实变函数复习手册

邢台学院数学系《实变函数》复习手册 前言

本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。为以后学习其它课程打下良好的基础。

第一章 集合

本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。为以后引入L积分打下了基础。 §1 集合的概念

理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。 §2 集合的运算

深刻理解并集或和集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。 §3 对等与基数

1 掌握有限集、无限集、一一映照、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。

2 了解基数概念，会比较两个集的基数大小。 §4 可数集合

与自然数集合N对等的集合称为可数集合。 1 任何无限集包含一个可数子集。

2 若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则A∪B是可数集合。 3 有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。

4 有理数全体是一个可数集，代数数全体是一个可数集。 §5 不可数集合

1 实数集全体R不是可数集。其基数记为c，称与R对等的集合具有连续基数。 2 任何区间具有连续基数，可数个c集的并是c集，实数列全体E?的基数是c。 3 不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。 练习题 一、选择题

1、下列对象不能构成集合的是（）

A、全体自然数 B、0，1之间的实数全体 C、[0，1]上的实数全体 D全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（）

A、全体实数 B、全体整数 C、全体小个子 D、{x：x>1} 3、下列对象不能构成集合的是（）

A、全体实数 B、全体整数 C、{x：x>1} D、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是（）

A、全体实数 B、全体整数 C、{x：x>1} D、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是（）

A、全体小孩子 B、全体整数 C、{x：x>1} D、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是（）

A、全体实数 B、全体大人 C、{x：x>1} D、全体整数 7、设A???x:??1?x???，I为全体实数，则

A??（） ???I 1

A、??1,1? B、??1,0? C、???,??? D、?1,???

?11??8、设Ai??x:?1??x?1??，i?N，则?Ai=（）

ii??i?1A、??1,1? B、??1,0? C、?0,1? D、??1,1?

?1??9、设Ai??x:0?x?1??，i?N，则?Ai=（）

i??i?1A、（0，1） B、?0,1? C、?0,1? D、?0,???

?11??10、设Ai??x:1??x?2??，i?N，则?Ai=（）

ii??i?1A、[1，2] B、（1，2） C、（0，3） D、?1,2?

?3??11、设Ai??x:i?x?i??，i?N，则?Ai=（）

2??i?1A、??1,1? B、?0,1? C、? D、{0}

?11??12、设Ai??x:??x??，i?N，则?Ai=（）

ii??i?1A、??1,1? B、?0,1? C、? D、{0}

13、设A2n?1??0,2?，A2n??0,1?，n?N，则limAn=（） ??2n?1?2n?n????A、[0，2] B、?0,2? C、[0，1] D、?0,1?

14、设A2n?1??0,2?，A2n??0,1?，n?N，则limAn=（） ??n??2n?12n????A、[0，2] B、?0,2? C、[0，1] D、?0,1? 15、设An?(0,n)，n?N，则limAn=（）

n???1??1??1??1?A、? B、?0,n? C、R D、?0,??? 16、设An?(0,)，n?N，则limAn=（）

n??1n 2

A、（0，1） B、?0,??1?? C、{0} D、? n?17、设A2n?1??0,??1??，A2n??0,n?，n?N，则limAn=（） n?n??A、? B、?0,??1?? C、?0,n? D、?0,??? n?1?An=（） ?，A2n??0,n?，n?N，则limn??n?18、设A2n?1??0,??A、? B、?0,??1?? C、?0,n? D、?0,??? n?19、设A、B、C是三个集合，则A-(A-B)=（） A、B B、A C、A∩B D、A∪B

20、设A、B、C是三个集合，则A-(B∪C)=（）

A、(A-B)∩(A-C) B、(A-B)∪(A-C) C、A∩B D、A∩C 21、设A、B、C是三个集合，则A-(B∩C)=（）

A、(A-B)∩(A-C) B、(A-B)∪(A-C) C、A∩B D、A∩C

22、设A、B、S是三个集合，且A?S,B?S，则Cs(A?B)=（） A、CsA?CsB B、CsA?CsB C、CsA?B D、CsA?B 23、设A、B、S是三个集合，Cs(A?B)=（）

A、CsA?CsB B、CsA?CsB C、CsA?B D、A?CsB 24、设A、B、C是三个集合，则A-(B-C)=()

A、A∪C-B B、A-B-C C、(A-B)∪(A∩C) D、C-(B-A) 二、填空题

1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若A?n，则B=（） 2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若A是一可数集，则B=（） 3、若A?c，B?c，则A?B=（） 4、若A?c，B是一可数集，则A?B=（） 5、若A?c，B?n，则A?B=（）

3

6、若?An?是一集合列，且An?c，则

?An?1?n=（）

7、若?A????I是任意集族，其中I是指标集，则8、若?A????I是任意集族，其中I是指标集，则

A?=（） ???IA?=（） ???I9、若?A????I是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则Cs(A?)=（） ???I10、若?A????I是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则Cs(11、若?An?是任意一个集合列，limAn=（）

n??A?)=（） ???I12、若?An?是任意一个集合列，limAn=（）

n??三、判断题

1、{0,1}={1,0}。 （ ） 2、任意两个集合A、B，都有A?B,或B?A。 （ ） 3、任意集合都有子集。 （ ） 4、a??a?。 （ ） 5、?????。 （ ） 6、???0?。 （ ） 四、简答题

1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射。 2、构造（0，1）到R的一一映射。 3、构造?0,1?到?0,??的一一映射。

4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射。 5、构造（0，1）到?0,1??(2,3)的一一映射。

6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射。 五、证明题

1、任意无穷集合包含一可数子集。

2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则A∪B是可数集。 3、若A和B都是可数集合，则A∪B是可数集。 4、有理数全体成一可数集。

5、证明由直线上互不相交的开区间作为集合A的元素，则A至多为可数集。 6、空间R中，

2??x,y?:x?Z,y?Z?是一个可数集合。

第二章 点集

本章讨论了特殊的集合---空间中的点集中的一些基本概念及性质，主要讨论了开集及闭集的

4

结构。为以后引入L积分打下了基础。 §1 度量空间n维欧式空间

熟记距离、领域、点列的收敛、直径、有界集、n维空间中的区间及区间的体积的定义；会判断二元函数为距离。 §2 聚点 内点 界点

熟记并深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点、开核、边界、导集、闭包的定义。 §3 开集 闭集 完备集

深刻理解开集、闭集的性质；记住自密集、完备集的定义。 §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 理解构成区间的定义、了解康脱集的构造。 练习题 一、选择题

1、集合E的全体内点所成都集合称为E的（） A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

2、集合E的全体聚点所成的集合称为E的（） A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

3、集合E的全体边界点和内点所成的集合称为E的（） A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 4、E-E’所成的集合是（）

A、开核 B、边界 C、外点 D、{E的全体孤立点} 5、E的全体边界点所成的集合为E的（） A、开核 B、边界 C、导集

6、设点P是集合E的边界点，则（）

A、P是E的聚点 B、P是E的孤立点 C、P是E的内点 D、P是CE的边界点 7、设G=（0，1）∪（2，3），则下列哪一个是G的构成区间（） A、（0，1） B、（1/2，1） C、[0，1] D、（0，2）

)，G2?(?1,0)?(,2)，G?G1?G2，则下列哪一个是G的构成区间（）8、设G1?(0,1

A、（0，1） B、（0，2） C、（-1，1/2） D、（-1，2）

9、设G1?(0,4)，G2?(0,1)?(3,4)，G?G1?G2，则下列哪一个是G的构成区间（） A、（0，1） B、（3，4） C、（0，4） D、（1，4）

10、设G1?(0,1)，G2?(1,2)?(3,4)，G?G1?G2，则下列哪一个是G的构成区间（） A、（0，1） B、（0，3） C、（0，4） D、（1，4）

11、设G1?(0,2)，G2?(1,2)?(3,4)，G?G1?G2，则下列哪一个是G的构成区间（） A、（0，1） B、（0，2） C、（1，2） D、（1，4）

12、设G1?(0,1)?(1,2)，G2?(?1,0)?(,)，G?G1?G2，则下列哪一个是G的构成区间（）

121322132213、若A?B，则下列命题错误的是（）

A、(,) B、（1，2） C、（0，1） D、（-1，0）

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