数学建模 插值与拟合方法

插值与拟合方法

数学建模社团活动

主讲人：赵振刚

第一章 插值与拟合方法一般插值方法； 样条函数与样条插值方法； 磨光法与B样条函数； 最小二乘拟合方法； 应用案例分析与应用练习.

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2013年11月24日

一、一般插值方法1.一般问题的提出实际中不知道函数 y f (x) 的具体表达式， 由实验 测量对于 x xi 有值 y yi (i 0,1,2, , n) ,寻求另一 函数 (x) 使满足： ( x i ) yi f ( xi ) 。此问题称为插值问题， 并称 (x) 为 f (x) 的插值 函数； x 0 , x1 , x2 , , xn 称为插值节点；

( x i ) yi (i 0,1,2, , n) 称 为 插 值 条 件 ， 即 ( x i ) yi f ( xi ) ,且 ( x) f ( x) 。3 2013年11月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式设函数 y f (x) 在 n 1 个相异点 x 0 , x1 , x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1 , y 2 , , yn ,要求一个次数≤n 的代数多 项式

Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x 使在节点 x i 上成立 Pn ( x i ) yi (i 0,1,2, , n) , 称此为 可以证明 n n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。2 n

次代数插值是唯一的。4 2013年11月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式 n x x i 事实上: 可以得到 Pn ( x) y x x j j 0 i 0 j i (i j ) 当 n 1 时，有二点一次(线性)插值多项式：n

x x0 x x1 P1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0当n =2 时，有三点二次(抛物线)插值多项式：

( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) P2 ( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )另外还有著名的Newton插值和Hermite插值等。5 2013年11月24日

二、样条函数与样条插值1. 样条函数的概念定义:设给定区间 [a, b] 的一个分划 : a x0 x1 xn b , 如果函数 s(x) 满足条件：1)在每个子区间 [ xi 1 , xi ](i 1,2, , n) 上是

k 次多项式；

2) s(x) 及直到 k -1 阶的导数在 [a, b] 上连续。

则 称 s(x) 是 关 于 分 划 △ 的 一 个 k 次 多 项 式 样 条 函 数 ，

x0 , x1 , , xn 称为样条节点， x1 , x2 , , xn 1 称为内节点， x0 , xn 称为边界节点，全体记作 S P ( , k ) ,称为 k 次样条函数空间。6 2013年11月24日

1. 样条函数的概念若 s( x) S P ( , k ) , s(x) 是关于△的 k 次多项式 则 样条函数。一般形式为：

j x j n 1 j sk ( x) ( x x j )k j! j 0 j 1 k!k

( x x j ) k , x x j k 其中 ( x x j ) , j 和 j 均为任 0, x x j 意常

数。7 2013年11月24日

1. 样条函数的概念二次样条：对于 [a, b] 上的分划 : a x0 x1 xn b , 则

2 2 n 1 j 2 s2 ( x) 0 1x x ( x x j ) S P ( ,2) 2! j 1 2! ( x x j ) 2 , x x j 2 其中 ( x x j ) 0, x x j 类似地有三次样条：

2 2 3 3 n 1 j 3 s3 ( x) 0 1 x x x ( x x j ) S P ( ,3) 2! 3! j 1 3!8 2013年11月24日

二、样条函数与样条插值2. 样条函数插值

(1)二次样条插值: 二次样条函数 s 2 ( x ) 可分为 两类插值问题：1). 给 定 插 值 节 点 x i 和 相 应 的 函 数 值 yi (i 0,1,2, , n) ,以及端点 x0 (或 xn )处的导数值 y ' 0 (或 y' n ),求 s2 ( x) S P ( ,2) 使得

s 2 ( xi ) yi (i 0,1,2, , n) s 2 ' ( x0 ) y 0 ' (或s 2 ' ( xn ) y n ' )9 2013年11月24日

二、样条函数与样条插值2. 样条函数插值

2). 给 定 插 值 节 点 x i 和 相 应 的 导 数 值 y i (i 0,1,2, , n) ,以及端点 x0 (或 xn )处的函数值

y0 (或 y n ),求 s2 ( x) S P ( ,2) 使得

s 2 ' ( xi ) yi ' (i 0,1,2, , n) s 2 ( x0 ) y0 (或s2 ( xn ) y n )10 2013年11月24日

(2) 三次样条插值确定三次样条 s3 ( x) 可有三类问题：1).求 s3 ( x) S P ( ,3) 使满足条件： 内点条件： s3 ( xi )

yi (i 1,2, , n 1) 边界条件： s3 ( x j ) y j , s3 ' ( x j ) y j ' ( j 0, n)2).求 s3 ( x) S P ( ,3) 使满足条件： 内点条件： s3 ( xi )

yi (i 1,2, , n 1) 边界条件： s3 ( x j ) y j , s3 ' ' ( x j ) y j ' ' ( j 0, n)11 2013年11月24日

(2) 三次样条插值3).求 s3 ( x) S P ( ,3) 使满足条件： 内点条件： s3 ( xi ) yi (i 1,2, , n 1)

s3 ( x0 ) y0 , s3 ( xn ) yn 边界条件： ( k ) s3 ( x0 0) s ( k3) ( x0 0)(k 0,1, 2)

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三、B样条函数插值1. 等距B样条函数对于任意 f (x) 定义步长为1的中心差分算子δ:

1 1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) , 2 2 1 0 1 0 0 则 x ( x ) ( x ) 是一个 2 2 0 单位方波函数，记 0 ( x) x ,

0 ( x)o

-1/2 O 1/2

x

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2013年11月24日

1. 等距B样条函数对 0 ( x) 进行磨光：

1 ( x)

1 2 1 x 2 x 1 2 1 x 2 x x 1

1 ( x)1

0 (t )dt 1 0 1 0 t t dt 2 2 t dt 0 x x 1

-1

o

1

x

x

0 t dt ( x 1) 2 x ( x 1)

C k 1 类似地可得: k ( x) ( 1) j x k! 2 j 0k 1 j j k 1

k14 2013年11月24日

1. 等距B样条函数可以证明：

k (x) 是分段 k 次多项式，且具有 k 1 阶连续导 数，其 k 阶导数的间断点为 k 1 xj j ( j 0,1,2, , k 1) , 2 则 k (x) 是对应于 : x0 x1 xk 1 的 k 次多项式样条函数。 称其为基本样条函数，简称为 k 次B样条。15 2013年11月24日

1. 等距B样条函数

k 1 ( j 0,1,2, , k 1) ,即节点 样条节点为 x j j 2 是等距的，故 k (x) 又称为等距B样条函数。由归纳法可证明： f (x) 的 k 次磨光函数可以表示为

1 x t h h f k ,h ( x) k 1 ( ) f (t )dt x t x h h 2 216 2013年11月24日

三、B样条函数插值2. 一维等距B样条函数设已知曲线上一组点 x j , y j ,其中 xi x0 ih

(h 0, j 0,1, 2, , n) ,则相应的样条磨光曲线为 n 1 x x0 sk ( x) c j k j h j k

最常用的是 k 2 或3的情况，此时既有较好的精度，又有良 好的保凸性。

该样条也可用于近似均匀分划的情形，可能在 x0 和 xn 处误 差大。为保证在 x0 , xn 处的精度，可适当向左右延拓几个节点。17 2013年11月24日

三、B样条函数插值3.二维等距B样条函数如果已知双参数曲面 z f ( x, y) , 且对于二维等距节点

xi , yi x0 ih, y0 j s( x, y) i k n 1 m 1

(h, 0) 上 的 值 为

zij (i 0,1,2, , n; j 0,1,2, , m) ,则有磨光曲面为： x x0 y y0 l cij k h i l j j

其中 k, l 可以不同，常用的也是 k , l 2,3 的情形，是一种 具有良好保凸性的光滑曲面。18 2013年11月24日

四. 数据拟合方法1.数据拟合问题的一般提法已 知 某 函 数 y f (x) 的 一 组 测 试 数 据 要寻求一个函数 (x) , (x) 对 使 ( xi , yi )(i 1,2, , n) , 上述测试数据的误差较小，则 ( x) f ( x) 。y 。 。 。 。 。 。 。 。

y ( x) f ( x)

。

( xi , yi )(i 1,2, , n)x

o19 2013年11月24日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nxti.html