函数-备战2019年高考数学(理)之纠错笔记系列

专题02 函数

易错点1

换元求解析式时忽略自变量范围的变化

已知()13

f x x

--

＝，求f（x）的解析式.

错解令1

x t

-=，则x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有f（x）＝2－x2.

错因分析本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“1

x-”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．

试题解析令1

x t

-=，则t≥0，且x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0

即f（x）＝2－x2（x≥0）．

参考答案f（x）＝2－x2（x≥0）．

利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．

1．已知()12

f x x x

+=+，则()

f x=

A．()

211

x x

-≥B．21

x-

C．()

211

x x

+≥D．21

x+

注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：

(

)()21221111f x x x x x x +=+=++-=+-，又11x +≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．

易错点2 分段函数的参数范围问题

设函数31,1()2,1

x x x f x x -

[,1]3

B ．[0,1]

C ．2[,)3+∞

D ．[1，＋∞）

错因分析对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界

点应该有2个，a ＝23

或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论． 试题解析①当23

a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－,()3122a f a －＝，显然()()()2f a f f a ≠.

②当23

≤a <1时，()311f a a ≥＝－，()()()31,31222a a f a f f a －－＝＝，故()()()2a f f f a ＝. ③当1a ≥时，()21a f a >＝，()()22a f f a ＝，()222a a f ＝，故()()()2a f f f a ＝.

综合①②③知a

≥23. 参考答案

C

求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．

2．已知函数()21,022,04

x

a x f x x x x ???-≤

A ．(],3-∞-

B ．[)3,0-

C ．[]3,1--

D ．{}3- 解析当0≤x ≤4时，f （x ）=﹣xx =﹣（x ﹣1）21，图象为开口向下的抛物线，对称轴为x =1，

故函数f （x ）在[0，1]上单调递增，[1，4]上单调递减，此时函数f （x ）的取值范围是[﹣8，1]，

又函数f （x ）的值域为[﹣8，1]，∴y =﹣1

()2

x ，a ≤x ＜0的值域为[﹣8，1]的子集，

∵y =﹣1()2x ，a ≤x ＜0单调递增，∴只需011()8()122a -≥--≤，即可，解得﹣3≤a ＜0. 故选B ．

答案B

易错点3 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误

若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________.

错解函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.

错因分析错解中把单调区间误认为是在区间上单调．

试题解析因为函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 所以有－a ＝2，即a ＝－2.

参考答案a ＝－

2

单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．

3．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]

,5-∞上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 解析∵函数()2

212y x a x =+-+的图象是开口方向朝上，以直线1x a =-为对称轴的抛物线， 若函数()2212y x a x =+-+在区间(]

,5-∞上是减函数，则51a ≤-，即4a ≤-． 答案4a ≤-

易错点4 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误

判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）＝（x －1）

x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x 2|x ＋2|－2

. 错解（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1. ∵2()()()1f f x x x ---==，∴f （x ）为偶函数．

（2） 22

1()1()x x f x ----＝＝， ∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ∴f （x ）为非奇非偶函数．

错因分析要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性．

试题解析（1）由x ＋1x －1

≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，

∵f （x ）定义域关于原点不对称，

∴f （x ）为非奇非偶函数．

参考答案（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．

根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．

函数奇偶性判断的方法

（1）定义法：

（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．

4．下列函数为奇函数的是

A ．ln y x =

B ．e x y =

C ．sin y x x =

D ．e e x x y -=-

解析对于选项A ，定义域为()0,+∞，不关于原点对称，故不是奇函数，所以选项A 错；

对于选项B ，()()

1e

e

x x f x f x --==≠-，故不是奇函数，所以选项B 错； 对于选项C ，()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=--=--==，所以sin y x x

=为偶函数，故选项C 错；

对于选项D ，()()

()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以函数e e x x y -=-为奇函数，故选项D 正确.

故选D. 答案D

判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数.

易错点5 因忽略幂底数的范围而导致错误

化简（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ] 1

2 ＝________.

错解（1－a ）[（a －1）－2·（－a ）12 ]12 ＝（1－a ）（a －1）－1·（－a ）14 ＝－（－a ）1

4 .

错因分析忽略了题中有（－a ）12 ，即相当于告知－a ≥0，故a ≤0，这样，[（a －1）－2]1

2 ≠（a －1）－1.实

际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．

试题解析由（－a ）1

2 知－a ≥0，故a －1<0.

∴（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ]12 ＝（1－a ）（1－a ）－1·（－a ）14 ＝（－a ）1

4 .

参考答案（－a ）1

4

在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方

数是否符合要求，如本例中

1

2 (

)a -，则必须有－a≥0，即a≤0.

5．化简式子()6

6(0,0)

b a a b

-><的结果是 __________．

解析因为0

a>，0

b<，所以0,

a b

->又因为结果一定非负，所以()6

6b a a b

-=-，故答案为

a b

-．

答案a b

-

易错点6 忽略了对数式的底数和真数的取值范围

对数式log

（a－2）

（5－a）＝b中，实数a的取值范围是

A．（－∞，5）B．（2,5）

C．（2，＋∞）D．（2,3）∪（3,5）

错解由题意，得5－a>0，∴a<5.故选A．

错因分析该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．

试题解析由题意，得

??

?

??

5－a>0，

a－2>0，

a－2≠1，

∴2

参考答案D

对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．

6．方程()()

2

lg21lg4

x x

-=-的解是__________．

解析由题意知2221421040x x x x ?-=-?->??->?

，解得3x =或1x =-（不合题意，舍去故3x =.

答案3x =

易错点7 复合函数理解不到位出错

已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，求实数a 的取值范围.

错解设f （x ）＝x 2

－x －a ，则y ＝log 2f （x 依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0，

∴a <－1

4，即a 的范围为（－∞，－14）．

错因分析以上解法错误在于没有准确地理解y ＝log 2（x 2

－x －a ）值域为R 的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f （x ）＝x 2－x －a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．

时，y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域才为R .而当Δ<0时，f （x ）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f （x ）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f

（

x ）能取遍一切正实数，作为二次函数，f （x ）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R ）．

1．求复合函数单调性的具体步骤是：

（1）求定义域；

（2）拆分函数；

（3）分别求y＝f（uu＝φ（x）的单调性；

（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．

2．复合函数y＝f[g（x）]及其里层函数μ＝g（x）与外层函数y＝f（μ）的单调性之间的关系（见下表）.

函数单调性

y＝f（μ）增函数增函数减函数减函数

μ＝g（x）增函数减函数

增函数

减函数

y＝f[g（x）] 增函数减函数减函数增函数

7．已知函数f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．

（1）若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．

解析（1）欲使函数f(x)的定义域为R，只需ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有

=44 0

a

a

?

?

?-<

?

＞

，解得a＞1，即得a的取值范围是(1，＋∞).

（2）欲使函数f (x)的值域为R，即要ax2＋2x＋1 能够取到(0，＋∞)上的所有值．

①当a＝0时，a x 2＋2x＋1＝2x＋1，当x∈(－

2

1

，＋∞)时满足要求；

②当a≠0时，应有

44 0

a

a

?

?

?

-≥

?

＞

＝

0＜a≤1，当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时满足要求(其中x1，x2是方程ax 2＋2x＋1＝0的两根)．

综上，a的取值范围是[0，1]．

参考答案（1）(1，＋∞)；（2）[0，1]．

注意y＝lg（ax2＋2x＋1）的值域为R与u＝ax2＋2x＋1恒为正不一样．前者要求函数u＝ax2＋2x＋1

能取遍一切正实数，后者只要求u＝ax2＋2x＋1取正时，对应的x∈R即可．

易错点8 零点存在性定理使用条件不清致误

函数

1 (

)

f x x

x

=+的零点个数为

A．0 B．1

C．2 D．3

错解因为(1)20

f-=-<，(1)20

f=>，所以函数()

f x有一个零点，故选B．

错因分析函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略可知函数

1

()

f x x

x

=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.

试题解析函数()

f x的定义域为{|0}

x x≠，当0

x>时，()0

f x>；当0

x<时，()0

f x<.所以函数()

f x没有零点，故选A．

参考答案A

零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.

8．函数()

3

3x

f x a

x

=--的一个零点在区间()

1,2内，则实数a的取值范围是

A．

15

1,

2

??

?

??

B．()

3,6

C．()

0,6D．

15

0,

2

??

?

??解析由基本初等函数的性质，可得函数()

3

3x

f x a

x

=--单调递增,函数()3

3x

f x a

x

=--的一个零点在区间()

1,2内，∴由题意可得

()

()

10

20

f

f

?<

?

?

>

??

，解得

15

2

a

<<.故选D．

答案D

一、函数

（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.

（2）函数：非空数集A →非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ?.

求函数定义域的主要依据：

①分式的分母不为0；

②偶次方根的被开方数不小于0；

③对数函数的真数大于0；

④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；

⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且π

π

+,2

x k k ≠∈Z .

求函数定义域的类型与方法

（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

（3）复合函数问题：

①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出；

②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域．

[注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围．

二、函数的性质

（1）函数的奇偶性

如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．

（2）函数的单调性

函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x 若对于任意12x x D ∈,，当12)f x f x )(则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．

反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．

（3）函数的周期性

设函数y ＝f （xx ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x 则函数

f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期．

（4）最值

一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；

②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）．

三、函数图象

（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：

①会画各种简单函数的图象；

②能依据函数的图象判断相应函数的性质；

③能用数形结合的思想以图辅助解题．

（2）利用函数图象的变换作图

①平移变换

0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=???????→=-右移个单位长度左移个单位长度

， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=???????→=+上移个单位长度

下移个单位长度

. ②伸缩变换

101,11,()()y f x y f x ωωωω

ω<<>=?????????→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=?????????→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换

()()x y f x y f x =?????→=-关于轴对称，

()()y y f x y f x =?????→=-关于轴对称，

=()(2)x a y f x y f a x =??????→=-关于直线对称，

()()y f x y f x =?????→=--关于原点对称.

四、函数与方程、函数的应用

1．函数的零点

（1）函数的零点：对于函数f （x 我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点．

（2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．

（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）·

f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．

2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2()f a ()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ?<.

3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下： ???

读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答

与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．

1．[2018年高考新课标Ⅲ卷理科]设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则

A ．0a b ab +<<

B ．0ab a b <+<

C ．0a b ab +<<

D ．0ab a b <<+

答案B

解析0.22log 0.3,log 0.3a b ==，0.30.3

11log 0.2,log 2a b ∴==，0.311log 0.4a b

∴+=， 1101a b ∴<+<,即01a b ab

+<<，又0,0a b ><，0ab ∴<，∴0ab a b <+<，故选B ． 2．[2018年高考新课标II 卷理科]已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足

()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f +

+= A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50

答案C

名师点睛先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

3．[2018年高考浙江卷]函数y =2x sin2x 的图象可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

答案D

解析令()2sin2x f x x =，因为()()(),2sin22sin2x x

x f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2x

f x x =为奇函数，排除选项A,B 因为π,π2x ??∈ ???

时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D ． 名师点睛先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2??

???上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：

（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；

（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

4．[2017年高考新课标全国Ⅰ卷理科]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

答案D

解析令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8

x k y k =?=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32

x k z k =?=<，则25x z <，故选D ． 名师点睛对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与

1的对数表示.

5．[2017年高考新课标Ⅰ卷理科]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足

21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

答案D

解析因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3]，选D.

名师点睛奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.

6．已知函数2log ,0()3,0,

x x x f x x >?=?≤?则1

[()]4f f =

A ．1

9 B ．9 C ．1

9

-

D ．9-

答案A 解析2

11()log 244

f ==-,所以211

[()](2)349f f f -=-==，故选A ．

7．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是

A ．（1，3]

B ．（1，3）

C ．（0，1）

D ．[3，∞）

答案A

解析由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >， 故有1

620a a >??

-≥?

，解得13a <≤.故选A ．

名师点睛不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.

8．已知单调函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()26f f x x ??-=??，则()2f =

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

答案C

解析设()2t f x x =-，则()6f t =，且()2f x x t =+，

令x t =，则()236f t t t t =+==，解得2t =，∴()22f x x =+，∴()22226f =?+=． 故选C ．

名师点睛解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力．

9．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且()02f =，则()()20172018f f += A ．0 B ．2 C ．3

D ．4

答案

B

名师点睛(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期性、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去

，即将函数值的大小转化为自变量的大小关系,由对称性可得到两个对称的自变

量所对应函数值的关系.

10．已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是

A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞

B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-

C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-

D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1-

答案D

解析由题意可得函数()f x 的定义域为R ，

函数()2f x x x x

=-+，()()2f x x x x f x ∴-=--=-，()f x ∴为奇函数，

当0x ≥时，()()22211f x x x x =-+=--+，

由二次函数可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；

由奇函数的性质可得函数()f x 在()1,0-上单调递增，在(),1-∞-上单调递减.

综合可得函数()f x 的递增区间为()1,1-.

故选D ．

名师点睛本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及奇偶性的判定，属基础题.解本题时，由奇偶性的定义可得函数为奇函数，去绝对值结合二次函数可得单调性.

11．若函数()()20.9log 54f x x x

=+-在区间()1,1a a -+上单调递增，且0.9lg0.9,2b c ==，则

A ．c b a <<

B ．b c a <<

C ．a b c <<

D ．b a c << 答案B

名师点睛本题主要考查复合函数的单调性、单调区间的求法以及对数函数与指数函数的性质，属于中档题.对于复合函数的单调性，一、要注意先确定函数的定义域；二、要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”.解本题时，利用复合函数的单调

性求出函数()()20.9log 54f x x x =+-的递增区间，再由函数()()2

0.9

log 54f x x x =+-在区间()1,1a a -+上单调递增，求出a 的范围，然后利用指数函数与对数函数的性质比较,b c ，即比较与0和1的大小，即可得结果.

12．[2018年高考新课标I 卷理科]已知函数()e 0ln 0x x f x x x ?≤=?>?，，，，

()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是

A ．[–1，0）

B ．[0，∞）

C ．[–1，∞）

D ．[1，∞）

答案C

解析画出函数()f x 的图象，e x y =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C ．

名师点睛该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤

时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.

13．若幂函数222)33(--?+-=m m

x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是______.

答案1 解析由幂函数的定义及幂函数的图象不过原点，可得2233=120m

m m m ?-+??--

为偶函数，则a =__________． 答案1或1-

解析令()211e 1x a u x +=-+，根据函数()211e 1x a f x x ??+=- ?+??

为偶函数，可知()211e 1x a u x +=-+为奇函数，利用()201010e 1

a u +=-=+，可得21a =，所以1a =或1a =-. 名师点睛该题考查的是根据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是在零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，根据函数()f x 为偶函数，观察其特

征，可得()211e 1

x a u x +=-+为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则一定有()00u =，从而得到相应的关系式，求得结果.

15．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在

[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.

答案14

16．设函数()f x 在[

)1,+∞上为增函数，()30f =，且()()1g x f x =+为偶函数，则不等式()220g x -<的解集为__________．

答案()0,2

解析易知()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，∵()f x 在[1，∞）上为增函数，∴()1f x +在[0，∞）上为增函数，即()g x 在[0，∞）上为增函数，且g （2）=f （21）=0，

∵()g x =()1f x +为偶函数，∴不等式g （2﹣2x ）＜0等价于g （2﹣2x ）＜g （2即g （|2﹣2x |）＜ g （2则|2﹣2x |＜2，即﹣2＜2x ﹣2＜2，即0＜2x ＜4，即0＜x ＜2，所以不等式()220g x -<的解集为（0，2故答案为（0，2）．

名师点睛对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．

17．已知函数()24,1ln 1,1

x x a x f x x x ?-+<=?+≥?，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是______．

答案(),5-∞

解析当1x ≥时，令()2f x =，解得e x =，所以只有一个解，则1x <时，也只有一个解，令()2f x =，即2420x x a -+-=在1x <时只有一个解，即函数242y x x a =-+-在1x <时只有一个零点.

因为函数2

42y x x a =-+-的图象的对称轴为2x =，且图象开口朝上，所以1x <时函数单调递减，

根据函数性质，当1x =时，函数值小于0，即1420a -+-<，解得5a <.

名师点睛本题考查函数零点与方程的解，要熟练掌握零点与解的关系，以及二次函数的有关性质，二次函数中求根的情况要综合考虑对称轴以及单调性，所以简单示意图对解题有非常大的帮助.解本题时，由分段函数的分段区间进行分类讨论，当1x ≥时，易解得只有一个解，则当1x <时也只有一个零点，根据二次函数性质，求出只有一个零点时参数的取值范围即可.

18．[2017新课标III 卷理]设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是______.

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