高三立体几何一轮复习教案

立体几何

1空间几何体表面积与体积运算

一、空间几何体的分类

??棱柱??多面体?棱锥??棱台???空间几何体? 圆柱???旋转体??圆锥??圆台???对于空间几何体不用耗费时间归纳概括结构特征，只需从字面意思直接感知，再借助几何直

观加深印象即可

二、柱锥台的结构特征

1、棱柱：有两个平行的面，这两个平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的侧面，侧面是平行四边形，相邻侧面的公共边是棱柱的侧棱，棱柱的侧棱平行且相等 棱柱的特征简记为：底面平行，侧面是平行四边形，侧棱平行且相等 2、棱锥：有一个面是多边形（底面），其它各面（侧面）都是有公共顶点的三角形，相邻两侧面的公共边叫侧棱。

注意：棱锥的侧棱相交于一点

3、棱台：用平行于棱锥底面的截面取截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台 注：棱台是用棱锥截出来的，所以棱台侧棱延长线相交于一点 多面体用顶点字母命名如棱柱ABC—

ABC，棱锥V-ABC，棱台ABC—ABC

111111对于棱柱和棱台也可用对角线顶点字母命名如棱柱注：在同一条棱上的字母对应着写

4、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征：

轴 圆柱 轴 圆锥 AC

1圆台 轴 球 轴 旋转示意图 1

o 1直观图 o 2 o 1o 2 o 1 o 2 O 圆柱，圆锥，圆台用轴线字母命名如圆柱

oo，圆锥oo圆台oo。球用球心字母表

121212示如球O

注：圆柱，圆锥，圆台的母线与轴共面

例给出下列命题，①在圆柱上下底面圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线， ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线

③在圆台上下底面圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 ④圆柱任意两条母线所在的直线是相互平行的 其中正确的有

三、棱柱分类及直棱柱与正棱柱的结构特征 1、棱柱的分类及直棱柱与正棱柱的结构特征

侧棱与底面垂直的棱柱?????????直棱柱棱柱?侧棱与底面不垂直的棱柱

??斜棱柱????????特别地：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱

侧面与底面垂直的四棱柱底面是矩形的直四棱柱??????????直四棱柱????????长方体四棱柱? 侧面与底面不垂直的四棱柱??????????斜四棱柱底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，显然正四棱柱是特殊的长方体，棱长都相等的长方体是正方体

?正方体???正四棱柱???长方体???直四棱柱?

注：重点掌握直棱柱与正棱柱的结构特征

?侧棱与底面垂直?侧棱与底面垂直???侧面与底面垂直?侧面与底面垂直直棱柱的结构特征? 正棱柱的结构特征?

侧面是矩形侧面是全等的矩形?????底面是多边形?底面是正多边形想一想：能不能说出直三棱柱与正三棱柱与正四棱柱的的结构特征？

?侧棱与底面垂直?侧棱与底面垂直???侧面与底面垂直?侧面与底面垂直直四棱柱结构特征? 正四棱柱结构特征?

侧面是矩形侧面是全等的矩形?????底面是四边形?底面是正方形设计说明：从实用的角度讲要牢牢掌握下面两项内容

2

多面体：直以及正三、四、六棱柱；正三、四、六棱锥、台的结构特征，截面图及画法。 旋转体：圆柱、锥台和球截面图和画法

判断：①有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱（×） 师生活动：讲课时最好不要让学生凭空想象，教师 课前做好模型如右图

②有两个相邻侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱（∨） ③有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱（∨） ③各侧面都是正方形的棱柱是正棱柱（×） 反例：底面是菱形的直棱柱

④对角面是全等矩形的六面体是长方体（×）

反例：底面是等腰梯形的直棱柱

⑤棱长都相等的直棱柱是正方体（×） 反例底面是菱形的直棱柱

⑥四个侧面两两全等的棱柱是直棱柱（×） 反例平行六面体

⑦若有两个过相对侧棱的截面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱（V） ⑧若四棱柱的四条对角线两两全等，该四棱柱四直四棱柱（v） 四、正棱锥与正棱台的结构特征

???1、正棱锥结构特征????底面是正多边形侧棱都相等侧面是全等的等腰三角形定点在底面的投影是底面的中心

以三角形为例解释“中心”的含义

外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，反之到三角形各顶点距离相等的点一定是三角形的外心

内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三内角角分线的交点。三角形的内心到三角形各边的距离相等，反之到三角形各边距离相等的点不一定是三角形的内心，也可能是旁心 旁心：旁切圆的圆心，如图

重心：三角形三边中线的交点,三角形的重心把三角形中线分成1:2两部分 垂心：三角形三条高线的交点

正三角形外心，内心，中心，垂心重合于一点， 该点叫做三角形的中心

想一想：能不能说出正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的结构特征？

A B C

2、正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥 棱长都相等的正三棱锥是正四面体，正四面体一定是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体 正棱台的结构特征：上下底面为正多边形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱延长后相交于一点，

六、几何体的表面积

表面积=侧面积（所有侧面面积）+底面积（所有底面面积）

3

1、柱体（直棱柱，圆柱）的侧面积 底面周长为c,高为h

S侧?ch

直棱柱的高=侧棱=斜高 圆柱的高=母线 2、锥体的侧面积

正棱锥的底面正多边形边数为n,边长为a,周长为c,斜高为

h

'S侧?11''ch?nah 22注：对于一般的锥体侧面积=所有侧面的面积和 圆锥的侧面积

设圆锥的底面圆半径为r,周长为c，母线为l3、台体的侧面积 正棱台的边数为n,斜高为

S侧?1cl??rl 2h'，上下底面正多边形边长，周长，分别为

''a'，a;

c,c

'S?1'c?c2??h?1?na?na?h2'

'圆台的上下底面半径,周长分别为圆台的侧面积S?4、球的表面积

r，r,

c，c,母线为l

'1''c?cl??r?r?l 22????S球?4?R

七、几何体的体积

1、柱体（直棱柱，圆柱）柱体的底面积为S，高为h,V=Sh 特别的底面半径为r,高为h的圆柱体积V??2、锥体（棱锥，圆锥）

Rh

21Sh 31特别的底面半径为r,高为h的圆锥体积V??3设锥体底面面积为S，高为h则体积V?3、台体（棱台，圆台）的体积

R2h

S，S分别是台体上下底面面积，

h为台体的高V?'1''hS?SS?S 3??特别的上下底面半径分别为

r，r，高为h的圆台体积

'2'V?1?h3?r2?rr?r'?

4

4、球的体积设球的半径为R，球的体积V?4?3R3

典型题：

一、截面问题（降维问题：把空间图形化成平面图形） 正棱柱，正棱锥，正棱台截面图 正棱柱 R l 截面图 l侧棱长,h高 r h l 正棱锥 正棱台 h 1h h h 1l 22R R，r为底面正多边形半径与边心距 r R,rR,R12 h斜高 1 R，r为底面正多边形半径与边心距 为上下底面正多边形半径 r,r12为上下底面正多边形半径 旋转体的截面图

圆柱 圆锥 圆台 球 直观图 轴截面 h高l母线 r上底面圆半径 R下底面圆半径

在解决柱，锥，台的计算问题时，除了要掌握它们截面图特征还要熟练掌握正三角形，正方形，正六边形的相关量的计算方法

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h l R 矩形 l h R 等腰三角形 r l R 等腰梯形 圆

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