第3-1章 正弦交流电路相量法

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第3章 正弦稳态电路重点内容 相量与正弦量的关系；电阻、电容和电感元件电压和电流

的相量关系。注意：相量是正弦量的一种表示方法，它们之间是一一对应

关系，而相量不等于正弦量。

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介绍 复数一、复数的几种表达形式<一> 代数形式: jj 1

A a1 ja2<二> 三角形式：A A (cos j sin )

A1

2 2 为模(或幅值); A a1 a2

a2 tg a1 <三> 指数形式：

称为A的幅角。

A A e j e j cos j sin

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<四> 极坐标形式：A A e j

A A

A +1

二、复数的运算

A a1 ja2 A (cos a j sin a ) A e j a A a B b1 jb2 B (cos b j sin b ) B e j B B b<一> 加减运算(用代数形式)

A B (a1 ja2 ) (b1 jb2 ) (a1 b1 ) j(a2 b2 )

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几何意义：j B A-B A 1 A+B B

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<二> 乘法运算

A B (a1 ja2 ) (b1 jb2 ) (a1b1 a2b2 ) j(a2b1 a1b2 )A B A e j A B e j B A B e j ( A B ) A B A B几何意义： j A*B

B

A 1

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<三> 除法运算 a1 ja2 (a1 ja2 )(b1 jb2 ) a1b1 a2b2 a2b1 a1b2 A B j 2 2 2 2 2 2 b1 jb2 b1 b2 b1 b2 b1 b2 A e j a A j ( a b ) A A B e ( a b ) j B B B Be 几何意义： j

B

A 1

A/B

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3.1 正弦量的三要素一、正弦量的三要素 随时间按正弦规律变化的电压或电流都称为正弦量。(即 能用sin或cos表示的电压、电流)。

i= Imsin( t+ i)幅值 角频率 初相位 0

i

t正弦波

正弦量的三要素

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1.角频率( )

i= Imsin( t+ i) i

单位：rad/s,它是反映正弦量变化快慢的要素。 、T和f三者之间的关系:1 f T

2 f2 T

0

T

t

* 电网频率(工频):我国50Hz,美国、日本60Hz 在工程实际中，往往以频率的大小作为区分电路的标志， 如高频电路，低频电路。

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2.幅值与有效值

i= Imsin( t+ i)

瞬时值：i、u、e 幅值：Im、Um、Em 有效值：I 、U 、E 。 周期T内交流电所做的功w1 i 2 Rdt0 T

周期T内直流电所做的功w 2 I 2 RT

w1 w2 T 1 T 2 2 2 I RT i Rdt I i dt 0 0 T 当周期电流为正弦量时，其有效值为 1 T 2 1 cos2( t i ) 1 T 2 Im dt I I m sin( t i ) dt T 0 2 T 0 Im 0.707 I m 2根据有效值概念，应该有

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3.初相位

相位：正弦量在t时刻的相角，即 t i ( t i ) / t 0 i 初相位：正弦量在t=0时刻的相角， 单位：弧度或度 ( 0 ) 。 i i

i= Imsin( t+ i)

Yi的大小与计时起点的选择有关。4.相位差(同频率) u U m sin( t Ψ u )

u

i I m sin( t i )

u

i 0

t

相

位差：相位之差

( t u ) ( t i ) u i u i (与t无关)

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相位差是区分两个同频率正弦量的重要标志之一。

u i 0, 电压超前电流，即电压先达到最大值。 u i 0, 电压滞后电流，即电流先达到最大值。 u i 0,2

电压与电流同相。

u i , 电压与电流正交。 u i , 电压与电流反相。

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3.2 正弦量的相量表示一、正弦量的相量j 欧拉公式： cos j sin e

i 2I sin( t i ) Im[ 2Ie j ( t i ) ] Im[ 2Ie j i e j t ]

Ie j i I I ie j t 旋转因子

正弦量的相量。 e j t ] I Im[ 2I

j, j,

1, 也为旋转因子

相量本身就是复数，因此，相量可以用复平面描述，此时 复平面图就叫相量图。 i1 100 2 sin( 314t ) A 3 100e I 1 j 3

i1+1

A 100 A 3

相量图

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二、正弦量的运算(同频率而言，用相量来进行运算)

<一> 实常数乘上正弦量 i1 2 I1 sin( t 1 ), i ki1 ,

i ki1 k Im[ 2I1e j 1 e j t ] Im[ 2kI1e j 1 e j t ] kI e j 1 kI I1 1

<二> 正弦量的代数和

t 2 ), i1 2 I1 sin( t 1 ), i2 2I 2 sin( , i I , , i I i i1 i2 , i I 1 1 2 2

i 2I1 sin( t 1 ) 2I 2 sin( t 2 ) e j t ] Im[ 2I e j t ] Im[ 2I 1 2 I )e j t ] I I Im[ 2( I I 1 2 1 2

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即：(a)两个正弦量的代数和可以转化为其对应的相量和， (b)同频率正弦量的代数和仍为一个同频率正弦量。

例1:已知电流i1和i2 ,求电流i1和i2之和i。 j 3 100 i1 100 2 sin( 314t ) A I1 100e 3 3 5 j 5 5 6 I 220 e 220 i2 220 2 sin( 314t ) A 2 6 6 5 j j 5 3 6 100 220 I I I 100e 220e1 2

(50 j50 3 ) ( 110 3 j110) 241.66 125.56 241.66e j 125.56

3

6

i 241.66 2 sin( 314t 125.56 ) A

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<三> 正弦量的微分 I e j 1 , i1 2 I1 sin( t 1 ), i1 I 1 1 di1 Ie j i , i , i I dt di1 d d e j t ) i ( 2 I 1 sin( t 1 )) Im ( 2 I 1 dt dt dt j e 2 e j t ) j e j t ) Im( 2 I Im( 2I11

I I 1 I j I1 t 1 ) i 2 I1 sin( i 1 2 2

即：(a)正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦量； (b)导数的相量等于原相量乘以j ,即一个正弦量的导数所 表示的相量的模是原相量的

倍，初相角超前原相量90度。

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<四> 正弦量的积分

I e j 1 , i1 2 I1 sin( t 1 ), i1 I 1 1i i1dt 2 I 1 sin( t 1 )dt

Ie j i , i I

e j t )dt e j t )dt Im ( 2 I Im( 2 I 1 1 I I1 / I1 j t I1 Im( 2 e ) I i 1 j j 2 2 I1 i sin( t i ) 2 即：1)正弦量的积分仍为一个同频率的正弦量；

2)正弦量的积分对应的相量等于原正弦量相量除以j 。即 一个正弦量的积分所表示的相量的模是原相量的 分之 一，初相角落后原相量90度。

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3.3 相量法的分析基础一、KCL、KVL的相量形式 根据KCL有：

i 0 u 0

相量形式的KCL有： I 0 根据KVL有：

0 相量形式的KVL有： U二、电路元件R、L、C的电压、电流关系的相量形式

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<一> 电阻R

I e j i iR 2I R sin( t i ) I R R U e j u u 2U sin( t ) UR R u R R

时域关系形式：相量关系形式：

uR i R R

RI U R R I R

iR

U R I R R u i

+uRR

+ U RR

U R I R+1

–时域关系示意图

–相量关系示意图

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<二> 电感L

I e j i iL 2I L sin( t i ) I L L U e j u uL 2U L sin( t u ) U L L diL 时域关系形式： uL L dt U L LI L j LI 相量关系形式： U L L u i 2 iL I L U L + I + L

uL

L

–时域关系示意图

U L

j L

–相量关系示意图

+1

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<三> 电容C

I e j i iC 2IC sin( t i ) I C C U e j u uC 2U R sin( t u ) U C C duC 时域关系形式： ic C dt I C CU C 相量关系形式： IC j CUC i u 2 iC I C

+uCC

+ U C

I C+1

–时域关系示意图

–

1 j C U C

相量关系示意图

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<四> 线性受控源(同样可以用相量法来处理) U uk ui U k i 线性电阻、电感、电容的两端电压以及流过它们电流的相量 形式的约束关系都跟电阻的欧姆定律相似，所以称它们为相

量形式的欧姆定律。 例：已知一个元件的电压为关联参考方向，且电压和电流分别为u 10sin( 100t )V i 2 cos( 100t ) A

试问该元件为什么元件(R、L、C)。

i 2 cos100t 2 sin( 100t 90 )

所以该元件为C

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