式，当梁的跨高比

l?5时，误差?2%。 hⅤ、梁的正应力强度条件

拉、压强度相等的等截面梁

?max?式中，???为料的许用正应力。

Mmax???? (5-5) Wz当梁内?t,max??c,max，且材料的??t????c?时，强度条件应为

?t,max???t?，?c,max????

Ⅵ、提高梁正应力强度的措施

1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。

2)对于??t????c?的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使使?t,max和?c,max同时达到其许用应力。

3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。

?t,maxy拉??t?，???c,maxy压??c?二、梁的切应力

梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。 Ⅰ、矩形截面梁

Fs bb FsxzM?dMyy?max hhMFs?y?z2hB Axdxy

h?by(a)y FAx(b) 图5?1 假设切应力?的方向平行于剪力Fs，其大小沿宽度b均匀分布(图b)，由图a中带阴影线部分微段的平衡条件，得

FsSzx (5-6) ??bIzbh3式中，Fs为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，Iz?，Szx为横截面上距中性轴为y

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?b?h2?h?x的横向线以下(或以上)的部分面积b??y?对中性轴z的静面矩，其值为Sz???y2?，

2?4?2??可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化，y??h2处，??0，y?0(中性轴处)时，

???max，其值为

?max?3Fs3Fs (5-7) ?2bh2AⅡ、工字形截面梁

b? h?y

a2FsM?dM

xhyFozs M dx(b) y(a)??? dx 图5?2(c)

1. 腹板上的切应力

切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b)的平衡条件，得

FS?1max?max?min(d) FsSzx (5-8) ??dIz式中，Fs为横截面上的剪力，d为腹板的宽度，Iz为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，Szx为距中性轴z为y的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z的静面矩

11??h??Szx?b??h????d??????y2?，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，在

22??2??腹板和翼缘交界处?min，在中性轴处?max，其值为

?max?FsSz,maxdIz (5-9)

式中，Sz,max为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z的静面矩，计算?min时，Szx为下(或上)翼缘的面积对中性轴z的静面矩。型钢时IzSz,max为型钢表中的IxSx。 腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。 2. 翼缘上的切应力

翼缘上的水平切应力沿其厚度?均匀分布，由图c所示微段的平衡条件得

FsSzx (5-10) ?1??Iz第 3 页 共 22 页

式中，?为翼缘的厚度，Fs和Iz的意义和(5-8)式相同，Szx为距翼缘端部为?的部分翼缘面

?h????h???积????对中性轴z的静面矩，Szx??????，?0???????，可见?1沿翼缘宽度按线

?22???22??性规律变化(图5-2，d)。

3. 切应力流

根据剪力Fs的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设Fs的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。

Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力

FSFS FS FSzzzz?max ?max?max?maxCCAy Cy y(b) (a)(c)y图5?3 (d)

对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。 Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁

图5-4a所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴FS?FSzC处，其方向与剪力Fs平行，其值为 z?max?max??式中，A?4Fs (5-11) 3Ayd(a)?maxR0C?max?4d。

2图5?4y(b) 图5-4，b所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力Fs平行，其值为

?max?2式中，A?2?R0?。 Ⅴ、切应力强度条件

Fs (5-12) A对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力Fmax所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即?max所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为

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?max?Fs,maxSz,maxbIz???? (5-13)

式中，Sz,max为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b为横截面在中性轴处的宽度，Iz为横截面对中性轴电惯性矩。

梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。

三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心

Ⅰ、非对称截面梁平面弯曲的条件

梁的横截面没有纵向对称轴时，只要荷载作用在梁的F形心主惯性平面xy内(横向力FzFF沿形心主轴)，或荷载作用面zxzz和梁的形心主惯性平面平行CCCA(横向力平行于形心主轴)，荷yIyz?0y载和梁的挠曲线位于同一平yy(b)(c)(a)面内(图5-5a)或荷载的作用面图5?5 和挠曲面平行(图5-5b)。梁产

生平面弯曲。当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c)。 Ⅱ、开口薄壁截面的弯曲中心A

1. 弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A表示。当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。

2. 几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置 b A ?z hzA CzzA?C?A?C?

yy22 Ay(a)bh?y(b)e?(e) (d)(c)4IZ图5?6

图5-6a,b中，弯心A和形心C重合；图5-6c中，弯心A位于对称轴z上；图5-6d,e中，弯心A位于两狭长矩形中心线的交点处。

3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。

例5-1 一铸铁梁如图a所示，已知材料拉伸时的强度极限为?b.t?150MPa，压缩时的强度极限为?b.c?630MPa。试求梁的安全因数。

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