几何概型中的一个题目两点思考

几何概型中的一个题目，两点思考

【题名】几何概型中的一个题目，两点思考 【关键词】古典概型 几何概型 概率

【摘要】①背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的。②在几何概型中，发生概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件也不一定是必然事件。 【期刊名称】《时代学习报·数学周刊》

（总第340期 高二年级（必修3）第9期）

【国内统一刊号】CN32－0078 【出版年】2007年10月31日

【相关文献】单蹲 苏教版《数学》必修3（2004）

教育部 普通高中数学课程标准(实验) （2003）

【正文】

数学课程标准中增加了概率统计等内容。在原来的教材中讲述概率部分内容时, 并未涉及几何概型, 只是介绍了古典概型。“几何概型”是普通高中数学课程标准(实验)课程框架中必修3模块第三章第三小节内容,是新增加内容之一。课程标准将其定位为信息化的现代社会“统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识”,但在要求上是“初步体会几何概型的意义,会进行简单的几何概率计算”。教学上的基本要求并不意味着课堂教学的简单化、机械化,恰恰相反,本节内容是极能体现新课程理念、将三维目标有机融合的重要载体,实现“知识与技能、过程与方法及情感态度与价值观”三位一体的课程功能。新的内容对教师来说更具有挑战性, 据此, 根据新课改的要求, 本文就教学中遇到的一个几何概型问题做出点滴思考。

几何概型与古典概型有联系又有区别。众所周知, 古典概型必须具备如下两个特点: 一、所有的基本事件只有有限个; 二、每个基本事件的发生都是等可能的。 其中的第一个特点, 即要求基本事件的个数是有限的, 这不能不说是一个很大的限制, 人们当然要竭力突破这个限制, 以扩大研究范围。几何概型与古典概型的区别之处就是试验的可能结果不是有限个,它的特点是试验的基本事件数是无限多个,每一个基本事件发生的可能性是等同的,且在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的

形状、位置无关,只与该区域的大小有关。与古典概型一样，几何概型也具有非负性、规范性(必然事件概率为1，不可能事件概率为0)和有限可加性。如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。即对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域d中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型。

和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率。它也是一种等可能概型。古典概型中基本事件只有有限多个，几何概型中基本事件则有无限多个，但基本事件都具有等可能性，概率的取值范围都是[0,1]。如果把几何概型中的测度用计数度量，那么可以得到古典概型的概率公式。一般地，在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率

P(A)?d的测度。所以，几何概型是古典概型的一个补充，更是一种推广。

D的测度在几何概型中，笔者遇到这样一个题目，有以下点滴思考。

题目： 如图1，?AOB?60?,OA?2,OB?5,在线段OB上任取一点C，试求： ⑴?AOC为钝角三角形的概率；

⑵?AOC为锐角三角形的概率。

A【分析】⑴要考虑?AOC为钝角三角形，应逐一考虑?AOC中各个角的情况，即?AOC,?ACO,?OAC分别在何种情况下为钝角，那么就应先找到临界状

OC B况，即?AOC,?ACO,?OAC分别在何种情况下为直角。

图1

由已知条件?AOB?60?,我们可以排除?AOC为直角或钝角的可能性。因此，我们只要考虑?ACO,?OAC为钝角的情况即可。

首先，我们看?ACO为直角的情况。显然，当且仅当AC?OB时，?ACO＝90?，不妨记这点垂足为C1（见图2），由此我们可以看出，当点C在线段OC1上（点O和点C1不计在内）时，?ACO为钝角。

O

AAC1

BOC2

B图2

图3

其次，我们来看?OAC为直角的情况。这时，可能会提出疑问：“?OAB也许本身就是锐角呢？那不是不需要考虑了吗？”事实上，由已知条件?AOB?60?,OA?2,OB?5,我们可以看到如果?OAB为直角，那么OB应该等于4，而不是等于5，所以?OAB应该是个钝角，不妨记OB上一点为C2，使得OC2＝4（见图3），显然?OAC2＝90?。由此我们可以看出，当点C在C2B上（点C2和点B不计在内）时，?OAC为钝角。 解：⑴设?AOC为钝角三角形为事件A,

?OA?2,AC1?OB,?AOB?60??OC1?1同理，OC2?4?C2B?1?P(A)?OC1?C2B1?12?? OB5525

答：?AOC为钝角三角形的概率为 。 【分析】⑵ ?AOC为锐角三角形的概率，即

“1－?AOC为钝角三角形的概率－?AOC为直角三角形的概率”。

?AOC为直角三角形，只有点C在点C1处或C2处两种情况，即为Rt?AOC1和Rt?AOC2两种情

况，其概率均为0。

解：⑵设?AOC为锐角三角形为事件B，

?P(Rt?AOC1)?点C1的长?0OB长点C2的长P(Rt?AOC2)??0OB长23?0?0?55

?P(B)?1?P(A)?P(Rt?AOC1)?P(Rt?AOC2)?1?答：?AOC为锐角三角形的概率为。

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【思考1】第⑴问中，当确定了点C在OC1和C2B上以后，从面积的角度计算：

P(A)?S?AOC?S?ABC12S?AOB，结果也是正确的。不禁让我想到背景相似的问题：当等可能的角度

不同时，其概率是不是一定一样呢？

例如：①在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。

C 【分析】 点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC'内时，AM?AC，故线段 AC'即为区域d。A M

C'

B

解： 在AB上截取AC'?AC.于是

AC'AC2P(AM?AC)?P(AM?AC)???.

ABAB2'答：AM小于AC的概率为2 。2变式：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM<30°的概率。 解：P(?CAM?30?)?CMtan30??AC3 ??CBCB3又例如：②如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在?ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交与点M，求AM小于AC的概率。 【分析】 射线CM在?ACB内是等可能分布的。

C 解：在AB上取AC'?AC，则?ACC'?67.5?， ?满足条件的概率为

67.53＝. 904变式：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，求∠CAM<30°的概率。

A M

C'

B

解：P(?CAM?30?)??CAM的测度2?.

?CAB的测度3由此可见，“背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的”。 【思考2】众所周知，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。但是，反之却未必成立，即由P（A）＝0不能推出A为不可能事件，由P（A）＝1也不能推出A为必然事件。当考虑的概率模型为古典概率模型时，概率为0的事件一定是不可能事件；当考

虑的概率模型是几何概率模型时，概率为0的事件未必是一个不可能事件。

比如第⑵问中，直角三角形的概率为0（因为d的测度为0），它并不是不可能事件！并且，问题1中“钝角三角形的概率+锐角三角形的概率＝1”，但它并不是必然事件。由此，我们也可以知道，在几何概型中，概率为1的事件不一定是必然事件。

笔者不禁想到在教学过程中有学生提出这样的问题：“书上是这么说的，必然事件的概率为P(A)＝1，不可能事件的概率为P(A)=0，随机事件的概率为0≤P(A)≤1。但我（教学过程中遇到的某学生）认为随机事件的概率不能为0，也不能为1，所以随机事件的概率应为0<(A)<1。”当然，“随机事件的概率不能为0,也不能为1,”这个想法是错误的！比如, 有理数在数轴上几乎不存在(其测度为0), 故在数轴上随机取一点, 取得有理数的概率为0, 但它却不是不可能事件(因数轴上的确存在有理数)。 同理取到无理数的概率为1，但它不是必然事件。

例：（1）P（A）＝0，A不是不可能事件的例子。

有一个随机点在D?{(x,y):x2?y2?4}任意移动,

令A?{(x,y):x2?y2?4}, 问该随机点刚好压着边界A的概率是多少？ 解: P(A)?A的面积0＝＝0

D的面积4?即A的概率为0, 但是当然有可能随机点刚好压着边界A， 因此，P（A）＝0，但A不是不可能事件。 （2）P（A）＝ 1，A不是必然事件的例子 由（1）中的A, A?{(x,y):x2?y2?4}。 解：P(A)?A的面积4?＝＝1

A的面积4? 即A的概率为1，但是显然随机点不是必定落在圆内， 因此，P(A)?1,但A不是必然事件。

概率是研究随机现象的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决新局面问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，在日常生活中，有着广泛的应用。多思考，相信会有许多意外的收获。

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