高中数学 - 常用公式及常用结论大全

新课标：（高中数学）

新课标：高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

4.容斥原理

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0

M?NM?Nf(x)?N|??0 ?|f(x)??22M?f(x)11. ??f(x)?NM?N8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是

充分条件.特别地, 方程ax2?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或

f(k1)?0且k1??k?k2k?k2bb?1???k2. ,或f(k2)?0且12a222ab处及区间的两端点处取得，具2a9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??体如下：

(1)当a>0时，若x??bb??p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2abb??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x????p,q?，则(2)当a<0时，若x??2a2ax??f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.

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10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q，则

?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；（2）方程f(x)?0在

???m?2?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?2区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p?4q?0或?或?；

af(n)?0af(m)?0????m??p?n??2?p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .

???m?211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式

f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).

(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是

f(x,t)man?0(x?L).

?a?0?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.

?c?0?b?4ac?0?12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ 真 真 假 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 对任何x， 不成立

2

ｐ且ｑ 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 p或q 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q 存在某x， p且q 成立 ?p或?q 新课标：（高中数学）

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)(x1?x2)?f(x)?f(x)?0??0?f(x)在?a,b?上是减函数. ?12x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为

(x1?x2)?f(x?f(x0?)??1)2减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则

f(x?a)?f(?x?a).

20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?b;两2a?b对称. 2a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数

2y?f(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)?anx?an?1xnn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性

)?f(a? x)(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x?f(2a?x)?f(x).

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(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b对称. 2m(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)?b?f?1(b)?a.

27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1?1[f(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数ky?[f?1(kx?b)是y?1[f(x)?b]的反函数. k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.

(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，

f(0)?1,limx?0g(x)?1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，

1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0),

f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 21(3)f(x)?1?(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a；

f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期T=4a；

1?f(x1)f(x2)(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.

或f(x?a)?30.分数指数幂 (1)amn?1nam（a?0,m,n?N，且n?1）.

? 4

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(2)a?mn?1amn（a?0,m,n?N?，且n?1）.

31．根式的性质 （1）(na)n?a.

（2）当n为奇数时，a?a； 当n为偶数时，nan?|a|??32．有理指数幂的运算性质 (1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).

(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).

p

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

b logN?b?a?N(a?0,a?1,N?0). a34.对数的换底公式

nn?a,a?0.

??a,a?0logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).

mlogaN?35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;

M?logaM?logaN; N(3)logaMn?nlogaM(n?R).

(2) loga236.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;

若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

1,则函数y?logax(bx) a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.

aa11(为减函数)和上y?log. )(,??)， (2)当a?b时,在(0,axbxaa 若a?0,b?0,x?0,x?推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga2

m?n. 238. 平均增长率的问题

x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p). 39.数列的同项公式与前n项的和的关系

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n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an???sn?sn?1,n?240.等差数列的通项公式

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为

n(a1?an)n(n?1)?na1?d

22d1?n2?(a1?d)n. 22sn?41.等比数列的通项公式

an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； q其前n项的和公式为

?a1(1?qn),q?1?sn??1?q

?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.

?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1?其前n项和公式为

?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)

ab(1?b)n每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1?b)?144．常见三角不等式 （1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

)，则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式

sin2??cos2??1，tan?=

sin?，tan??cot??1. cos?46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

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n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2cos?, cos(??)??n?12?(?1)2sin?,?

47.和角与差角公式 sin?(???)s?inc?o?s?cos; ?scos?(???)co?sc??os?sin; ?stan??ta?n. tan?(???)1?ta?nta?nsin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bco?s=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)??的象限决定,tan48.二倍角公式

b ). asin?2?s?inc?o. scos?2?c2o?s?2s?in?2ta?ntan?2?. 21?tan?49. 三倍角公式

22c?o?s??1. 12?2sinsin?3?cos?3?3s?i?n4c3o?s?34?s?in???4sin??sin(??). sin(33)).

3?c?os???4cos??cos(??)cos(333ta?n?t3a?ntan?3??ta?n1?3ta2n?50.三角函数的周期公式

tan?(?3?)ta?n?. (3?)函数y?sin?x∈R及函数y?cos?x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?(x??，)(x??，)函数y?tan(?x??)，x?k??51.正弦定理

2??；

?2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T??. ?abc???2R. sinAsinBsinC52.余弦定理

a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.

53.面积定理

111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.

222（1）S?

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(3)S?OAB????????2????????21?(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 254.三角形内角和定理

在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B). 22255. 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k??(?1)karcsina(k?Z,|a|?1).

cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).

tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).

特别地,有

sin??sin????k??(?1)k?(k?Z). cos??cos????2k???(k?Z).

tan??tan????k???(k?Z).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.

sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.

cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z. tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k???2),k?Z.

tanx?a(a?R)?x?(k???2,k??arctana),k?Z.

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).

???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

8

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).

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(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 63.两向量的夹角公式

cos??x1x2?y1y2x?y?x?y????????????AB?AB 21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|??(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 66.线段的定比分公式

?????????是实数，且PP设P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1(x1,y1)，P12的分点,1??PP2，则

x1??x2?????????x??????OP?1??1??OP2 OP???y??y1??2?y?1?1???????????????1t?（）. ?(1?t)OP?OP?tOP121??67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3368.点的平移公式

''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''???y?y?k?y?y?k'????注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP'的坐标为(h,k).

'''69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k).

(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y?f(x?h)?k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为y?f(x?h)?k.

(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

''''''????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.

?????????????（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.

????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.

?????????????（4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0.

????????????（5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.

71.常用不等式：

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（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）a,b?R??（4）柯西不等式

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.

（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值

12s. 4推广 已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.

（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.

73.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

22x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

x?a?x2?a??a?x?a.

2x?a?x2?a2?x?a或x??a.

75.无理不等式 （1）（2）（3）?f(x)?0? . f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0??f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)?

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km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An种.注：此类问题常用捆绑法； ?k?1Ak③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所

hk有排列数有AhAh?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.

Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有

nnnnnN?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)!. (n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有

nmn1n2N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号

p!的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N?.

n1!n2!...nm!N? ?（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的

nmn1n2Cp?CpCn?m!?n1...mm堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有

N?p!.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，n2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2N?Cp?CpCn??n1...mp!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)?n![推广:

1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

21

新课标：（高中数学）

1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)p???(?1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的正整数解有Cm?1个. (2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 Cn?m?1个.

(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的非负整数解有

n?1个. Cm?1?(n?2)(k?1)n?1n?1(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的正整数解有

1n?1n?12n?1Cnn???C1Cm?Cn2?2Cm???(?1)n?2Cnn??Cm?1?(n?2)k个. m?1n?2?n?k?2?n?2k?320n1n?12n?22rn?rrnn161.二项式定理 (a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;

二项展开式的通项公式

rn?rr1，2?，n). Tr?1?Cnab(r?0，162.等可能性事件的概率

P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkn?kP. n(k)?CnP(1?P)168.离散型随机变量的分布列的两个性质

,2,?); （1）Pi?0(i?1（2）P1?P2???1. 169.数学期望

E??x1P1?x2P2???xnPn??

170.数学期望的性质

（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?q171.方差

k?1p，则E??21. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??

172.标准差

22??=D?.

22

新课标：（高中数学）

173.方差的性质

(1)D?a??b??aD?；

2(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??q. 2p174.方差与期望的关系

D??E?2??E??.

175.正态分布密度函数

2f?x??1e2?6??x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表示个体的平均数与标

准差.

176.标准正态分布密度函数

x?1f?x??e2,x????,???.

2?6177.对于N(?,?2)，取值小于x的概率

?x???F?x?????.

???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?

2?F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????178.回归直线方程

nn??xi?x??yi?y??xiyi?nxy??i?1i?1?b??nn?2y?a?bx，其中?22.

x?xx?nx????ii?i?1i?1??a?y?bx179.相关系数

r???x?x??y?y?iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn ?2??x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0?n（1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.

?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1???a0?at（2）lim??(k?t).

n??bnt?bnt?1???bbtt?10?k?不存在 (k?t)?

23

新课标：（高中数学）

（3）S?lima11?qn1?qx?x0?n????a11?q（S无穷等比数列

?aq? (|q|?1)的和）.

n?11181. 函数的极限定理

x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.

x?x0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);

（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,

x?x0x?x0则limf(x)?a.

x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1； ?0，liman?0（|a|?1）

n??n??n11（2）limx?x0，lim?.

x?x0x?x0xx0（1）lim184.两个重要的极限 （1）limsinx?1；

x?0xx?1?（2）lim?1???e(e=2.718281845?). x???x?185.函数极限的四则运算法则

若limf(x)?a，limg(x)?b，则

x?x0x?x0(1)lim??f?x??g?x????a?b；

x?x0(2)lim??f?x??g?x????a?b;

x?x0(3)limx?x0f?x?a??b?0?. g?x?bn??186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则

n??(1)lim?an?bn??a?b；

n??(2)lim?an?bn??a?b；

n??(3)limn??ana??b?0?

n??bbnn??n??(4)lim?c?an??limc?liman?c?a( c是常数). 187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f?(x0)?y?x?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim.

?x?0?x?x?0?x188.瞬时速度

??s?(t)?lim?ss(t??t)?s(t)?lim.

?t?0?t?t?0?t24

189.瞬时加速度

新课标：（高中数学）

a?v?(t)?lim?vv(t??t)?v(t). ?lim?t?0?t?t?0?t190.f(x)在(a,b)的导数

dydf?yf(x??x)?f(x). f?(x)?y????lim?limdxdx?x?0?x?x?0?x191. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).

192.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??11ex；(loga)??loga. xx(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.

（1）(u?v)'?u'?v'. （2）(uv)'?u'v?uv'.

193.导数的运算法则

u'u'v?uv'(v?0). （3）()?vv2194.复合函数的求导法则

设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数yu'?f'(u)，则

'''复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx，或写作fx'(?(x))?f'(u)?'(x). ?yu?ux195.常用的近似计算公式（当x充小时）

1n1x;1?x?1?x； 2n1?1?x； (2)(1?x)??1??x(??R)；

1?xx(3)e?1?x； (4)ln(1?x)?x；

(5)sinx?x（x为弧度）； (6)tanx?x（x为弧度）； (7)arctanx?x（x为弧度）

196.判别f(x0)是极大（小）值的方法

(1)1?x?1?当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 197.复数的相等

a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R） 198.复数z?a?bi的模（或绝对值） |z|=|a?bi|=a2?b2. 199.复数的四则运算法则

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新课标：（高中数学）

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdbc?ad?i(c?di?0).

c2?d2c2?d2200.复数的乘法的运算律 对于任何z1,z2,z3?C，有 交换律:z1?z2?z2?z1.

结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3). 分配律:z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d?|z1?z2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

202.向量的垂直

??????????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 ??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2为纯虚数?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2

z1?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ为非零实数).

203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax?bx?c?0，

2?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab2②若??b?4ac?0,则x1?x2??;

2a2③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根

2?b??(b2?4ac)i2x?(b?4ac?0).

2a

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新课标：（高中数学）

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?x|y?lgx，B?y|y?lgx，C?(x,y)|y?lgx，A、B、C??????中元素各表示什么？

. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 2

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2 如 ：集合A?x|x?2x?3?0，B?x|ax?1???1?3?? 若 B?A，则实数a的值构成的集合为 （ 答：，?10，）?? 3. 注意下列性质：

n （ 1）集合a，a，??，a的所有子集的个数是2；12n????2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （

（3）德摩根定律：

CA?B?CA?CB，CA?B?CA?CB????????????UUUUUU 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如 ：已知关于x的不等式?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a2的取值范围。

ax?5x?aa·35?（∵3?M，∴?023?a

a·55?∵5?M，∴?025?a?5??a?1，?9，25） ??????3 5 . 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?).

p?q为真，当且仅当p、q均为真 若

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真

27

新课标：（高中数学）

?p为真，当且仅当p为假 若

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y?x4?x??的定义域是2lgx?3??

（ 答：0，2?2，3?3，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

?????? 如 ：函数f(x)的定义域是a，b，b??aF??0，则函数(x)f(x)?f(?x)的定义域是_____________。 （ 答：a，?a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f?????x?1?ex?x，求f(x).

?t?x?1，则t?0 令

x?t?1 ∴

∴ ft()?e?t?12t?122f(x)?e?x??1x0 ∴ ??2x?12 12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

：求函数f(x)? 如?2?11?xx?0????的反函数

?x?x?0???x?1?x?1???答：f(x)?） （ ???x?x?0??? 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

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新课标：（高中数学）

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f?1(b)?a

?1?1?1 ? ff(a)?f(b)?a，ff(b)?f(a)?b???? 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（y?f(uu)，??(x)，则y?f?(x)??（外层）（内层）

当 内、外层函数单调性相同时f??(xf)为增函数，否则(x)为减函数。）????：求y??logx?2x的单调区间 如 122 （ 设u??x?2x，由u??0则0x?2?2?2loguu???x?1?1，如图： 且， ??12 u O 1 2 x

x?(0，1]时，u?，又，logu?∴y? 当 12x?[1，2)时，u?，又，logu?∴y? 当 12 ∴??）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 在

??零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

3：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 如

值是（ ） A. 0

B. 1

2?? C. 2 D. 3

令fx'()?3x?a?3x??x???0?? （

????a3???a3? 29

新课标：（高中数学）

x??或x? 则a3a 3a3已知f(x)在[1，??)上为增函数，则?1，即a?3 由

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若 f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若 f(?x)?f(xf)总成立?(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（ 2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。xa·22?a? 如：若f(x)?为奇函数，则实数a? x2?1 （ ∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?00a·2?a?2?0，∴a?1） 即 021?x2如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?， 又 x4?1求f(x)在?1，1上的解析式。 ???x2令x??1，0，则?x?0，1，f(?x)? （ ?????x4?1?xx22f(x)为奇函数，∴f(x)????x 又 ?x4?11?4xx?(?1，0)?2??x?01x?4?f()0?0，∴fx()?） 又 ?x?2x?0，1??x?4?1? 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

若存在实数T（T?0），在定义域内总有fx?T?f(x)，则f(x)为周期 （ ??

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