第二章 射影映射

第二章 射影映射

本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。

§1透视

透视是一个很简单但又最基本的射影映射。一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。

定义 如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。如图2.1记成

?(y,z,u,v???)?a(?,?,?,?,???)

定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s叫做透视中心，记作

?(a,b,c???)???(a?,b?,c?,???)或?(a)???(a?)，如图2.2

?S对偶定义：

图2.1

线束s和s’的对应直线的交点在一直线?上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。直线?叫做透视轴。记作

s(?,?,?,???)?s?(??,??,??,???)或s(?)?s?(??)，如图2.3.

????

图2.2 图2.3

两个点列射影的,记作?(a)???(a?)；两个线束射影的,记作s(?)?s?(??)

看图2.2,如果?,?,?,?是线束s的四条直线,分别与ξ和ξ’交于a,b,c,d和a’,b’,c’, d’,则有

R(a,b；c,d)=R(?,?;?,?)=R(a’,b’；c’,d’)

所以透视对应保持交比不变,又因透视是一一对应,所以透视是射影对应(斯丹纳定义)。显然,透视对应把点????映射为自身。

定理1 直线ξ到ξ’的透视是射影对应,它把公共点????映射为自身。反过来,又有 定理2 直线ξ到ξ’的一个射影对应,如果把公共点????映射为自身,那么这个射影对应是透视。(图2.4)

证明：设?到??的射影对应Ф由三对对应点唯一确定：

?:?(a,b,y)???(a?,b?,y)且?(c)?c?

令(a?a?)?(b?b?)?s,(s?c)????c0,??(a,b,c)???(a?,b?,c)记作?。

0?sR(a?,b?;y,c?)?R(a,b;y,c)?R(a?,b?;y,c0)

?c??c0,?与?有三对点相同，??????是透视。

图2.4

?'

定理1和定理2的对偶定理请读者自行叙述。由上述定理得结论：

定理3 两个射影点列(线束)成透视的充要条件是它们的公共点(直线)自身对应。 定理4如果?(a,b,c???)???(a?,b?,c????)????(a??,b??,c?????) 那么?(a,b,c???)????(a??,b??,c??,???)

定理5 两条不同的直线之间的非透视的射影对应,是两个透视变换的积, 证明：设Ф是直线?到?'的射影对应, (图2.5)但不是透视,

?(a,b,c)???(a?,b?,c?)

(其中三对对应点中没有任何一点是????),在直线a×a’上任取二点s和s’,作点(s×b)×(s ’×b’)～b0,(s×c)×(s’×c’)～c0,再作直线ξ0～b0×c0, ξ0×(a×a’)～a0,于是有

'(a?,b?,c?)

?(a,b,c)??（,,）=?abc0000??ss'

图2.5

推论：一直线ξ到它自身上的射影变换,可分解为不多于三次透视的乘积。 例1 设直线ξ和ξ’上各有三个不相同的点x,y,z和x’,y’,z’,这些点都与ξ×ξ’不同,那么三点：a=(y×z’)×(y’×z),b=(z×x’)×(z’×x),c=(x×y’)×(x’×y)共线(pappus定理)

证明 如图2.6置?=ξ×ξ’, u=(x×z’)×(x’×y) v=(y×z’)×(x’×z),

??x??y,???y?z?x。

z我们有

?(x?,c,u,y)???(x?,y?,z?,w)???(v,a,z?,y)

???(x?,c,u,y)???(v,a,z?,y)

可是y是点列β(x’,c,u,y)和点列β’(v,a,z’,y)的公共点,而且自对应,所以

图2.6

?(x?,c,u,y)???(v,a,z?,y)

就是说三直线x’×v,c×a,u×z’共点(透视中心),就是x’×z,c×a,x×z’相交于一点(x’×z)×(x×z’)=b，所以a,b,c共线。

例2 设a,b,c是三点形的顶点,d,d’；e,e’；f, f’依次是各边b×c,c×a,a×b上两个顶点的调和共轭点,求证：e×f,e’×f’,b×c共点；f×d,f’×d’,c×a共点；d×e,d’×e’,a×b共点。(图2.7)

证明 因为R(b,c；d,d’)=R(a,c；e,e’)=-1

所以 点列(b,c,d,d’) ?点列(a,c,e,e’),c是公

?共点而且自对应,所以

图2.7

(b,c,d,d’)

?(a,c,e,e’)

?2,?, ?所以三直线：d×e,d’×e’,a×b共点。 其余部分用同样的方法证明。

例3 已知简单n点形的顶点a1,a2,?an分别沿着通过不动点s的直线?1,

滑动；而边a1×a2,a2×a3,?an-1×an顺次通过已知点x1,x2,?xn-1,求证：边an×a1必定通过某个不动点。

证明 简单n点形的顶点ai在直线?i上滑动时,就画出了点列，这些点列记作

?i(ai),i=1,2,?,n。(图2.8所示)。按假设我们有

n

?1(a1)??2(a2)??3(a3)??????n(an)

????x1x2x3xn?1图2.8

??1(a1)??n(an).

又由于上面所说的每一对透视点列的公共点S是自身对应的,因而射影点列a1(a1)和an(an)的公共点s也是自身对应,所以

?1(a1)??n(an),

连结这两个透视点列对应点的直线,必定通过一个定点x(透视中心)。

例4 设三角形ABC的边BC、CA、AB绕同一直线上三点P、Q、R旋转，顶点B、C在两条定直线上。求证：顶点A也在一定直线上。（如图2.9） 证明：由图，?B,B1,??Q??C,C1,??

B

∴P?B,B1,???R?C,C1,?? ∵其中PR过Q ∴PR是自对应元素

∴P?B,B1,???R?C,C1,??

∴对应直线交点共线，即A,A1,?共线。

图2.9

§2 完全四点形的调和性质

本节将讨论完全四点形(四线形)的调和性质。

简单四点形：由四个点A,B,C,D(其中无任何三点共线)及它们顺次两两的连线AB,BC,CD,DA所组成的平面图形叫做简单四点形。A,B,C,D叫做顶点,AB,BC,CD,DA叫做边,不顺次的顶点的连线AC,BD叫做对角线。(图2.10)

图2.10

图2.11

完全四点形：由四个点a,b,c,d(其中无任何三点共线)及连结其中任何两点的六条直线组成的平面图形叫做完全四点形。这四个点叫做顶点,六条直线叫做边,通过同一个顶点的边叫邻边,没有公共顶点的两边叫做对边,对边的交点叫对角线点,连结对角线点的直线叫对角线,以对角线点为顶点的三点形叫对角线三点形(图2.11)。

三对对边：

a×b,与c×d,a×c与b×d,b×c与a×d 三条对角线：l×m,m×n,1×n。

对角线三点形为1mn。

下面我们讨论完全四点形的调和性质。

设m?n~?，a?c~?，(d?b)??~f，???~g，我们考察直线η上四个点m,n,f和g的交比,因为η(m,n,f,g)??(a,c,l,g)??(n,m,f,g)

??db所以η(m,n,f,g)??(n,m,f,g) R(m,n；f.g)= R(n,m；f，g)=

1

R(m,n;f,g)这里R(m,n；f.g)≠0,(否则,f～g,则a,b,c,d共线,与完全四点形定义矛盾。)因此,由上式得

R(m,n；f,g)=±1

但R(m,n；f,g)≠1,(否则f～g,也导致a,b,c,d共线。)所以,R(m,n；f, g)=-1。 就是说,m,n,f,g组成调和点集,这一性质可以写成下面定理。

定理6 在完全四点形的每一条对角线上有一个调和点集,它包括两个对角线点m、n,和这条对角线与通过第三个对角线点l的一对对边的两个交点f,g。

推论1 在完全四点形的每条边上有一个调和点集。它包括两个顶点,一个对角线点,和这条边与通过另两个对角线点的对角线的交点。

推论2 完全四点形的两条对边被通过这两边交点的两条对角线调和分隔。

图2.12

利用完全四点形的调和性质可以作直线上三个已知点的第四调和点。整个作图只用一根直尺完成。

例1 已知平面上两条不同的直线α和β,以及不属于α也不属于β的一个点f,由于某种原因α与β的交点不能到达,试从点f引一条直线通过α与β的交点。

作法：通过f任作一条直线ξ,ξ×α=k,ξ×β=l,在ξ上作k,1,f的第四调和点g,再过g任作一直线?,????a,????c,(a?l)?(k?c)?b连结fb,fb就是所求的直线(图2.12)

图2.13

例2 证明：梯形两对角线的交点与两腰延长线的交点的连线必过两底的中点。 证明 如图2.13。AB||CD。M、N分别是直线EF与AB、CD的交点。 考虑完全四点形DECF的对角线AB及边DC： R(A,B；M,p∞)=-1 ?M是AB的中点 R(D,C；N,P∞)=-1 ?N是CD的中点。

§3 直线(线束)到它自身的射影变换

直线ξ到它自身的射影变换中,自对应的点(直线)称为二重点(二重直线),或固定点(固定直线)。因为直线(线束)上的射影变换由按指定顺序的三对对应元素唯一确定,所以当这个变换有三个二重点(直线)时,它的每一个点(直线)都是二重点(直线),那么这个变换是恒等变换。由此可知,一维射影空间的射影变换如果不是恒等变换,那么它可能有二个二重元素,一个二重元素,或者不没有二重元素。分别称它为双曲型的,抛物型的或椭圆型的射影变换。

设ξ到自身的射影变换?:x?x?

'?a11a12???1?a11?1?a12?2 ??0 ?'a21a22????2?a21?1?a22?2a11a12a11??a12?0 或??

aaa21??a222122'下面我们用非齐次坐标的方程来讨论。

如果点x(λ)是二重点,则λ～λ’,则有

a21?2?(a11?a22)??a12?0

??0???(a11?a22)2?4a12a21??0

??0?有两个实二重点 双曲型射影变换 有一个实二重点 抛物型射影变换 没有实二重点 椭圆型射影变换

对于双曲型射影变换有下面性质

定理7 在直线ξ到它自身上的双曲型射影变换下,每对对应点与两个二重点组成的交比是常数。

证明 设m,n是直线ξ到它自身的双曲型射影变换的两个二重点,x和y是ξ上不同于m,n的两个点,x和y的对应点分别是x’和y’,则

R(x,y；m,n)=R(x’,y’；m,n)

即

xmynymxnxmx'nxmxn'?x'my'nymxnymy'nymyn'''

故

?

即 R(x,x’；m,n)=R(y,y’；m,n)=常数k (常数k称为特征不变量)

??2x1?5x225??x1,??12的自对应点，并判断其例 求直线ξ到它自身射影变换???x?2x?x2?1?212类型

解：用非齐次坐标表示射影变换式，得x?? 自对应点的方程为：2x?3x?5?0

22x?5,令x??x 2x?1(2x?5)(x?1)?0 5

?x1??1,x2?2 或自对应点齐次坐标为（－1，1），（5，2）射影变换为双曲型的。

§4对合对应

这一节讨论直线ξ到它自身上的射影变换的一种特殊情形

如果Ф是直线ξ到自身的射影变换,x是ξ的任一点,它的对应点是x’(xФ～x’),那么可能出现两种情况：x’～x或者x’-x。如果x’～x,则Ф＝I, Ф就是恒等变换：如果x’≠x,那么Ф≠I。在后一种情况下(x')?＝x”,一般说x”- x,但是也有可能x”～x。如果x”～x,就有x”= （x）’=（x）= xФ

Ф

Ф

?2 =x，于是Ф＝I。这时Ф≠I,而Ф＝I,这样的

22

直线ξ到自身的射影变换Ф叫做对合。

定义 直线ξ到它自身的射影变换Ф,如果Ф不是恒等变换,而它的平方是恒等变换,那么射影变换Ф称为直线ξ上的对合。

2-1-1

因Ф=I就有Ф＝Ф,所以,如果直线ξ到它自身上的射影变换Ф≠I,而Ф=Ф,那么Ф就是ξ上的对合。

定理8 直线ξ到自身上的射影变换Ф：

'?a11a12???1?a11?1?a12?2 , ??0是对合的充要条件是a11+a22=0 ?'a21a22????2?a21?1?a22?2证明 直线ξ到它自身的射影变换Ф的方程是：

'?a11a12???1?a11?1?a12?2 ??0 ?'a21a22????2?a21?1?a22?22

Ф

aa的系数矩阵是：?1112???aa?2122?2?2?a11a12?a12a22?? ??a11a12a212???a11a21?a12a21a12a21?a22?如果这个矩阵是恒等变换的矩阵,那么

2222?a11?a11?a12a21?a12a21?a22?a22????a12(a11?a22)?0 ?a11a12?a12a22?0?aa?aa?0?a(a?a)?011212221??211122假如a11+a22≠O,则a12=a21=0,且a11=a22,从而Ф=I,因此, Ф若是对合,则必须a11+a22=0

2

反之,如果a11+a22=0,则Ф=I,且Ф≠I,所以Ф是对合。 直线上的对合常写成下列形式

'a11a12????1?a11?1?a12?2??0 ?'a21?a11????2?a21?1?a11?2其非齐次形式为 ?'?a11??a122 a11?a12a21?0

a21??a11''2?0 也可写成双线性方程 a???b(x?x)?d?0 , ad?b直线上的对合可按二重点的个数进行分类,

2??(a11?a22)2?4a12a21?4(a11?a12a21)?0

（1）当??0，有两个二重点,称为双曲型对合,

（2）当△<0, 没有二重点,称为椭圆型对合, 定理9 直线ξ上没有抛物型对合。

定理10 双曲型对合的两个二重点调和分隔每一对对应点。

证明 设m,n是双曲型对合的两个固定点,x是这个对合中任意一点,且xm,xn,

R(m,n;x,x?)?R(m,n;x?,x)?1 ?R(m,n;x,x)R(m,n;x,x?)?0,(xm,x?R(m,n;x,x?)2?1 R(m,n;x,x?)??1

n,)

?x不是二重点，R(m,n;x,x?)??1

?R(m,n;x,x?)??1

推论,直线上的双曲型对合由两个二重点唯一决定。

如果Ф是ξ上的一个对合,对于ξ上的任何一个点a,必然有aФ= a’,且a??=a,即所有对应点彼此对应。反过来,若在Ф下所有的对应点对是彼此对应的,那么Ф便是一个对合,但实际上,只要Ф有一对不同的对应点彼此对应,那么Ф必定是对合。

定理11 如果Ф是ξ到它自身的射影变换,而且a’= aФ, a=a??，a-a?那么Ф必定是对合。

证明 因为Ф使a和a’彼此对应, a-a? ,所以Ф≠I。

设b是ξ上任意一点,b??b?,那么Ф把a,a’,b,b’变为a’,a,b’, b??。

R(a,a?;b,b?)?R(a?,a;b?,b??)?R(a,a?;b??,b)

?b?b???(b?)??b?这表明Ф2=I。

定理12 直线上的对合由两对对应点唯一决定。

证明 设两对对应点x,y,u,v中至少有一对不是二重点,(例如x,y),这时ξ上存在唯一的射影变换Ф,使

x,y,u?y,x,v

因x、y是一对对应点,彼此对应,故Ф是对合。

若两对点都是二重点,则由定理10的推论知对合唯一决定。

关于直线ξ上非对合的射影变换与对合之间的关系,有下面定理。

定理13 如果直线ξ到它自身的射影变换Ф不是对合,那么它是两个对合的乘积。

2证明 首先,假设Ф＝I那么ξ上总有一个对合Ф1, Ф1＝I,由此Ф＝I＝?1??1?1

2

2

其次,假设Ф≠I,也不是对合。那么直线ξ上至少有一个点a,它不是二重点即

a??a?-a,并且a???a??a,a??a?.那么我们就可以用三对对应点：

a??a?,a?a??,a???a确定一个射影变换?1：

?1:?(a?,a,a?????)??(a?,a??,a,???)

a和a??彼此对应,?1是对合。

计算a又a???1?(a?)?1?a'?1?a?.

??1?(a??)?1?a????a,因此乘积ФФ1使a和a’彼此对应。乘积ФФ1是射影变

换,有一对点彼此对应,所以ФФ1是一个对合,设这个对合为Ф2那么Ф2＝ФФ1,由此得到

?1???2?1??2?1是两个对合的乘积。

根据对偶原理,容易得到关于线束的相应结论,这里不另讨论。 例1 求以5、2为二重元素的对合方程。

解 设????是对合的任意一对对应元素，于是： ?1?(5,2;?,??)?(??5)(???2),即

?(??5)(??2) (??5)(???2)?(???5)(??2)?0 展开后整理得所求对合方程为： 2????7(????)?20?0,2?7?0.

?720例2 试证：直线上双曲型对合的任意两对对应点互相不分隔。 证明 设y,z和u,v是双曲型对合的任意两对对应点。在直线上以y,z,u为参考点建立射影坐标系,设各点的非齐次坐标为y(∞),z(O),u(1),v(v)

对合方程???a11??a122,a11?a12a21?0

a21??a11z(0)?y(?)得a11?0,a12???0

a12?? vvv所以对合方程为 ???, 即????v u(1)?v(v) a21??对于双曲型对合,必有两个二重点,因此v?0,

?R(y,z;u,v)?v?0

?y,z?u,v

例3 直线ξ上有四个不同的点y,z,u,v,且y,z?u,v,试证由y,z和u,v这两个点对所决定的对合是双曲型的。

证明 在直线ξ上以y,z,u为参考点建立坐标系,它们的非齐次坐标依次为(∞),(0),(1),设v的非齐次坐标为v，因y,z?u,v

???????R(y,z;u,v)?v?0

再利用y?z,u?v,确定在ξ上对合Ф的方程为???v?2,??a11?a12a21?v?0,

??是双曲型对合。

对合是一种很基本的射影变换,出现在很多图形中,比如在完全四点形中我们有

图2.14

定理14 (第二笛沙格定理也叫笛沙格对合定理) 任意一条不通过完全四点形顶点的直线ξ与完全四点形的三对对边的交点,是属于同一个对合的三对对应点。(图2.14)

证明 三对点a,a?;b,b?;c,c?在直线ξ上决定一个射影变换Ф。 因?(a,a?;b,c?)??(p,a?;l,m)??(a,a?;c,b?)

??knR(a,a?;b,c?)?R(a,a?;c,b?)?R(a?,a;b?,c)

于是?(a,a?;b,c?)??(a?,a;b?,c) 由于a,a’彼此对应,所以Ф为对合。 第二笛沙格定理的平面对偶定理是：

图2.15

定理15 从平面上任意一个不在完全四线形边上的点向完全四线形三对对顶点投射的三对直线,是属于同一个对合的三个直线对。(图2.15)

利用笛沙格对合定理可以解决对合的作图问题 例4 设已知直线ξ上的对合由两对对应点a,a’；b,b’决定,c是一个已知点,求作这个对合中c的对应点c’。

图2.16

作法 通过a,a’分别作任意直线?, ?’,通过c作任意直线?,但?,?’, ?不

同于直线ξ, ????n ， ?????l，(b?l)???k. (b??n)????m，

(m?k)???c?， c?就是所求的点。(图2.16)

例2 已知两个完全四点形的五对对应边的交点属于一条直线,那么第六对对应边的交点也属于这条直线

图2.17

证明 如图2.17，完全四点形k1l1m1n1和k2l2m2n2的五对对应边交点a,a’,b,b’和c属于直线ξ,而c是第六对对应边的交点,c’～(l1×n1)×(l2×n2’),我们来证明c’属于ξ。

假设 (l1×n1)×ξ～c’,那么完全四点形k1l1m1n1应用第二笛沙格定理,a,a’；b,b’,c,c’属于同一个对合,这个对合由a,a’；b,b’完全决定。记作Ф。

又假设(l2×n2)×ξ～c1’,对完全四点形k2l2m2n2应用第二笛沙格定理,有a,a’；b,b’,c,c1’属于同一个对合,这个对合也由a,a’；b,b’决定,所以这个对合就是Ф。于是在对合Ф下,c’和c1’都是c的对应点,所以c’～c1’。

§5 直射

射影平面ω到它自身的射影变换叫直射,它的定义在第二章已经讲过,它的一个重要性质是保持点和直线的结合关系；保持结合关系的一对一的点变换是射影变换。可见保持点和直线的结合关系是射影变换Ф的特征性质,也就是它的几何意义。

我们还有一个重要问题就是研究直射变换有哪些类型,并讨论其中起重要作用的那些特殊的直射。

直射由两个对应的四角形点集确定。如果平面ω到它自身的直射变换Ф保持四角形点集1234

的点P,P,P,P固定,那么这个直射Ф就是恒等变换。由此可见,如果Ф不是恒等变换,那么不共线的二重点至多有三个。对偶地说,如果Ф不是恒等变换,那么不共点的二重直线至多有三条。

5.1 平面ω到它自身的直射变换的二重元素 设平面ω到自身的直射变换Ф是

?x??x(aki) ?aki?0 ( 2.5.1)

如果点x～(x1,x2,x3)是Ф的一个二重点,则对于合适的?≠0,有解(x1,x2,x3)≠(0,0,0)。把方程写成齐次式,就是

?(??a11)x1?a12x2?a13x3?0???a21x1?(??a22)x2?a23x3?0 ( 2.5.2) ??ax?ax?(??a)x?0333?311322此方程的系数行列式是

??a11?(?)??a21?a31?a12?a13?a23 ( 2.5.3) ??a33??a22?a32当且仅当△(?)=0时,方程组( 2.5.2) 有非零解。但△(?)=O是一个?的实系数三次方程,至少有一个实根,且此根不是“0”(因△(0)=- aik≠0),对应于这个根,Ф至少有一个二重点(至少有一条二重直线)。

定理16 射影平面到它自身的直射至少有一个二重点和一条二重直线。

这个定理说明了平面上直射变换总有二重元素存在。在证明的过程中,还指出了求二重元素的具体方法。为了阐明这一方法,并使计算过程尽可能简单,我们介绍特征方程及其根的几个简单性质。

△(?)=0称为直射Ф的特征方程,它的根称为特征根。

齐次线性方程组( 2.5.2) 的系数矩阵为：

???a11??E?(aik)???a21??a31??a12??a22?a32?a13???a23? ( 2.5.4) ??a33??对于特征根?j。所得的矩阵?jE?(aik)的秩记为rj。有下面性质： 引理1 若rj=0,(j=1,2,3),则直射Ф是恒等变换。

证明 因为rj=O(j=1,2,3),所以矩阵?jE?(aik)的所有元素都是零,于是

???(aik)??0?0?0?00??0???E ???所以Ф=I

引理2, 若直射Ф≠I, ?j是△(?)=0的单根(不是重根),则rj=2 证明 由于?(?j)?0, ?rj?3 又 ??I, ?rj?0 rj只有两种可能rj=1或rj=2。

假设rj＝1,那么矩阵?jE?(aik)的所有二阶子式都是零。于是

d?(?)d????j??j?a23?a23?a32?j?a11?a13?j?a11?a12???0

?j?a33?a21?j?a22?a33?a31这表明?j 是△(?)=0的重根(至少二重),与?j是单根矛盾。所以rj=2。

如果把Ф=I这个情形暂时除外,由引理1,2可知,rj要么等于2,要么等于1,因此解方程

组 ( 2.5.2)时只有两种情形：

(1)rj=2,矩阵(3)中至少有一个二阶子式不为零,例如,左上角的那个二阶子式不为0,它对应于方程组( 2.5.2)中的第一和第二两个方程：

??(?j?a11)x1?a12x2?a13x3?0 ????a21x1?(?j?a22)x2?a23x3?0根据解齐次线性方程组的知识,方程组( 2.5.2)与这两个方程所构成的方程组同解,而这个方程组有一组成比例的非零解：

x1?a12?a13?x2?a13?j?a11?a23?a21?x3?j?a11?a12?a21

?j?a22?a23?j?a22这一组解正是( 2.5.4) 中矩阵第一行与第二行的外积。所以若rj=2时,只要在矩阵( 2.5.4)中找到不为零的一个二阶子式所对应的两行,然后求这两行的外积便是一个二重点的坐标。

(2)若rj=1,则矩阵( 2.5.4)中所有二阶子式都为零,但至少有一个元素不为零,例如左上角那个元素?j-a11不是零,它对应于方程组 ( 2.5.2)中的第一个方程：

(?j?a11)x1?a12x2?a13x3?0

那么方程组 ( 2.5.2)与这个方程同解,或者说满足这一个方程的一切非零解都是 ( 2.5.2)的解。也就是说上面这个方程所表示的直线上所有的点都是二重点,可见这条直线是点态不变的。

在这一情况下，只要找到矩阵( 2.5.4)中不等于0的那个元素所在的行，这一行的元素就是Ф的一条点态不变的直线的坐标。

至于二重直线的求法，只要把上述方法应用到??????(aik),讨论方法与上面相同。 例1 求直射Ф：

?7?1?2???x??x?42?2??的二重元素

??115?????7解 ?(?)??41?1?(??3)(??5)(??6)?0

??512??22有三个单根ρ1=3, ρ2=5, ρ3=6 当ρ1＝3时，得相关方程组：

??4x1?4x2?x3?0? ?x1?x2?x3?0?2x?2x?2x?023?1对应二阶子式

?41?0对应的二重点

1?1x(1)～(?4,?4,1)?(1,1,?1)?(3,?3,0)～(1,?1,0).

当ρ2＝5时，得相关方程组：

??2x1?4x2?x3?0??x1?3x2?x3?0 r=2， ?2x?2x?02?1x(2)～(1,3,?1)?(1,1,0)～(1,?1,?2)～(?1,1,2)

图2.18

ρ3＝6时，得相关方程组：

??x1?4x2?x3?0??x1?4x2?x3?0 r=2 ?2x?2x?x?023?1x(3)～(1,4,?1)?(2,2,1)～(6,?3,?6)～(?2,1,2).

三个二重点不共线。

三条二重直线是：

?(1)?x(2)?x(3)?(?1,1,2)?(?2,1,2)?(0,?2,1)

?(2)?x(3)?x(1)?(2,?1,2)?(1,?1,0)?(2,2,1) ?(3)?x(1)?x(2)?(1,?1,0)?(?1,1,2)?(1,1,0)

二重点与二重直线的相关位置,如图2.18所示。实际上二重直线求法也可用对偶原则得

??412??到，即用??????(aik)得到。?1E?(aik)的转置为?1E?(aki)=??412??的秩为2，

?1?1?2???求第二、三行的向量积，得到二重直线为（0,-2,1）.

?3?1?1???40? 的二重元素。 例2 求直射Ф ?x'?x?0??1?13???

??3解 ?(?)?011?(??2)(??4)2?0 ??311??40

有一个单根ρ1=2,一个二重根ρ2=ρ3=4。 当ρ1=2时,得相关方程组：

??x1?x3?0??x1?2x2?x3?0 r=2 ?x?x?013?二重点a???1,0,1???1,?2,1???2,2,2?~?1,1,1? 当ρ2=ρ3=4时。得相关方程组

?x1?x3?0??x1?x3?0 r=1 ?x?x?0?13

二重点为x1+x3=0上的每一点。这是一条点态不变的直线α＝(1,0,1),且a??由对偶原则, Ф还有一个线态不变的线束。它的中心就是已经求出的a。

?0。

图2.19

事实上,点a不在α上,通过点a～(1,1,1)的任何一条直线η必与α相交于一点,这个交点必是二重点,那么直线η上便有两个二重点,因而η是二重直线,显然,线束a是线态不变的。相关位置如图2.19。

?260???例3 求直射Ф: ?x'?x?020? 的二重元素。

?0?13???

解

??2?(?)??60001?(??3)(??2)2?0 ??3??20

有一个单根ρ1=3和一个二重根ρ2=ρ3=2。 当ρ1=3时,得相关方程组

??x1?0?6x?0 r=2 ?1?x2?x3

二重点x(1)

=(1,0,O)×(-6,1,1)=(0,1,-1)。 当ρ2=ρ3=2时,得相关方程组：

???6x1?x3?0?x r=2 3?0二重点x(2)~x(3)?(?6,0,1)?(0,0,1)?(0,6,0)~(0,1,0)

现在来求二重直线,首先写出 ?'???'(aik) ?aik?0

??2?60?(?)?0??20?(??3)(??2)2?0 01??3

有一个单根σ1＝3，一个二重根σ2＝σ2＝2 当σ1＝3时,得相关方程组：

???1?6?2?0??2?0 r=2 ???2?0

得一条二重直线?(1)?(1,?6,0)?(0,1,0)?(0,0,1)

图2.20

当σ2＝σ3＝2时,得相关方程组：

???6?2?0?? r=2 2??3?0

两条二重直线?(2)~?(3)?(0,?1,0)?(0,1,?1)~(1,0,0)

二重元素的相关位置如图2.20所示。

的特征方程

?121???例4 求直射Ф:?x'?x?010?的二重元素

?001???

??1解 ?(?)??2000?(??1)3?0

??1??10?1有一个三重根ρ1= ρ2=ρ3=1,相应的相关方程组：

??2x1?0 r=1, ???x1?0x1=0上每点都是二重点,所以α＝(1,0,O)是一条线态不变的直线。

??1再求二重直线,?(?)??2?10?(??1)3?0 ??100??10

图2.21

?1??2??3?1相关方程组只有一个方程：

2?2??3?0 r=1,

有一个线态不变的线束,以a～(0,2,1)为中心,又a??=0,所以a在?上。它们的位置

如图2.21所示。

01??0??10? 的二重元素 例5 求直射Ф:?x'?x?0??1?22????解 ?(?)?0012?(??1)3?0 ??2??10?1

?1??2??3?1相关方程组为：

?x1?x3?0??x3?0 r=2 ??x?x?0?13二重点x(1)~x(2)~x(3)?(1,0,1)?(0,0,1)~(0,1,0) 再求二重直线

?0?1?(?)?0??10?(??1)3?0

12??2?1??2??3?1

??1??3?0 r=2 ???????0?123二重直线?(1)~?(2)~?(3)?(1,0,?1)?(1,2,?1)?(2,0,2)~(1,0,1)

x(1)·?(1)?0

?(1)~?(2)~?(3)是二重直线,它上面只有一个x(1)是二重点。它们的位置如图2.22。

图2.22

△(ρ)=0的根 ρjE—(aik)的秩rj 二重元素 三个重点,不共线； 三条二重直线,不共点 ρ1 r1=2 r2=r3=1 线态不变的线束a； 点态不变的点列α 透 射 配置图 名称 ρ1≠ρ2≠ρ3 r1=r2=r3=2

ρ2=ρ3 r1=2 r2=r3=2 两个二重点,其中一个计算2次；两条二重直线，其中一条计算2次 r1=r2=r3=1 ρ1ρ=2=ρ3 r1＝r2＝r3＝2 所有二重点属于一条直线α,所有二重直线属于一点a 一个二重点(计算3次), 一条二重直线(计算3次) 合 射 从上面五个例子可以看出,直射变换有五种不同的类型(恒等变换和有虚的特征根的情况不在内),其中例2叫透射，例4叫合射,以后将起着重要的作用。

5.2透射

定义 射影平面到它自身的直射,如果不是恒等变换,但保持一条直线α上的每一个点和通过不在α上的点a的每一条直线都不变,那么这个直射称为透射或同调。这条直线α和点a分别称为透射轴和中心。

如何确定一个透射? 有下面定理：

定理17 已知一条直线α和三个不相同的共线点a、z和z’,这三个点没有任何一个在α上,那么恰有一个以a为中心, α为轴、z和z’为一对对应点的透射H。

证明 如果b和c是属于α而不属于?~a?z~a?z' 的任意两点,并且四点组a,b,c,z和a,b,c,z’都不含任何共线的三点,那么恰有一个直射H,把a,b,c,z按照所写的这个顺序变为a,b,c,z’。在直射H下a是二重点, α～b×c是二重直线,并且把以a为中心的线束变为以a为中心的另一线束,就是说H在以a为中心的线束里诱导出线束a到它自身的射影变换,不过在这个诱导出来的射影变换下,有三条直线a×b,a×c和?是自身对应的(即二重直线),所以是恒等变换。因为通过a的每一条直线是不变的,所以α上每一点是不变的。于是H是透射。

如果还有透射H’也以a为中心、α为轴、z、z’为一对对应点,那么H’也把四角形点集a,b,c,z依次变为a,b,c,z’。然而四角形点集a,b,c,z和依次对应的四角形点集a,b,c,z’所确定的直射是唯一的。所以H=H’,证毕。

这个定理说明透射H由它的中心a、轴α和一对对应点z,z’唯一确定,当然a,z,z’是不同的共线点,而且其中没有任何一点在α上。因此利用它可以作平面上任何一点在透射下的对应点。

如果平面ω到它自身的直射Ф不是恒等变换,也不是透射,那末直射Ф必是两个透射的乘积。

现在,我们考虑透射的特殊情形——调和透射。

定义 如果一个透射的任何对应点z和z’被中心a和点(z×z’)×α调和分隔,那么这个透射称为调和透射。

定理18 如果H是以a为中心, α为轴的透射变换,设H的一对对应点为z,z’,若四个点z,z’,a和z?(z?z')??是调和点集,那么H是调和透射

证明 由H在直线a?z~?上导出的射影变换是以a和

z 为二重点的,所以这个射影变换是双曲型的。(图2.23)

x

y

R(a,z,z,z')??1

设x是不在 ?上也不在

?上的任何一点,

图2.23

??(a?x)?x (z?x)???y

令a?x?? , (z'?y)???x' x与x'是上一对应点。 ?(a,z,z,z')y?(a,x;x,x') ? ?R(a,x;x,x')??1，所以H是调和透射

定理19 如果已知一条直线?和不属于?的一个点a,那么恰有一个以?为轴,a为中心的调和透射。

定理20 如果已知一条直线?和不属于?的两个不同点z,z’,那么恰有一个以?为轴,以z,z’为一对对应点的调和透射。

2

直线上的对合定义是Ф?I, Ф=I,把这个概念推广到射影平面上来：如果平面ω到它自身的直射Ф不是恒等变换,而它的平方是恒等变换,那么直射Ф称为平面ω上对合的直射或ω上的对合。

定理21 调和透射是平面ω上的对合。 定理22 平面上的对合必是调和透射。

事实上,设H是一个对合的直射,选这样两对对应点a,a’；b,b’,这四点中无任何三点

共线(图2.24所示),那么H是把(a,a’,b,b’)→(a’,a,b’,b)的唯一直射。这四点又构成一完全

四点形,R(a,a';f,g)??1

R(b,b';f,h)??1

所以H是g×h为轴,f为中心的调和透射。 前面的例4中,直射有一条点态不变的直线

?和一个线态不变的点a,并且a在a上,这个直射叫合射。

定义 如果射影平面到它自身的直射不是恒等变换,它保持一条直线?上每一个点以及通过一个点a的每一条直线都不变,且a属于?,那么这个直射称为合射。点a和直线?分别称为合射的中心和轴。

定理23 已知一条直线?和不属于?的一对点z,z’,那么恰有一个以?为轴和z,z’为一对对应点的合射(z ~?z’)

图2.24

证明 令 ??z?z' ， ????a ，如果x是不属于 ? 和?的任意一点,作

(z?x)???y,(y?z')?(a?x)?x'。设b是?上不同于y和a的任意一点,四点

组a,b,z,x和a,b,z’,x’中没有任何三点共线,那么恰有一个直射Ф：(a,b,z,x)→(a,b,z’,x’)图2.25所示。

?图2.25

在直线?上,有三个二重点：y,a,b,因此?上每个点都变为自己。所以?是点态不变的直线,同样, Ф使通过a的直线有以三条二重直线?,?,x?x'。所以线束a是线态不变的,且a属于?，所以Ф是合射。

定理24 一个直射不是恒等变换,但保持一条直线?的所有的点不变。如果没有其它二重点，那么Ф是合射；否则,是透射。

设a是Ф的二重点,a·α≠O,那么以a为中心的线束里的每一条直线η上有两个二重点：a和η×α。所以这个线束线态不变。Ф是透射。

如果除了α的点以外,没有二重点了。设z不属于?,则z?z'不在?上,z×z’= ?

?(图2.25) ?×?=a,则a×z=a×z’,故 ?是二重直线,同样可以证明不属于?的任意点x,使x×x’变为自身。于是就得到以a为中心, ?为轴的合射。

定理25 直射变换若保持x3=O(即?3 )的每一个点不变,它就有表达式

?b??x'?x?0?a?10ba20??0? ???0 ( 2.5.5) ?0,b?1??

证明 设直射Ф的方程为

?a11??x'?x?a12?a?13a21a22a23a31??a32? ?aik??0 a33??它保持x3=0上每一点不变,在x3=0上取点d1(1,0,0)，d2(0,1,0)和(1,1,O),它们都是不

变点,代入上式得到

a21=a31=0,a12=a32=0,a11=a22=b’

?b'?此时(aki)??0?a?13aik0b'a230??b0??0?~?0b?a33???a1a20??0? 1??b0a1?0ba2?b2??0 0010ba20??0? ?b??0 1???b?得Ф：?x'?x?0?a?1

定理26 当直射变换( 2.5.5)不是恒等变换时,若b≠1,它表示以(a1,a2,1-b) 为中心,以

?3 为轴的透射。

证明 如果直射( 2.5.5)是透射,则它必须有一个不在 ?3 上的二重点,这个二重点的坐标可以写作(y1,y2,1),代入( 2.5.5) ,得

?y1?by1?a1?(1?b)y1?a1 ?? ?y?by?a(1?b)y?a2222?2?这方程组必须有解。若b=1,且当a1=a2=0时,有解,但此时Ф=I。 若b≠1时,方程组总有解： y1?a1a,y2?2 因而 ( 2.5.5)是以(a1,a2,1-b)为中心, 1-b1-b?3 为轴的透射。

如果( 2.5.5) 中Ф不是恒等变换,它的平方是恒等变换,那么它是调和透射。?为

2?b200????x''?x?0b20?

?a(b?1)a(b?1)1?2?1??b2?1??2?I的充要条件是：?a1(b?1)?0

?a(b?1)?0?2

若b?1,a1?a2?0,??? , 所以 b??1上面条件皆被满足,因而上述条件与b=-1是等价的,所以当且仅当b=-1时,直射( 2.5.5) 是调和透射。所以有

定理27 以 ?3 为轴,(a1,a2,2)为中心的调和透射的方程是

??100???px'?x?0?10? ( 2.5.6)

?aa1?2?1?定理28 代数式为

?1?px'?x?0?a?101a20??0? ???0,a1,a2不全为零 ( 2.5.7) 1??的直射,是以(a1,a2,0)为中心,。?3为轴的合射。

证明 在( 2.5.5) 中, ?3 的每一个点都是二重点,如果它还满足条件：(1)它不是恒等变换；(2) ?3以外无二重点；那么它就是合射。对于条件(2)就是把不属于 ?3 的点(y1,y2,1)代入：??(1?b)y1?a1

?(1?b)y2?a2必定无解,反过来也对。此方程组无解的充要条件是b=1,a1,a2不全为0,在此条件下, Ф≠I。容易验证,通过(a1,a2,0)的所有直线都是二重直线 ,把b=1,a1,a2不全为零这个条件代入 ( 2.5.5),便得到( 2.5.7) 。

§6 初等几何中的应用

我们应用一般的射影变换来解释初等几何中的一些变换,以便在较高的观点上理解那些变换。

1、实轴上的平移变换是：

x'?x?a ( 2.6.1)

a=0时,它是恒等变换。

a≠O时,在欧氏平面上它没有二重点。如果把实轴看成射影直线,则这个变换的非齐次方程与 ?'?a11??a12 比较,a11=a22=1,a12=a,a21=0,a11+a22=2≠0,所以这个变换是非对合的

a21??a222射影变换, ??(a11?a22)?4a12a21?0，( 2.6.1)是直线到它自身的抛物型射影变换,有一个二重点——无穷远点。

2、实轴上x关于a点的反射是：

x'??x?2a ( 2.6.2)

在欧氏平面上a=0时,是关于原点的反射；a≠O时,它有一个二重点a点。如果把它看作射影直线到它自的射影变换a11?a22?0,是双曲型对合,有两个二重点：a和无穷远点。

3、欧氏平面上的平移变换：

?x'?x?a (a,b)??(0,0) ( 2.6.3) ??y'?y?b

在欧氏平面上它没有二重点和二重直线。如果把它看作射影平面的射影变换, ( 2.6.3) 就成为：

??x1'?x1?ax3???x2'?x2?bx3 ??x'?x33?特征多项式：

??1?(?)?

0?a?b?(??1)3?0

??100??10?＝1三重根,相关方程组的r＝1,有一条点态不变的直线x3=O(即 ?3 ),对偶可求得有

一个线态不变的线束a(a,b,O),且a??3?0 ,所以( 2.6.3) 是以 ?3 为轴,a(a,b,0)为中心的合射。

4、欧氏平面上关于原点的中心对称：

?x'??x ( 2.6.4) ?y'??y?在欧氏平面上,原点是二重点,通过原点的直线都是二重直线。 如果把它看射影变换,它的齐次方程是

??x1'??x1???x2'??x2 ??x'?x3?3??'x1??x1'?其逆变换是??'x2??x2'

??'x?x'33?????1所以是对合,由定理27,Ф是以 ?3 为轴,(0,0,1)为中心的调和透射

5、欧氏平面上以原点为位似中心,k为位似常数的位似变换：

?x'?kx k??1 ( 2.6.5) ??y'?ky欧氏平面上它以原点为一个二重点,通过原点的所有直线是二重直线 把它化为齐次方程：

??x1'?kx1???x2'?kx2 ??x'?x3?3由定理26，它是以 ?3 为轴,(0,0,1)为中心的透射变换,它不是对合。

6、欧氏平面上关于横轴的反射：

?x'?x ( 2.6.6) ??y'??y在欧氏平面上,x轴是对称轴,x轴上的点都是二重点。 把它看作射影平面到自身的直射：

??x1'?x1???x2'??x2 ??x'?x3?3因为Ф=Ф,它是平面上对合——调和透射。

现在来求这个对合的中心和轴。

-1

??1?(?)?00000?(??1)(??1)2?0 ??1??10

特征根?1=-1(单根) ?2=?3=1(二重根) 当?1=-1时,相对应的二重点是a=(0,1,O)。

当?2=?3=1时,相对应的二重点是x2=O,这是一条点态不变的直线α,且 a???0 ,所以关于横轴的反射是以直线x2=0(即 ?2 )为轴,无穷远点(0,1,0)为中心的合射。

7、欧氏平面上绕原点的旋转变换：

?x'?xcos??ysin? ( 2.6.7) ?y'?xsin??ycos??在欧氏平面上,原点是二重点。把它看成射影变换

??x1'?cos?x1?sin?x2???x2'?sin?x1?cos?x2 ??x3'?x3?

特征多项式是

??cos??(?)???sin?0

sin?00?(??1)(?2?2?cos??1)?0 ??1??cos?0特征根?1=1；另二特征根满足 ??2?cos??1?0 ,但这个二次方程的判别式 ?2?cos2??1?0 ,若 cos??1?0 ,则 ??0或? ,于是旋转变换成为恒等变换或

者是关于原点的中心对称，若 cos??1?0 ,则?2, ?3为共轭虚数(不在讨论之列),所以 ???0,? 时,仅有一个实特征根?1＝1,此时的相关方程组为：

?(1?cos?)x1?sin?x2?0 ??sin?x?(1?cos?)x?012?r＝2,一个二重点x(1)~(1?cos?,sin?,0)?(?sin?,1?cos?,0)~(0,0,1) 关于二重直线

??cos??sin??(?)?sin???sin?0000?0

??1讨论方法同上面相同,当 ?1?1 时,有一条二重直线(0,0,1)～?3 。

所以,这个变换是仅有一个二重点(0,0,1)和一条二重直线 ?3 (0,0,1)的一般的直射。 下面举几个例子,说明本章知识在初等几何中的应用

例1 设一直线 ? 截三点形k1m的三边1×m,m×k,k×1于点a,b,c；再以不在这三边上的任意点n为中心,把k,l,m分别投影到它的对边上,象点为u,v,w,求证三点形每一边上的四个点所成交比的乘积为-1,就是：

图2.26

R(1,m;u,a)?R(m,k;v,b)?R(k,1;w,c)??1

证明

n?(b',c',a',a) ?n点列(m,k,v,b)?(c',a',b',b)

?点列(k,1,w,c)n?(a',b',c',c)

?点列(1,m,u,a)而a,a’,b,b’和c,c’是完全四点形klmn的三对对边与直线 ?的交点,根据第二笛

沙格定理,它们同属于一个对合。所以

R(1,m;u,a)?R(b',c';a',a)?R(b,c;a,a')R(m,k;v,b)?R(c',a';b',b)?R(c,a;b,b') R(k,l;w,c)?R(a',b';c',c)?R(a,b;c,c')?R(1,m;u,a)?R(m,k;v,b)?R(k,l;w,c)

?R(b,c;a,a')?R(c,a;b,b')?R(a,b;c,c')

?aba'cbcb'acac'b ??a'bacb'cbac'acba'cb'ac'ba'aa'bb'cc'aa'a

=???R(c,a;a',b')?R(a,b;a',c')

=?R(c,a;a',b')?R(a',b';a,c)

=?R(c,a;a',b')?

1??1

R(c,a;a,b)例2 一直线?顺次交三点形p1p2p3的三边p2p3,p3p1,p1p2于q1,q2,q3,在此三边上顺次取q1’,q2’,q3’,使R(p2,p3；q1 ,q1’)=k1,R(p3,p1；q2,q2’)=k2。R(p1,p2；q3,q3)= k3

求证：(1) q1’,q2’,q3’ 共线的充要条件是k1k2k3=1；

(2) p1q1',p2q2',p3q3' 共点的充要条件是 k1k2k3??1 。

证 (1)(图2.27)以直线p2p3,p3p1,p2p1为

’

?1,?2,?3 ，q1×q2为单为直线 ?e 建立线坐标糸,

p1?d1,p2?d2,p3?d3

q1??e??1?d2?d3q2??e??2?d3?d1

图2.27

q3??e??3?d1?d2q1'??1d2?d3?(0,?1,1)q2'??2d3?d1?(1,0,?2) q3'??3?d2?(?3,1,0)所以

R(p2,p3;q1,q1')???1?k1R(p3,p1;q2,q2')???2?k2 R(p1,p2;q3,q3')???3?k3k1k2k3???1?2?3 q1q2'q3'共线的充要条件是

0q1'q2'q3'?1?1011?2?1??1?2?3?0即 k1k2k3?1

0?3

图2.28

(2)图2.28仍以 p2?p3~?1,p3?p1~?2,p1?p2~?3 q2?q1为单位直线?e 建立坐标系,

则d1~p1,d2~p2,d3~p3 q1'?(0,?1,1),q2'?(1,0,?2),q3'?(?1,?3,0)

p1?q1',p2?q2',p3?q3'共线的充要条件是

0?1?10?1??1?2?3?1?0 0p1?q1',p2?q2',p3?q3'=?2?1?3即k1k2k3??1

若q1,q2,q3是无穷远点,则

k1?R(p2,p3;q1,q1')?R(p3,p2;q1',q1)?'p1q2'p2q3'13p3q1'p2q1'

同理

k2?pq'32,k3?pq

??''p1q2p3q1'p2q3''q2p3q1'p2q3p1

,所以

k1k2k3?''p3q1'p1q2p2q3pqpqpq'21'32'13

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