梯形添加辅助线常用方法例析

初中数学梯形练习复习 梯形添加辅助线常用方法例析

梯形添加辅助线常用方法例析

梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此，笔者根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀，这里介绍给大家并举例说明之。

梯形问题中，转化很重要，

平移对角线，平移梯形腰，

作出梯形高，延长两腰来相交，

中位线要想到，一腰中点等积变。

例1. 如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BD，求证：AB＝

CD

图1

证明：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E。因为DE//AC，所以 E 1。又因为AD//BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以AC＝DE，又因为AC＝BD，所以BD＝DE，所以 2 E，所以 1 2

在 BDC和 ABC中

BD AC

2 1

BC BC

所以 BDC ABC

所以AB＝DC

例2. 如图2，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，求证： B C

图2

证明：过点D作DE//AB，交BC于一点E，因为AB//DE，所以 B 1。又因为AD//BC， 1

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所以四边形ABED为平行四边形，所以AB＝DE，又因为AB＝DC，所以DE＝DC，所以 1 C，所以 B C

例3. 如图3，在梯形ABCD中， B 45 ， C 60 ，AD//BC，AD＝3，DC＝6，求梯形的面积S。

图3

解：过点A、D分别作AE BC，DF BC，垂足分别为E、F

在Rt DFC中，因为 C 60 ，所以 1 30 所以CF 1

2CD 3，DF 33

在Rt AEB中，因为 B 45 ，所以AE＝BE，因为AD//BC，AE BC，DF BC，所以四边形AEFD为矩形，所以AD EF 3，所以AE DF BE 33，所以S 1

2(AD BC) AE 1

2(3 33 3 3) 33 27 273

2

例4. 已知，如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，求证：梯形ABCD为轴对称图形。

图4

证明：延长BA、CD交于点E，过点E作EG BC，交BC于G，交AD于F，因为AB DC，所以 B C。又因为AD//BC，所以 1 2，因为EG BC，所以EF AD，即EG垂直平分AD、BC。又因为AB DC， B C，所以梯形ABCD关于EG对称，所以梯形ABCD为轴对称图形。

例5. 如图5，已知梯形ABCD中，AD//BC，E为AB的中点，且DC AD BC，求证： DEC 90

2

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图5

证明：取CD中点M，连结EM，因为EM为梯形ABCD的中位线 所以EM 1

2(AD BC)

又因为DC AD BC，所以EM 1

2DC

所以 DEC为Rt ，所以 DEC 90

例6. 如图6，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：（MN//BC；（2）MN 1

2(BC AD)

图6

证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E，因为DN CN， 1 2 D 3

所以 ADN ECN

所以AN EN，AD CE

又AM MB

所以MN是 ABE的中位线，所以MN//BC，MN 1

2BE

因为BE BC CE BC AD

所以MN 1

2(BC AD)

3 1）

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