锐角三角函数专题复习资料

知识点总结

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a2?b2?c2 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系 ?A的对边0?sinA?1 正asinA? sinA? 斜边c弦 (∠A为锐角) ?A的邻边0?cosA?1 余bcosA? cosA? 斜边c弦 (∠A为锐角) ?A的对边tanA?0 正atanA? tanA? ?A的邻边b切 (∠A为锐角) ?A的邻边cotA?0 余bcotA? cotA? ?A的对边a切 (∠A为锐角) sinA?cosB cosA?sinB sin2A?cos2A?1 tanA?cotB cotA?tanB tanA?1(倒数) cotA tanA?cotA?1 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B sinA?cosB由?A??B?90?sinA?cos(90??A) 对斜边 c cosA?sin(90??A)cosA?sinB得?B?90???Aa 边 b A C 邻边

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tanA?cotB cotA?tanB 由?A??B?90?cotA?tan(90??A) 得?B?90???A tanA?cot(90??A) 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 sin? 0° 0 10 - 30° 1245° 222260° 3 21290° 1 0- 0 cos? tan? cot? 3 23 3 1 1 3 3 33

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤?≤90°时，sin?随?的增大而增大，cos?随?的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当0°

8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：a2?b2?c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

9、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

铅垂线仰角俯角视线水平线h

i?h:llα视线

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i?形式，如i?1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作?(叫做坡角)，那么i?h。坡度一般写成1:m的lh?tan?。 l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

边角专项复习

一．填空题

1．计算：sin60?? ；tan60?? 。

32．在Rt?ABC中，已知sin??，则cos?? ；?? 。（精确到1秒）

53．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 。 4．比较下列三角函数值的大小：（用“?”小于号连接）

?85,s?in sin?5,sin，它们的大小为： 。 15．若?A是锐角，cosA?，则sin(90??A)? 。

3A

B C

6．若?A是锐角，cosA?2，则?A? 。 27．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上的一点，测得

?ABC?30?，?ACB?60?，BC?50米，则A到岸边BC的距离是 米。。 8．tan30??(tan15?25'19\0? 。

9．一天在升旗时小苏发现国旗升至5米高时，在她所站立的地点看国旗的仰角是45?，当国旗升至旗杆顶端时国旗的仰角恰为60?，小苏的身高是1米6，则旗杆高 米。（将国旗视作一点,保留根号）

sin30??tan60?? 。 10．化简：

sin60?1111．在?ABC中，若?C?90?，sinA?，AB?，则?ABC的周长为 。

2212．在?ABC中，若?A为锐角，且sinA?0.53，tanB?0.82， 则?C? 。(精确到1秒)

二．选择题

1．在一个钝角三角形中，如果一个三角形各边的长度都扩大3倍，那么这个三角形的两个锐角的余弦值（ ）

A．都没有变化 B．都扩大3倍

1C．都缩小为原来的 D．不能确定是否发生变化

32．在?ABC中，?A:?B:?C?1:2:1，?A,?B,?C对边分别为a,b,c，则a:b:c 等于（ ）

A．1:2:1 B．1:2:1 C．1:3:2 D．1:2:3

3．解Rt?ABC，?C?90?，?A,?B,?C对边分别为a,b,c，结果错误的是（ ） A．b?ccosA B．a?btanA C．a?csinA D． a?btanB 4．计算sin260?tan45??(?A．

1?2)结果是（ ） 3911911 B． C． ? D．?

44445．若sinA?cosA?2，则锐角A等于（ ）

A．30? B．45? C．60? D．90?

6．等腰三角形的顶角是120?，底边上的高为30，则三角形的周长是（ ） A．120?303 B．120?603 C．150?203 D．150?33 7．在?ABC中，?C?90?，且两条直角边a,b满足a2?4ab?3b2?0，则tanA等于（ ） A．2或4 B．3 C．1或3 D．2或3

8．在?ABC中，?A,?B,?C对边分别为a,b,c，a?5,b?12,c?13，下列结论成立的是（ ）

125512 B．cosA? C．tanA? D．cosB? 5131213三．不用计算器计算：

sin30??cos45? （1） （2）(tan45?)2?cos230??2cos30??1

cos60??sin45?

sin35??2sin60? （3）3tan30??1?cos55?

四．解答题

A．sinA?1．如图，在Rt?ABC中，?BCA?90?，CD是中线，BC?6,CD?5，求sin?ACD,cos?ACD和tan?ACD。

D B C 2．如图，甲楼每层高都是3.1米，乙楼高40米，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角为30?，两楼相距有多远？（结果精确到0.1米） 30?

2．一艘船由A港沿东偏北30?方向航行20千米至B港，然后再沿东偏南60?方向航行20千米至C港，求：（1）A，C两港之间的距离（结果精确到0.1千米） （2）确定C港在A港的什么方位？

3．如图，Rt?ABC是一防洪堤背水波的横截面图，斜坡AB的长为13米，它的坡角为45?，

A 1:1.5为了提高防洪堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比的斜坡AD，求DB的长（结果保留根号）

A D

B C

4．如图，气象大厦离小伟家80米，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是42?，而大厦底部的俯角是34?，求该大厦的高度（结果精确到0.1米）

42?

34?

80米

5．燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图是一个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B为65?，外口宽AD=150mm，燕尾槽的深度为60mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）

A B 150 D 60 C 65?

直角三角形的边角关系测试题1

一:选择题

1、Rt?ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，cosB的值为…………………【 】

1343 B、 C、 D、 553412、已知∠A +∠B = 90°，且cosA=，则cosB的值为……………………【 】

514226 A、 B、 C、 D、

5555 A、

3、在菱形ABCD中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD的长是…………………【 】 A、 83 B、43 C、23 D、8 4、在Rt?ABC中，∠C=90° ，tanA=3，AC=10，则S△ABC 等于………【 】 A、 3 B、300 C、

50 D、1５0 3５、一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t（秒）之间 的关系为Ｓ＝10t?2t,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为……【 】

2

A、 72米 B、36米 C、363米 D、183米

6、在Rt?ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A、a?c?sinB B、a?c?cosB C、c??a D、c?a?sinA tanB7、若∠A为锐角，tanA?tan32?1，则∠A等于…………………………【 】 A、32 B、58 C、(??11?) D、()? 32588、如果把Rt?ABC的三边同时扩大n倍，则sinA的值……………………【 】 A、不变 B、扩大n倍 C、缩小n倍 D、不确定

?ABC中，9、∠C=90°，AC=25，∠A的角平分线交BC于D，且AD=

415， 则tanA的值为【 】 3A、

81315 B、3 C、 D、 53310、如图?ABC中，A D是B C上的高，∠C=30°，BC=2?3 ，tanB?1， 那么AD的长度为【 】 2A、

1313 B、1 C、? D、1? 2322二：填空题

11、如图P是??的边OA上一点,P的坐标为(3,4), 则sin?? 。

?12、等腰三角形的腰长为10cm，顶角为120，此三角形面积为 。 13、已知方程x?7x?12?0两根为直角三角形的两直角边 ，则其最小角的余弦值为 。 14、如图甲、乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼 顶仰角为?=30，观测乙楼的底部俯角为?=45，试用含?、?的 三角函数式子表示乙楼的高h? 米。 15、在Rt?ABC中，∠C=90° ，CD是AB边上的中线，BC=8， CD=5，则tan?ACD? 。

2三：计算

16、计算2cos30??tan45??tan60??(2?1)0

18、在Rt?ABC中，∠C=90° ，且sinA?

1，AB=3，求BC，AC及?B. 2

19、已知，四边形ABCD中，∠ABC = ∠ADB =90，AB = 5，AD = 3，BC = 23，求四边形ABCD的面积

0S四边形ABCD.

四：解答题

20、欲拆除一电线杆AB，已知电线杆AB距水平距离14m的D处有有大坝，背水坡CD的坡度i?2:1，坝高

C F为2m，在坝顶C处测地杆顶的仰角为30，D、E之间是宽度位2m的人行道。试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全是否需要将此人行道封闭？请说明你的理由（在地面上以B为圆心，以AB为半径的图形区域为危险区域，3?1.732,2?1.414）。

?

直角三角形的边角关系测试题2

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（ ） A.4/5 B.3/5 C.3/4 D.4/3

2、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 3、等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（ ） A．4

B．23

C．2

D．22 4、如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD长为（ ） A．83

B．43

C．23

D．8

D．a?btanA

5、在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（ ）

A．a?csinB B．a?bcosB C．c?atanB

26、△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB?3|?（2sinA?3）?0，则△ABC是（ ）

A．直角（不等腰）三角形 C．等腰（不等边）三角形 7、已知tan??1，那么

B．等腰直角三角形 D．等边三角形

2sin??cos?的值等于（ ）

2sin??cos?

A．

1 3B．

1 2C．1 D．

1 68、如图2，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ） A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500tan35°米

9、如图3，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=?，且cos?=A ．3

B．

3，AB=4， 则AD的长为（ ） 516 3 C．

20 3 D．

16 510、如图4，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（ ） A．1

B．2

C．2 2

D．3 二、耐心填一填：

11．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 12、在△ABC中，∠C＝90°，sinA=

3，cosA 50

0

13、比较下列三角函数值的大小：sin40 sin50 14、化简：

sin30??tan60??

sin60?15、若?A是锐角，cosA >

3，则∠A应满足 20

16、小芳为了测量旗杆高度，在距棋杆底部6米处测得顶端的仰角是60，小芳的身高不计，则旗杆高 米。

17、在?ABC中，若?C?90?，sinA?0

1，AB?2，则?ABC的周长为 218、已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=23，那么AP的长为 三、细心做一做：

19、如图，CD是平面镜，光线从A出发经CD上点E发射后照射到B点。若入射角为α， A AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=11求tanα的值。

C

B α E D

20、在?ABC，?C?90?，BC?3,AB?5，求sinA,cosA,tanA的值。

21、如图，在Rt?ABC中，?BCA?90?，CD是中线，BC?5,CD?4，求AC的长。

A D

B C

22、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为0

45（如图所示），求挖土多少立方米。 DC AB

23、如图10，在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC与地面成45°角，试求两根拉线的长度．

四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分。）

24、如图11为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？

25、如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β(此时C、D、B三点在同一直线上). (1)用含α、β和m的式子表示h ；

(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h的值. （精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）

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