3--Wilcoxon符号秩检验

Wilcoxon符号秩检验

§2.2 Wilcoxon符号秩检验 Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验 Wilcoxon符号秩检验 ( Wilcoxon signedsignedrank test )是非参数统计中符号检验法的改进， )是非参数统计中符号检验法的改进， 它不仅利用了观察值和原假设中心位置的 它不仅利用了观察值和原假设中心位置的 差的正负，还利用了差的值的大小的信息。 虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩 的基本思想。

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例 2. 4 下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的 下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的 酒量(相当于纯酒精数)(单位：升)。数据已 经按升幂排列。 4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.89 13.54 14.45 人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中 位数相当于纯酒精8升，也就是me =8。由数据 位数相当于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据 算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为： 算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为： H0:me=8 ,H1:me > 8 me=

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先计算每个样本值和原假设中me 先计算每个样本值和原假设中me0的值 之差，即X 之差，即Xi-8。 考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到 大排序，从而求出这些绝对值的秩。 再计算比8 再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之 和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假 设，接受备择假设。

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问题一般提法： 假定样本X 假定样本X1, … , X n来自分布连续对称 来自分布连续对称 的总体X,在此假定下总体X的中位数等于 总体X,在此假定下总体X 均值。 问题主要是检验中位数，即原检验为 H0:me=me0,相对于各种单双边的备择假 设。

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注： (1)与符号检验不同： Wilcoxon符号秩检验 Wilcoxon符号秩检验 假设总体分布是对称的。 (2)在总体分布对称的假设下，即设总体X )在总体分布对称的假设下，即设总体X 的分布关于点θ对称，则X 的分布关于点θ对称，则X的均值和中位数 相同，且均为θ。所以检验总体中位数可 相同，且均为θ。所以检验总体中位数可 等价于检验总体对称中心。即检验的原假 等价于检验总体对称中心。即检验的原假 设 H0:M=M0 等价于 H0:θ=θ0(相对于各 种单双边的备择假设)。

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检验步骤： H0: θ=θ0 (对应于各单双边备择假设) Step 1. 计算 xi θ0, i=1, 2, … , n。记差为z i. n。记差为z Step 2. 将差z i.的绝对值，即 z1 ,… , zn 按从小到 将差z 大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨 假定样本互不相等，都不等于0 假定样本互不相等，都不等于0,且样本差的绝对 值也互不相等。所以可得到样本z 值也互不相等。所以可得到样本z i.的绝对值的秩， 不妨记 的秩为R i。 的秩为R zi

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Step 3. 符号秩和检验统计量为

W =∑=1ui R, 其中 i i+

n

, 1 zi >0 ui = 则 0, 否 。

或者取检验统计量为

W =∑=1vi R, 其中 i i- n

, ; 1 zi <0 vi = 则 0, 否 。

主要取W 主要取W+为检验统计量。

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Step 4 设w+表示由样本算出的W+的值。 表示由样本算出的W (1) H0: θ=θ0 , H1: θ>θ0 p值=P( W+≥ w+ ); 值=P( (2) H0: θ=θ0 , H1: θ<θ0 p值=P( W+≤ w+ ); 值=P( (3) H0: θ=θ0 , H1: θ≠θ0 p值=2min{P( W+≥ w+ ),P(W+≤ w+)} 值=2min{P(

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对Step 4的注解： 4的注解： 对于对称中心不为0 对于对称中心不为0的总体分布，可以转 化为中心为0 化为中心为0的情况进行检验！ 现不妨假设θ 现不妨假设θ0=0,则原假设变为 H0:θ=0 对于这种检验，通过严格的证明来说明p 对于这种检验，通过严格的证明来说明p值 的选取。

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(1)H0: θ=0 , H1: θ>0。 θ>0。 若H1成立，则总体X的分布关于点θ对称。 成立，则总体X的分布关于点θ 从而有， P( X>0 ) > P( X<0 ) , 且对任意正数a 且对任意正数a, P( X>a ) > P( X<-a )。 X<- )。 所以当H 所以当H1成立，不仅观察到的取正值的样本 数据的个数比较多，且取正值的样本数据的 拒绝值也比较大。由此，H1成立时，W+的值 拒绝值也比较大。由此，H 成立时，W 较大 。所以p值=P( W+≥ w+)。 。所以p值=P(

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例 2. 2中我们的检验设为： 2中我们的检验设为： H0:M=8 ,H1:M > 8 下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验 下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验 H0:θ=8 ,H1: θ> 8

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检验步骤 Step 1. 对于 i=1, 2, … , n,计算得到新的样本zi和 n,计算得到新的样本z 它们对应的秩如下：样本 xi z i的 符号 4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.9 13.54 14.45

-

-

-

+

+

+ 3.92 6

+ 4.32 7

+

+

+ 6.45 10

zi的绝 3.88 2.19 0.37 1.74 2.39 对值 秩 5 3 1 2 4

4.89 5.54 8 9

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Step 2. 计算W+。 计算W W+=2+4+6+7+8+9+10=46 =2+4+6+7+8+9+10= 利用W 利用W+的分布，辅以统计软件，可计算出 p值= 0.032。 0.032。 Step 3. 所以给定α=0.05时，此时可拒绝原 所以给定α 0.05时，此时可拒绝原 假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8 假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。

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W+的分布性质设独立同分布样本x 设独立同分布样本x1,…,xn来自连续对称总体 X,X分布的对称中心为θ X,X分布的对称中心为θ。为方便讨论，不妨设原假 设为 H0:θ=0, 即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W 即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W+ 的性质。 注：W 注：W+与W-有下列关系： W++ W- = n(n+1)/2 n(n+

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(关键)性质 2.1 令 S =∑=1iui , 则在总体的 i 分布关于原点0对称时，W 分布关于原点0对称时，W+与S同分布。n

注： S是W+

当Ri=i时的特殊情况。研究W+ 时的特殊情况。研究W 的分布可转为研究S 的分布可转为研究S的分布。

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概率分布 性质 2.2 在总体的分布关于原点0对称时， 在总体的分布关于原点0 W+的概率分布为 P ( W+ = d )=P ( S=d ) S= =t n(d)/2n, 其中，d 其中，d=0, 1, 2, … , n(n+1)/2,tn (d)表示从1, n(n+1)/2, (d)表示从1, 2, … , n这n个数中任取若干个数(包括一个都 n这 不取),其和恰为d 不取),其和恰为d,共有多少种取法。

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对称性 性质 2.3 在总体的分布关于原点0对称时， 在总体的分布关于原点0 W+服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4, 服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4, 即：对所有的d=0, 即：对所有的d=0, 1, 2, … , n(n+1)/4,有 n(n+1)/4,有 P ( W+ = n(n+1)/4 - d ) = P ( W+ = n(n+1)/4 + d ), P ( W+ ≤ n(n+1)/4 - d ) = P ( W+ ≥ n(n+1)/4 + d )。 )。

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期望方差及渐近正态性 性质 2.4 在总体分布关于原点0对称时， 在总体分布关于原点0 E(W+)=n(n+1)/4, )=n(n+1)/4, D(W+)=n(n+1)(2n+1)/24。 =n(n+1)(2n+1)/24。 性质 2.5 若总体分布关于原点0对称，则在样本容 若总体分布关于原点0 量n趋于无穷大时，W+有渐近正态性： 趋于无穷大时，W L W+ → N(n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24) n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24)

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有结的情况下，用平均秩法。 性质2.6 在总体的分布关于原点0 性质2.6 在总体的分布关于原点0对称，有结秩取 平均时， E(W+)=n(n+1)/4, )=n(n+1)/4, g +)=n(n+1)(2n+1)/24- τ D(W =n(n+1)(2n+1)/24- ∑=1(τi3 i )/ 48 i τ 表示第i 其中g 其中g表示结的个数， i 表示第i个结的长度。 有结时，W 有结时，W+的期望和方差实际上是条件期望和 方差，它们是在样本数据中给定有g 方差，它们是在样本数据中给定有g个结，且结的长 , 度分别给定为 τ1,τ2, τg 时的条件期望和条件方差。

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与符号检验的比较。 续例 2.2 两个不同方向的假设检验。 考虑下面的假设检验： H0:M=12.5, H1:M<12.5 (H2) H2) 比较它与前一个假设检验： H0:M=8, H1:M>8 (H1) H1) 对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符 对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符 号检验方法。

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符号检验结果 对于检验(H1): 对于检验(H1): 检验统计量K S-=3, S+=7, 检验统计量K=S+=3, p值=0.171875,对α=0.05,不能拒绝H0。 值=0.171875,对α 0.05,不能拒绝H 对于检验(H2): 对于检验(H2): S-=7, S+=3, 检验统计量K=S+=3, 检验统计量K p值=0.171875,对α=0.05,不能拒绝H0。 值=0.171875,对α 0.05,不能拒绝H 结果完全对称！说明符号检验只与符号有关！

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