2010年上海世博会门票销售策略再研究(2)

2010年上海世博会门票销售策略再研究

数学建模论文

0906020416卜旸 通信工程 0906020410胡经纬 通信工程 0906020203 欧阳星辰 通信工程

2011/6/20

2010年上海世博会门票销售策略再研究

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2010年上海世博会门票销售策略再研究

目录

摘要 .................................................................................................................................................. 3 关键词 .............................................................................................................................................. 3 一、问题重述 ................................................................................................................................... 4 二、模型假设 ................................................................................................................................... 4

2.1问题1的假设 ..................................................................................................................... 4 2.2问题2 的假设 .................................................................................................................... 5 2.3问题3的假设 ..................................................................................................................... 5 2.4问题4的假设 ..................................................................................................................... 6 2.5问题5的假设 ..................................................................................................................... 6 三、符号系统 ................................................................................................................................... 6 四、模型建立与求解 ....................................................................................................................... 6

4.1、票价线性回归模型的建立与求解 .................................................................................. 6

4.1.1每日平均票价的确定 .............................................................................................. 6 4.1.2相关因素分析 .......................................................................................................... 9 4.1.3建立票价多元线性回归模型 ................................................................................ 12 4.1.4模型分析与改进 .................................................................................................... 13 4.1.5根据票价的多元线性回归模型确定新的售票方案 ............................................ 15 4.2排队时间的模型建立及求解 ........................................................................................... 18

4.2.1模型一（过山车模型）(Enlarge C) ...................................................................... 18 4.2.2模型二（phonebooth 排队论及M/M/s模型） ................................................ 19 4.2.3模型求解 ................................................................................................................ 21 4.2.4模型分析 ................................................................................................................ 22 4.3建立模糊综合评判模型进行夜票作用分析 ................................................................... 24

4.3.1确定被评对象的因素论域U ................................................................................ 24 4.3.2设定评判等级域 .................................................................................................... 24 4.3.3进行单因素评判 ................................................................................................... 25 4.3.4确定权重分配向量A ............................................................................................ 25 4.3.5进行模糊矩阵变换，得出评判结果 .................................................................... 25 4.4游客游览大馆和小馆数目的计算 ................................................................................... 26

4.4.1建立模型 ................................................................................................................ 26 4.4.2模型分析 ................................................................................................................ 29 4.5引进加快票可行性分析 ................................................................................................... 29

4.5.1问题分析 ................................................................................................................ 29 4.5.2问题论证 ................................................................................................................ 30

五．模型推广 ................................................................................................................................. 31 六．结论......................................................................................................................................... 31 七．参考文献 ................................................................................................................................. 32 附录 ................................................................................................................................................ 32

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2010年上海世博会门票销售策略再研究

摘要

针对世博会期间每天接待的游客数存在极大不平衡性的问题，我们通过分析每天入园人数与票价等各因素之间的关系，利用Matlab软件建立票价多言线性回归模型，根据得出的票价与人数关系，依据削峰填谷的原理，重新设置指定日，并引入周末票，设定5月1日——5月20日为第一阶段指定日，10月14日——10月24日为第二阶段指定日，并对指定日与周末票重新定价，重新定价后第一阶段指定日普通票为145元，第二阶段指定日普通票为295元，周末票为200元，以达到平衡每日入园人数的目的。在新的票价系统条件下，依据phonebooth 排队论建立M/M/s模型，以沙特馆为例，得出在每天入园人数平衡的条件下，排队时间由原来的4小时减少到51min。针对每个游客平均参观的热门大馆和小馆的问题，我们分析认为每个馆的等待时间是可以成比例的，以平均后的沙特管的等待时间为基准算出其它展馆的等待时间，由此得出游客游览的大馆和小馆的数目。针对现时销售夜票的策略，通过模糊综合评判的方法，由最大隶属原则得出引入夜票是有利的结论，有必要继续施行这一策略。针对加快票的引入，我们通过分析等待时间的边际成本，得出引入加快票是有利的结论，并设置票价在各类票的现有价格基础上增加20——23元。在新的销售策略下，参观世博会的总人次由7308.4万人上升至8637.49万人，总收入由1169280万元上升至1490598.4万元，平均一天接待的游客数为46.9万人，一天接待游客最大数与最小数的比值为2.59，平均一个游客参观热门大馆数为两个，小馆数为四个。

关键词

多元线性回归分析 phonebooth排队论 模糊综合评判 夜票 加快票

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一、问题重述

1.1问题背景

2010年上海世界博览会共开园184天，接待游客7308.3万人次，世博会期间每天接待游客最少为8.89 万，最多为103.28万，存在着极大的不平衡性。园区一些热门场馆，如沙特馆等游客排队长达7-8小时，耗费了游客大量的时间，现时的门票销售策略并没有很好地起到官方希望平衡参观人数的作用。针对世博会中出现的问题，题目要求重新设计世博会门票销售策略，以达到每天人数尽量均衡的目标，同时满足以下各个条件：组织方门票总收入不少于现时总收入总的参观人数（非人次）不少于现时总的参观人数，尽量减少游客排队等待的时间，世博期间每个游客平均参观的热门大馆和小馆的数量不减。

1.2需解决的问题

问题1、指定新的门票销售方案，实现下列条件：

（1）组织方门票总收入不少于现时总收入；

（2）总的参观人数（非人次）不少于现时总的参观人数； （3）每天的人数尽量均衡；

问题2、建立相关模型制定减少游客排队时间的方案。 问题3、确定新的门票销售方案下游客游览大、小馆的数目。 问题4、分析夜票的作用并做出评价。

问题5、分析有无必要引入加快票，若有必要，试确定其价格。

二、模型假设

2.1问题1的假设

（1）假设现有每天参观人数（非人次）中有1/4的游客入园一次，1/2的游客入园两次，1/4的游客入园三至十次。

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（2）假设入园三到十次的游客均购买三次票或七次票，且各占一半。 （3）假设忽略免票儿童所占比例。

（4）求每日票价时只考虑平日票、指定日票、夜票、三次票和七次票。 （5）只考虑会期门票价格。

（6）假设不限定每日入园人数，世博园容纳旅客量为无穷大。

2.2问题2 的假设

（1）改变策略后每天人数基本相等，截止至10月16日及世博开园173天沙特馆一共接待了400w游客，改变策略后每天人数为400w/173=23121 。

（2）改变策略后夜票和日票比例与总票数相似，白天比夜晚为2.7：1。日票为9点~17点(8小时 )为1.6872w张；夜票为17点~22点（5小时）6249张。

（3）改变策略后的沙特馆可以尽可能减少窗口但空闲率不超过1，满足人们需求。

（4）假设沙特馆内容量为无穷大及可以容纳无穷多的游客，游客时间只消耗的排队等待上，而不是由于容量问题产生的等待其他游客出馆的时间。

（5）因沙特馆内有巨型屏幕播放视频及活动，游客一般会游玩35分钟（数据来自网络亲生日志体验）。

（6）模型考虑中间段游客的等待时间及需要等待前面游客出馆才可进馆。

2.3问题3的假设

（1）我们将平均后排队时间在0~30分钟的展馆排队时间设定为15min，30~45分钟馆平均时间设定为40min；45分钟以上的按比例进行。

（2）同时排队时间在30分钟以上的馆游玩时间为40分钟，30分钟以下的展馆游玩为平均20分钟

（3）假设每位游客进馆平均游玩的时间为8小时，且会使用完全，不允许重复游玩。

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2.4问题4的假设

（1）以网上搜集到的在世博会中使用过夜票的游客对世博夜票的评价作为建立单因素评价矩阵的依据。

（2）假设合成算子M(?,?)在本模糊评判模型中适用。

2.5问题5的假设

（1）境外游客以发达国家的平均水平为参照。 （2）较远地区游客以全国城市平均收入为参照。 （3）游览时间为8小时，均为工作时间。

三、符号系统

R：当日入园人数 P：当日平均票价

W：当日天气（0为无雨、1为有雨） S：是否假期（0为否、1为是） d：世博会开始天数

j：世博会阶段（5月6月为1，7月8月为2，9月10月为3）

四、模型建立与求解

4.1、票价线性回归模型的建立与求解

4.1.1每日平均票价的确定

为了建立每日票价的多元线性回归模型，我们设定了如下方案计算每日的平

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均票价（p）：

世博会各类票种价格：平日票160元；指定日票200元；夜票90元；三次票400元；七次票900元。[1]根据模型假设，此处只考虑平均票价只与这四种票价有关。同时根据卖出3次票和7次票的数量各位当天入园三到十次人数的一半，即总人数的1/8，设当日购买夜票人数与入园总人数之比为D，可以得出每日平均票价计算方法：

平日：1/8*400/3+1/8*900/7+90*D+160*（1-1/4-D）； 指定日：1/8*400/3+1/8*900/7+90*D+200*（1-1/4-D）；

然后用C语言编制了API界面的每日平均票价计算器。部分天数因世博官网上缺少数据而空缺，且世博最后18天无夜票数据，故计算出的平均票价相同，但样本总数任足够大，对最终结论影响较小。得出每日平均票价为：

世博每日平均票价

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5月 6月 7月 149.44 149.161 149.115 149.878 150.28 150.112 149.268 149.157 149.24 149.329 150.321 150.03 150.375 150.156 149.405 149.915 149.876 149.534 149.804 150.055 150.377 150.385 150.706 150.18 150.272 150.14 141.778 148.873 149.733 150.085 7

148.659

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15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 150.121 150.119 150.332 150.059 149.995 150.417 150.6 149.981 150.466 149.096 149.517 149.292 149.133 148.867 147.89 147.718 148.002 148.478 149.408 149.63 149.418 148.839 148.432 147.097 149.716 149.626 149.505 148.961 149.698 150.089 150.289 149.922 149.749 149.437 149.827 149.697 150.524 150.21 150.341 150.819 150.39 151.004 150.976 150.833 150.242 150.077 150.142 8月 9月 10月 187.571 190.314 192.538 187.758 187.781 180.391 178.709 146.314 143.736 146.758 147.548 148 147.292 147.473 147.708 149.469 149.272 148.584 148.684 149.839 149.271 149.658 149.285 148.691 8

146.946 147.802 148.291

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10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

148.421 148.098 147.667 147.258 148.928 149.954 150.743 149.06 148.18 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 146.666 147.46 147.911 150.198 149.92 149.616 149.589 150.112 150.57 150.371 148.348 148.355 147.724 147.961 150.391 149.542 149.465 148.898 149.123 148.168 149.776 148.358 148.219 147.241 143.9 148.367 148.316 148.718 149.169 149.046 149.135 148.952 150.005 149.996 149.651 4.1.2相关因素分析

直接寻找与每日平均票价有关的因素较为困难，考虑到我们确定新票价方案的目的是平衡每日参观人数，又有在上面计算过程中发现票价与人数之间可能存在线性关系，故首先分析可能影响人数的因素以从中确定影响票价的因素。

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（1）时间因素分析

利用MATLAB绘制天数——人数散点图

点的分布人数（R）随天数（d）变化类似三次方关系，由此估计人数为天数的三次函数，设d2=d^2, d3=d^3 。 （2）阶段因素

由图像还可观察出人流与世博会开展阶段有关，设阶段变量j，将世博会按时间顺序分为三个阶段，5，6月为第一阶段，j=1；7，8月为第二阶段，j=2；9，10月为第三阶段，j=3 。 （3）周末因素

分析图像中的峰值发现小范围内人数呈周期性变化，周期为7天，周末多为峰顶。因而推测人数与是否周末有关系，设周末变量S，S=0为非周末，S=1为周末。

（4）天气因素

旅客数量应该还与天气有关，故搜集世博会期间天气数据，设天气变量w， W=0为无雨，w=1为有雨。

世博期间天气情况表格

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月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 5月 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 6月 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7月 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 11

8月 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9月 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 100 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

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27 28 29 30 31

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4.1.3建立票价多元线性回归模型[2]

（1）根据因素分析，建立票价p与各因素之间的线性回归模型：

p=b0+b1R+b2d+b3d2+b4d3+b5w+b6S+b7j+e

其中e表示随机误差，为各种随机因素对p的影响的总和，且服从正态分布，

e?N(0,s2)。

利用最小二乘法可以得到各个回归系数b的估计值bi，i=0、1、2??7。 线性回归模型为：

??0+b?R+b?d+b?d+b?d+b?w+b?S+b?j ?=by123243567（2）利用matlab软件进行模型求解

利用matlab工具箱中多远线性回归函数 regress编写线性回归程序，代入搜集好的数据进行回归分析。

第一次执行结果（列出：相关系数b,相关系数置信区间bint,统计变量s）： b =

146.0082 -0.6744 1.3924 -0.0173

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0.0001 -0.6065 5.1348 0.4108 bint =

116.7469 175.2695 -0.9410 -0.4078 0.4211 2.3637 -0.0309 -0.0037 0.0000 0.0001 -4.9867 3.7736 0.7332 9.5363 -19.1053 19.9268 s =

0.9588 146.1431 0 49.0134

4.1.4模型分析与改进

由matlab命令finv（a，1，n-2）得F,n-1)值为0.0040 1-a(1拟合优度为0.9589，F>F,n-1)，p<0.05。各项指标良好，所以认为线性1-a(1回归模型成立。

做出残差图进行模型优化：

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去除奇点，优化后的结果为（列出：相关系数b,相关系数置信区间bint,统计变量s）：

b =

137.2972 -0.6132 1.4702 -0.0184 0.0001 2.5120 2.4764 4.9926 bint =

120.4368 154.1576 -0.7903 -0.4361 0.8858 2.0545

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-0.0264 -0.0103 0.0000 0.0001 -0.0542 5.0782 -0.1006 5.0535 -6.6011 16.5864 s =

0.9850 384.0343 0 15.3372 票价的多元线性回归表达式为：

p=137.2972-0.6132R+1.4702d-0.0184d2+0.0001d3+2.5120w+2.4764S+4.9926j

4.1.5根据票价的多元线性回归模型确定新的售票方案

下图为现行的定价系统

预售第一期预售第二期预售第三期会期￥170指定日普通票￥180￥190￥200指定日优惠票不销售￥110￥120平日普通票￥130￥140￥150￥160平日优惠票￥90￥100三次票不销售￥400七次票￥900夜票不销售￥90

为了平衡世博每日人流量，我们拟通过调整票价实现对人流的控制，针对世博人数的高峰期及低谷期设定新的票价，使高峰期人流下降，低谷期人流增加，实现“削峰填谷”的效果。这里只考虑对会期的票价进行重新定价。

根据天数——人数散点图，我们发现五月指定日，以及前二十天人数偏少，与世博每日平均人数397196人相比差异较大，十月指定日人数与世博每日平均人数相比差异不大，十月中旬至月底出现了最高峰，每周的周末即星期六和星期

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天会出现一个小波峰，因此我们重新设置指定日，分为两部分，分别为：第一阶段指定日为5月1日——5月20日，第二阶段指定日为10月14——24日。我们分别对三段时间的票价重新定价，即：第一阶段指定日的普通票，第二阶段制定日的普通票，周末票。优惠票，三次票，七次票，夜票在此不做调整。

由票价的多元线性回归表达式：

p=137.2972-0.6132R+1.4702d-0.0184d2+0.0001d3+2.5120w+2.4764S+4.9926j

我们设置在指定日以及周末每天人数达到原来平均人数397196，代入上式计算得出各指定日以及周末的票价

周末票价（除去指定日）

5月 6月 7月 8月 9月 10月 149.077 153.813 143.323 153.55 145.076 154.069 156.616 157.659 159.282 166.242 152.262 157.849 168.136 171.525 163.1 168.153 160.818 166.569 166.299 172.589 175.612 192.319 180.135 187.505 191.866 175.612 230.096 240.286 253.567 260.573 182.337 178.336 181.959 184.24 209.255 218.161 213.099 224.74 269.246 267.761 285.07 279.285

新指定日票价

5月（第一阶段） 1 2 3 4 5 131.932 132.414 140.805 140.916 148.177 16

价格 10月（第二阶段） 14 15 16 17 18 价格 296.206 288.154 260.077 286.344 299.691

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6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

147.089 146.264 141.511 149.113 148.853 147.504 148.694 147.055 146.295 141.031 149.426 150.843 149.834 148.546 147.843 19 20 21 22 23 24 302.056 305.559 302.774 296.796 302.707 315.049 由此我们得出第一阶段指定日5月1日——5月20日的平均票价为145.2073，第二阶段指定日10月14——24日的平均票价为295.9466，周末的平均票价为201.6809，我们分别取第一阶段指定日票价为145元，第二阶段指定日票价为295元，周末为200元。假设在新的票价系统下，非指定日以及非周末的每天人数不变，每日的票价安基准价160来计算，则计算得到世博期间总人数为8637.49万人，总收入为1490598.4万元，与世博期间总人次7308.4万人，总收入1169280万元相比均升高，满足新的销售策略所要求的组织方门票总收入不少于现时总收入，总的参观人数不少于现时总的参观人数。

新的定价系统如图所示，没有列出项保持不变

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通过对波峰，波谷的调价，我们基本实现了每天参观人数的平衡，在第一阶段指定日降低票价，达到吸引人流的效果，在第二阶段指定日即即将闭馆之际，提高票价达到减少人流的作用，同时在各个周末提高票价，缓解周末人流压力，也减少了人们排队的平均时间。

指定日普通票(第一阶段)指定日普通票（第二阶段）周末票指定日优惠票平日普通票平日优惠票三次票会期￥145￥295￥200￥120￥160￥100￥4004.2排队时间的模型建立及求解

4.2.1模型一（过山车模型）(Enlarge C)

排队的情况：

为了防止前面的人等的时间太长，人数到达一定数量的人后就放人进馆，假设为c。

用贪心算法（greedy algorithm),将每个顾客尽量安排在离顾客到达时间最近的，且还没有安排满人的一班车上。

假设被安排的顾客按照Beta分布到达所被安排的时间段内

λ=average arrival rate=到达率

m=numbers of agent=容量 Ts=平均服务时间 U= Ts*λ=服务强度 P= agent occupanc

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模型分析：

较为符合世博会的实际情况，但由于占有率无法求得，按照实际情况来p=>1

无法求解，1050为半小时等待后排队的人数35*30=1050，半小时放人进入的时间间隔，700为场馆的容量，所以此算法无法进行。

4.2.2模型二（phonebooth 排队论及M/M/s模型）

排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。

排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。

其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C表示服务规则。

M/M/s等待制多服务台模型。设顾客单个到达，相继到达的时间间隔服从参数为

?的指数分布，系统中具有S个服务员，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为?的指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则可以马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待空间为无限。

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下面讨论这个排队系统的平稳分布：即p?p?N?n? (n?0,1,2,??)为系统达到平稳状态后队长N的概率分布，注意到对个数为S的多服务台系统，有：

?n?????n??,n?0,1,2,??，和 n?s?n?0,1,2,??p?ps??n?s,s?1,??，即：ss?，

则当P<1时，由(1)式，(2)式，(3)式，得：

?1???n?p0?????n!?pn????n???1?????p0?s!sn?s????n?1,2,??,s(4)n?s

S?S－11???k11??P0＝??＋????s！1－?k＝0k！???????????????????1

公式(4)和公式(5)给出了在平和条件下系统中顾客数为n的概率，当n?s时，即系统中顾客数大于或等于服务台的个数，这时来的顾客必须等待，因此即：

c?s,????pn?n?1??s?1??s?s！p0(6)

(6)式成为Erlang等待公式，它给出了顾客到达系统是需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长

Lq为：

p?Lq???n?s?pn?0ss!n?s?1???n?s??n?s?n?ssp0?sd??n?p0?s?s????s??s!d?s?n?1?s!?1??s?2

记系统中正在接受服务的顾客的平均数为s，显然s也是正在忙的服务台的平均数，故：

s=邋npn=0s-1s-1?n+sn=sn-1npnrspn= p0+sp0.......(7)s!(1-rs)n=0n!s1s-1rr=p0r[?+]=r(s-1)!(1-rs)n=1(n-1)!由(7)式，可得到平均队长L为：

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(7)式说明平均在忙的服务台个数不依赖于服务台个数S，这时一个特殊的结果。

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L=平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数

?Lq??

W?L对多服务台系统，Little公式依然成立。即有平均逗留时间

?;平均等待时间

Wq?Lq??W?1?。

4.2.3模型求解

? 游客到达沙特馆是随机的，我们看作近似满足泊松分布，沙特馆窗口服

务时间满足指数分布,总体满足M/M/S/∞分布 ? 假设沙特馆有6个窗口，检票处理时间为10s； 白天

?=23121/8/60=35，t=1/6，s=6，等待里面游客出来时t’=35min（Lq?1考虑）

l1窗口服务能力：?==6, r==35/6，因为?mtk轾s-1骣1珑l鼢11骣l犏p=+鼢空闲概率： 0犏珑?珑m鼢s!1-rs桫mk=0k!桫犏臌ss??s?0.9722?1，极限存在

= 0.00899244

系统中排队游客的平均数： Lq?游客平均排队时间：W?Lp0?s?ss!?1??s?2? 531.34≈531

?=16min

游客平均等待时间：W0?W?t?t'?51 系统中游客的平均数：L0?L??=537 夜间

?=21，t=1/6，s=6，等待里面游客出来时t’=35min

l1窗口服务能力：?==6, r= =21/6，因为?mt21

s???0.5833?1，极限存在 s

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sk轾s-1骣1珑l鼢11骣l空闲概率： p0=犏+鼢珑?犏珑k!m鼢s!1-rs桫m桫k=0犏臌= 0.0305089

系统中排队游客的平均数：Lq?游客平均排队时间：W?L?0

p0?s?ss!?1??s?2? 0.261666

?游客平均等待时间：W0?W?t?0

（由于夜间人数较少大多情况下无需无需等待里面游客出馆） 系统中游客的平均数：L0?L??=6（此为站在窗口的人）

4.2.4模型分析

（1）分析一

对假设的分析：夜票和日票满足一定的关系

y（当日现场售票） x（当日夜票） 3.7582 1.2544 5.54 2.31 4.8 5.4649 1.9904 3.0357 3.76 1.31 3.45 2.87 3.9922 2.3879 2.29 2.13 5.46 1.62 5.0231 5.28 4.83 1.7723 1.62 1.35 19.09 18.001 17.07 10.36 7.9643 5.2843 5.65 5.25 3.93 3.8101 1.16 1.0204 4.83 1.35

4.61 1.15 4.084 1.558 22

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我们取了9月到10月份中20天的当日现场票和夜票数共20天，剔除其中4个相关性很差的点，得到了如图所示的散点图

得到y=2.5832+1.3269x；（程序见附件） R^2=0.8486,相关性较好。

在一定程度上验证假设（2）及可以用总票数夜票和日票的比例来对改变策略后每天的夜票和日票的比例进行计算。

（2）分析二

从模型的到得答案51min来看，排队时间的与原先的4小时似乎有很大的差距，但是由于实际的沙特馆没有设立6个通道口，才导致了如此巨大的排队时间，本着更好的服务的原则，如果再开一次世博会官方为了尽量满足人们的需求一定会在消耗最少人力的情况下满足实时人流的到大强度，所以我们按照6个来算是可行的，当然其他之处成本的也会有一定的增加。当然如果世博为了更好的达到满足游客的要求，可以增设更多的通道，但其他因素如服务时间是已经到达了极限10s。

对于一般的排队论来说，存在灵敏度得分析，但是对此问题，由于绝大部分

数据都是由估算得到，且与灵敏度相关的量只有窗口数一个变量，同时世博窗口的数目为我们现在假定数目，所以对于灵敏度得分析是没有意义的，但排队论模

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型的推广是值得借鉴的，如果在其他情况下，满足占座率＜1时我们更推崇模型一及过山车模型。

4.3建立模糊综合评判模型进行夜票作用分析

夜票的引进目的在于通过降低价格吸引一部分游客夜间参观世博园，从而缓解白天园区客流量过大的压力。

为了给夜票的实际作用进行评价以确定夜票存在的必要性，我们建立了模糊评判模型进行研究。

4.3.1确定被评对象的因素论域U

令 U = {u1，u2 , u3，u4，u5}，其中，

u1=夜票对平衡客流的作用 u2=夜票给旅客的价格优惠 u3=持夜票旅客入园游玩的质量 u4= 夜票对世博会收入的影响 u5=夜票对世博成本的影响

4.3.2设定评判等级域

设v ={v1,v2, v3,v4}

v1= 很有利 v2= 较有利 v3=没有利 v4=有损害

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4.3.3进行单因素评判

通过搜集网络使用过夜票的旅客上对于夜票的评价并综合各方面因素考虑，我们确定了五个评判因素的评判向量如下：

R1=[0.4，0.3，0.3，0]

R2=[0.6 0.4 0 0] R3=[0.2 0.3 0.3 0.2] R4=[0.1 0.3 0.4 0.2] R5=[0.2 0.2 0.3 0.3]

有上述评判向量可得评判矩阵为：

骣0.4???0.6???R=?0.2???0.1????0.2桫0÷÷÷0.400÷÷÷÷0.30.30.2÷ ÷÷÷0.30.40.2÷÷÷÷0.20.30.3÷0.30.34.3.4确定权重分配向量A

根据世博会设立夜票的初衷以及本次世博会对国家形象，上海市形象以及世

博以人为本的精神，我们设立了各因素权重分配向量为： A=[0.4 0.2 0.2 0.1 0.1]；

4.3.5进行模糊矩阵变换，得出评判结果

选取合成算子M(?,?)进行模糊矩阵变换得：

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骣0.4???0.6???B=A?R=(0.4,0.2,0.2,0.1,0.1)??0.2???0.1????0.2桫0.30.30÷÷÷0.400÷÷÷÷0.30.30.2÷÷÷÷0.30.40.2÷÷÷÷0.20.30.3÷={(0.4仝0.4)(0.2仝0.6)(0.2仝0.2)(0.1仝0.1)(0.1 0.2),(0.4仝0.3)(0.2仝0.4)(0.2仝0.3)(0.1 0.3)谫(0.10.2),(0.4仝0.3)(0.2仝0)(0.2仝0.3)(0.1仝0.4)(0.1 3),(0.4仝0)(0.2仝0)(0.2仝0.2)(0.1仝0.2)(0.1 0.3)}=(0.4,0.3,0.3,0.2)进行归一后得：B?(0.3333,0.25,0.25,0.1667)

根据计算结果由最大隶属原则可知夜票的引入是有利的，应该得到保留。

4.4游客游览大馆和小馆数目的计算

4.4.1建立模型

我们认为每个馆的等待时间是可以成比例的，因为等待时间和人数挂钩，所以我们以平均后的沙特馆的等待时间为基准算出，其他展馆的等待时间，以此来求解游客游览的大馆和小馆的数目。

截至10月31日16：00）

排队7.5小时：上汽集团-通用汽车馆 排队6小时：石油馆 排队5小时：瑞士馆 排队4.5小时：沙特馆

排队4小时：中国航空馆、民营企业联合馆、德国馆 排队3.5小时：可口可乐馆、日本馆

排队3小时：阿联酋馆

排队2.5小时：哈萨克斯坦馆、远大馆、太空家园馆、俄罗斯馆、信息通信馆、英国馆、韩国馆

排队2小时：案例联合馆4-3、日本产业馆

排队1.5小时：意大利馆、思科馆、罗马尼亚馆、中国铁路馆、新加坡馆、香港馆、瑞典馆、中国船舶馆、法国馆

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平均后的时间

7.5小时→1.7小时+0.67小时=2.37 6小时→1.3小时+0.67小时=1.97 5 小时→1.1小时+0.67小时=1.77 4.5小时→0.85小时+0.67小时=1.52 4小时~2.5小时→0.67小时+0.67小时=1.34 2.5以下→0.25小时+0.33小时=0.68

82.37X1+1.97X2+1.77X3+1.52X4+1.34X5+0.68X6

其中X1~X4只能取0和1，X5，X6取大于等于零的整数，此方程的解要求尽量接近于8且各个参数无法再增大，X1~X6为各个馆参观的数目。 此题利用matlab求解得（程序见附录）

X1 X2 X3 X4 X5 X6 8的近似

[ 0, 0, 0, 1.0, 0, 9.0, 7.64] [ 0, 0, 0, 1.0, 1.0, 7.0, 7.62] [ 0, 0, 0, 1.0, 2.0, 5.0, 7.6] [ 0, 0, 0, 1.0, 3.0, 3.0, 7.58] [ 0, 0, 0, 1.0, 4.0, 1.0, 7.56] [ 0, 0, 1.0, 0, 0, 9.0, 7.89] [ 0, 0, 1.0, 0, 1.0, 7.0, 7.87] [ 0, 0, 1.0, 0, 2.0, 5.0, 7.85] [ 0, 0, 1.0, 0, 3.0, 3.0, 7.83] [ 0, 0, 1.0, 0, 4.0, 1.0, 7.81] [ 0, 0, 1.0, 1.0, 0, 6.0, 7.37] [ 0, 0, 1.0, 1.0, 1.0, 4.0, 7.35] [ 0, 0, 1.0, 1.0, 2.0, 2.0, 7.33] [ 0, 0, 1.0, 1.0, 3.0, 0, 7.31 [ 0, 0, 1.0, 1.0, 3.0, 1.0, 7.99] [ 0, 1.0, 0, 0, 0, 8.0, 7.41] [ 0, 1.0, 0, 0, 1.0, 6.0, 7.39] [ 0, 1.0, 0, 0, 2.0, 4.0, 7.37] [ 0, 1.0, 0, 0, 3.0, 2.0, 7.35] [ 0, 1.0, 0, 0, 4.0, 0, 7.33] [ 0, 1.0, 0, 1.0, 0, 6.0, 7.57] [ 0, 1.0, 0, 1.0, 1.0, 4.0, 7.55] [ 0, 1.0, 0, 1.0, 2.0, 2.0, 7.53]

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[ 0, 1.0, 0, 1.0, 3.0, 0, 7.51] [ 0, 1.0, 1.0, 0, 0, 6.0, 7.82] [ 0, 1.0, 1.0, 0, 1.0, 4.0, 7.8] [ 0, 1.0, 1.0, 0, 2.0, 2.0, 7.78] [ 0, 1.0, 1.0, 0, 3.0, 0, 7.76] [ 0, 1.0, 1.0, 1.0, 0, 4.0, 7.98] [ 0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 2.0, 7.96] [ 0, 1.0, 1.0, 1.0, 2.0, 0, 7.94] [ 1.0, 0, 0, 0, 0, 8.0, 7.81] [ 1.0, 0, 0, 0, 1.0, 6.0, 7.79] [ 1.0, 0, 0, 0, 2.0, 4.0, 7.77] [ 1.0, 0, 0, 0, 3.0, 2.0, 7.75] [ 1.0, 0, 0, 0, 4.0, 0, 7.73] [ 1.0, 0, 0, 1.0, 0, 6.0, 7.97] [ 1.0, 0, 0, 1.0, 1.0, 4.0, 7.95] [ 1.0, 0, 0, 1.0, 2.0, 2.0, 7.93] [ 1.0, 0, 0, 1.0, 3.0, 0, 7.91] [ 1.0, 0, 1.0, 0, 0, 5.0, 7.54] [ 1.0, 0, 1.0, 0, 1.0, 3.0, 7.52] [ 1.0, 0, 1.0, 0, 2.0, 1.0, 7.5] [ 1.0, 0, 1.0, 1.0, 0, 3.0, 7.7] [ 1.0, 0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 7.68] [ 1.0, 1.0, 0, 0, 0, 5.0, 7.74] [ 1.0, 1.0, 0, 0, 1.0, 3.0, 7.72] [ 1.0, 1.0, 0, 0, 2.0, 1.0, 7.7] [ 1.0, 1.0, 0, 1.0, 0, 3.0, 7.9] [ 1.0, 1.0, 0, 1.0, 1.0, 1.0, 7.88] [ 1.0, 1.0, 1.0, 0, 0, 2.0, 7.47] [ 1.0, 1.0, 1.0, 0, 1.0, 0, 7.45] [ 1.0, 0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 7.68] [ 1.0, 1.0, 0, 0, 0, 5.0, 7.74] [ 1.0, 1.0, 0, 0, 1.0, 3.0, 7.72] [ 1.0, 1.0, 0, 0, 2.0, 1.0, 7.7] [ 1.0, 1.0, 0, 1.0, 0, 3.0, 7.9] [ 1.0, 1.0, 0, 1.0, 1.0, 1.0, 7.88] [ 1.0, 1.0, 1.0, 0, 0, 2.0, 7.47] [ 1.0, 1.0, 1.0, 0, 1.0, 0, 7.45]

因为我们对于大馆小馆或者说热门馆和普通馆的标准不同，所以结果不同：

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若按照原来等待4小时以上的为大展馆，4小时以下为小馆则累计求和平均后得到的大展馆和小展馆的比例为1.7：4.2，所以大约为2:4，也就是大概一共参观6个馆，大馆和小馆2个与4个。（此为较常见）

若按照原来等待2.5小时以上的为大展馆，2.5小时以下为小馆则累计求和平均后得到的大展馆和小展馆的比例为3.3：2.9，所以大约为1：1，也就是大概一共参观6个馆，大馆和小馆3个与3个。

4.4.2模型分析

就所建立的模型看来，此模型进行了较多的简化措施，和实际的情况有一定的误差，例如各馆的诸多时间未知，用比例求解得到的答案精度不高，同时世博48个馆巨大的数量和等待时间的巨大集合给问题的求解带来的极大的难度，所以此部分也进行了较多的简化。

但是总得来看并不妨碍模型对问题的反应，题目的求解还是一定程度反应游客可以参观馆的数量—6个，也反应游客游玩的展馆数，所以模型的建立是成功的，当然由于世博会的特殊性，此模型的应用并不十分广泛，不过通过matlab对数据实现枚举的方法还是可以套用的其他模型，且大大减少了题目的人工计算量。

4.5引进加快票可行性分析

4.5.1问题分析

所谓加快票，其实是一种价格歧视的销售策略，实质上是指一种价格差异，通常指商品或服务的提供者在向不同的接受者提供相同等级、相同质量的商品或服务时，在接受者之间实行不同的销售价格或收费标准。

加快票的实现，可以从VIP通道的开辟来进行，排队时间相对较短甚至不用

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排队。

加快票的引进是有必要的，因为人们在排队的过程中所花费的不仅是时间这一个成本，同时浪费的时间所能带来的相对收入也是必须要考虑的，这也就是经济学中边际成本，所以为了减少边际成本，一部分高收入人群会购买加快票，于此同时也缓解了很大一部分不想高额购置门票的普通人减少排队压力。

4.5.2问题论证

地区 上海本地 境外 江苏 浙江 较远地区

出行门票 50 5000 300 300 1000 住宿费用 0 400 400 400 400 所占比重 27.30% 5.8% 13.3% 12.2% 41.5% 月均收入 时均收入 9890 16500 6800 7800 5500 41 69 28 32 22 由模型假设中对问题5的假设可进行如下分析：

分析购买人群：我们可以认为上海本地区居民只会有很很少的一部分人愿意购买加快票，几乎可以忽略购买的可能性，其次江浙的人群，由于距上海世博会距离较近，出行路费也并不高，所以推测会有1/6的人愿意购买加快票，然后，来自外地的人群，出行成本在1000左右，所以推测将有1/3的人愿意购买加快票，最后，境外游客较少，而且出行成本较高，且应该带有对世博会浓重的期待和向往，所以此处认为境外游客购买率约为100%。

平均后我们以参观6个馆为代表数，其中人们馆比例设1：2和1：1，其中大馆的平均等待时间为1.5小时，小馆的平均等待时间为0.4小时所消耗边际成本为。

[ 5.8%*69+13.3%*1/6*28+12.2%*1/6*32+41.5%*1/3*22]*(3+1.6)=20.39

[ 5.8%*69+13.3%*1/6*28+12.2%*1/6*32+41.5%*1/3*22]*(4.5+0.8)=23.50

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根据人群的比例求得，显然当票价应该定在比原票价高20~23元区间的时候，这部分愿意购买的人群稳赚，当然现在是根据人均收入来定的票价，来世博的人群收入普遍会高于平均收入，所以以原来200元为例票价为例现在可以订到220~223，这样是完全没有问题的。当然我们前面提到改变后的票价每个月都在变化，所以若以前面的票价为参照的话，三个阶段总的浮动区间应该是165~315。

在总得排队时间的问题上，前面我们在排队问题上解决过时间的问题，显然增加快速票必须另外增加窗口数，而前面论证了增加窗口是一定会减少总得排队时间所以对于排队时间来说是有利的，当然从另一方面来说增加窗口又带来给多的人力物力的支出，这是也要考虑的地方，不过通过预售加快票每天得到的额外收入：{（5.8%+41.5%*1/3+13.2%*1/6+12.2*1/6）=（23.8%）}*8000w*20/18021w，足够用于支付这笔额外的开销，所以说加快票得引入时有利的。

五．模型推广

针对建立的票价多元线性回归模型，我们假设的条件是入园三到十次的游客均购买三次票获七次票，且各占一半，实际中，还有购买三到十次普通票的游客，同时，我们假定世博园容纳游客量为无穷大，不限定每日入园人数，实际中，由于世博园区内面积以及配套设施有限，不能容纳无限量的游客，总体来说我们的模型是建立在坚实的理论基础上，为平衡人流提供了一个很好的销售策略。

六．结论

文中模型针对世博会期间每天接待的游客数存在极大不平衡性的问题，我们通过分析每天入园人数与票价等各因素之间的关系，利用Matlab软件建立票价多言线性回归模型，根据得出的票价与人数关系，依据削峰填谷的原理，重新设置指定日，并引入周末票，设定5月1日——5月20日为第一阶段指定日，10月

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14日——10月24日为第二阶段指定日，并对指定日与周末票重新定价，重新定价后第一阶段指定日普通票为145元，第二阶段指定日普通票为295元，周末票为200元，以达到平衡每日入园人数的目的。在新的票价系统条件下，依据phonebooth 排队论建立M/M/s模型，以沙特馆为例，得出在每天入园人数平衡的条件下，排队时间由原来的4小时减少到51min。在新的销售策略下，参观世博会的总人次由7308.4万人上升至8637.49万人，总收入由1169280万元上升至1490598.4万元，平均一天接待的游客数为46.9万人，平均一个游客参观热门大馆数为两个，小馆数为四个。在建模分析的同时，我们应用模型解决了加快票的引入问题和夜票引入必要性的讨论。

文中分析票价与各因素间关系，建立多元线性回归模型，简单易懂，且较直观。文中提出的各个模型与实际紧密联系，结合实际情况对所提数据进行合理解释，是模型更贴近实际，通用性较强。由于现实数据的缺乏，模型建立过程中对一些条件进行了简化，精确度受到一定影响。我们建立的世博门票销售策略模型无论是理论上还是实际上都比较易懂实用，所以本模型是成功的。

七．参考文献

[1] 上海世博会官网 http://www.expo2010.cn/

[2] 刘焕彬 库在强. 数学模型与实验[M] 北京：科学出版社 2008年 [3] 郑煜 温广玉. 数学模型[M] 东北林业大学出版社 哈尔滨：2006年 [4] 李志林 欧宜贵. 数学建模及典型案例分析[M] 北京：化学工业出版社 2007年

附录

程序1：票价多元线性回归模型

%{p：票价；R:人数；w天气（0无雨，1有雨）；d：天数；d2=d*d；d3=d*d*d；S：短假；j:阶段（5月6月为1，7月8月为2,9月10月为3）%}

p=[148.659 149.716 149.626 149.505 148.961 149.689 150.089 150.289 149.922 149.749

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2010年上海世博会门票销售策略再研究

149.437 149.827 149.697 150.077 150.142 147.46

146.666 147.258 147.667 148.098

148.421 148.291 147.802 146.946 147.708 147.473 147.292 148 146.758 148.928148.691 149.285 149.658 149.271 149.839 148.684 148.584 149.272 149.469

152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738 152.738

152.738];

R=[24.03 14.15 26.19 29.06 32.85 36.12 31.17 31.45 34.58 35.35 37.7 38.22 50.5 36.38 32.75 33.45

42.58

38.32

36.98

39.84

42.27

39.84

39.07

44.24

38.81

35.22 36.93 64.66

33.57 26.25 73.28

33.6 31.6 34.13 22.66 86.06

24.91 25.01 23.71 23.06 29.08

64.15

18.17 49.45 62.79 83.75

74.83];

103.28 74.49 62.27

d=[14 16 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 107 106 105 104 103 102 101 100 99 98

97 96 95 93 133

132 131 130 129 128 127 126 125 124 167 168 169 170 171

172 173 174 175 176 177]; d2=d.^2; d3=d.^3;

w=[1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1]; S=[0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1]; j=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3]; n=50;m=6;

X=[ones(n,1),R',d',d2',d3',w',S',j']; [b,bint,r,rint,s]=regress(p',X,0.05); b,bint,r,rint,s, rcoplot(r,rint)

程序2 平均门票计算（API界面，c语言主程序） #include \#include

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2010年上海世博会门票销售策略再研究

#include #include \#include \#include \

BOOL WINAPI Main_Proc(HWND hWnd, UINT uMsg, WPARAM wParam, LPARAM lParam) {

switch(uMsg) {

HANDLE_MSG(hWnd, WM_INITDIALOG, Main_OnInitDialog); HANDLE_MSG(hWnd, WM_COMMAND, Main_OnCommand);

HANDLE_MSG(hWnd,WM_CLOSE, Main_OnClose);

}

return FALSE; }

BOOL Main_OnInitDialog(HWND hwnd, HWND hwndFocus, LPARAM lParam)

{ MessageBox(hwnd,TEXT(\上海世博每日平均票价计算器\欢迎\

MessageBox(hwnd,TEXT(\请在第一个文本框内输入当日入园总人次，第二个文本框内输

入当日售出夜票数。\提示\

HWND combohwnd=GetDlgItem(hwnd,IDC_COMBO1); ComboBox_InsertString(combohwnd,-1,TEXT(\平日\ComboBox_InsertString(combohwnd,-1,TEXT(\指定日\

}

void Main_OnCommand(HWND hwnd, int id, HWND hwndCtl, UINT codeNotify)

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return TRUE;

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{

switch(id) {

case IDC_OK: { TCHAR NUM1[256];

TCHAR NUM2[256];

TCHAR NUM4[256]; GetDlgItemText(hwnd,IDC_EDIT1,NUM1,sizeof(NUM1)); GetDlgItemText(hwnd,IDC_EDIT2,NUM2,sizeof(NUM2));

double n1=10000*atof(NUM1);

double n2=10000*atof(NUM2);

double n3=0; if(n1<=n2)

{

MessageBox(hwnd,TEXT(\输

入

错

误

\

\ }

double n4=n2/n1;

int combosel=ComboBox_GetCurSel(GetDlgItem(hwnd,IDC_COMBO1)); switch(combosel) { case 0: { n3=0.125*400/3+0.125*900/7+n4*90+160*(0.75-n4);

} break;

case 1:

35

提

示

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{

n3=n4*90+200*(1-n4);

default:

{

MessageBox(hwnd,TEXT(\错误，选择平日票或指定日票\通知} break;

\

TCHAR NUM3[256];

return; }

break;

}

sprintf(NUM3,\

}

SetDlgItemText(hwnd,IDC_EDIT3,NUM3);

break; default:

break;

} }

void Main_OnClose(HWND hwnd) {

EndDialog(hwnd, 0); }

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2010年上海世博会门票销售策略再研究

程序3：夜票和日票数量的线性回归分析

y=[7.9643 5.2843 5.65 5.25 3.7582 5.54 5.4649 3.76 3.93 3.8101 5.46 5.0231 5.28 4.83 4.61 4.084];

x=[3.9922 2.3879 2.29 2.13 1.2544 2.31 1.9904 1.31 1.16 1.0204 1.7723 1.62 1.35 1.15 1.558]; n=16;X=[ones(n,1),x']; [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); b,bint,s

程序4：计算参观大馆和小馆的可能性 clear,clc

A=unique([perms([1,0,0,0]);perms([1,1,0,0]);perms([1,1,1,0]);perms([1,1,1,1])],'rows'); X=[2.37 1.97 1.77 1.52]; Y=[2.37 1.97 1.77 1.52 1.34 0.68]; B=zeros(2^6,6); for i=1:size(A,1)

for p=0:(round(8/1.34)+2) for q=0:(round(8/0.68)+2)

if 7.31<=p*1.34+q*0.68+A(i,:)*X' && p*1.34+q*0.68+A(i,:)*X'<=8 B(size(unique(B,'rows'),1)+1,:)=[A(i,:) p q]; end end end

37

1.62

2010年上海世博会门票销售策略再研究

end

sol=vpa([unique(B,'rows'),unique(B,'rows')*Y'],3)

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