1.函数项级数一致收敛的判别法 作者艾斯凯尔

编号

学士学位论文

函数项级数一致收敛的判别法

学生姓名： 艾斯凯尔· 海力麦提 学 号： 20050101041 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2006-3班 指导教师： 托合提·赛都拉 完成日期： 2011 年 4 月 30 日

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BACHELOR ’S THESIS 摘要

函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题，函数级数和函数的分析性质一致收敛有关.

因此本论文中提出了函数级数?uk?x?一致收敛的柯西一致收敛准则，魏

k?1n尔斯特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，精细的狄尼（Di ni）定理，确界判别法，导数判别法，比试判别法，根式判别法等几种重要判别法，并应用函数项级数一致收敛的定义，柯西一致收敛准则和M判别法给出了论文中所有结论的证明.

关键词：一致收敛性，收敛，单调，一致有界，收敛准则，绝对收敛，聚点定理 .

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BACHELOR ’S THESIS 目 录

摘要 ............................................................................................................................ 1 引言 ............................................................................................................................ 1 1.函数项级数定义 .................................................................................................... 1 2.函数项级数一致收敛的几种判别法 .................................................................... 2

判别法1 (函数项级数一致收敛的定义) ........................................................ 2 函数项级数一致收敛的几何意义 ..................................................................... 3 判别法2 (确界判别法) .................................................................................... 4 判别法3 (柯西一致收敛准则) ........................................................................ 5 判别法4 (M判别法) ......................................................................................... 7 判别法5 (狄利克雷判别法) ............................................................................ 9 判别法6 ............................................................................................................ 11 判别法7 ............................................................................................................ 12 判别法8 ............................................................................................................ 13 判别法9 ............................................................................................................ 14 判别法10 .......................................................................................................... 16 判别法11 .......................................................................................................... 16 判别法12 .......................................................................................................... 17 判别法13 .......................................................................................................... 18 判别法14 (导数判别法) ................................................................................ 20 判别法15 (比试式判别法) ............................................................................ 21 判别法16 (根式判别法) ................................................................................ 21 判别法17 .......................................................................................................... 22 判别法18 .......................................................................................................... 22 判别法19 .......................................................................................................... 22 判别法20 .......................................................................................................... 24 总结 .......................................................................................................................... 26 参考文献 .................................................................................................................. 27 致谢 .......................................................................................................................... 28

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BACHELOR ’S THESIS 引言

函数项级数一致收敛的条件下，可以讨论和函数连续性，可微性，可积性.函数项级数一致收敛时可以交换无穷和与导数,无穷和与积分的次序,通过交换不同的两种运算能够解决函数项级数概念中的最基本问题,即利用函数项级数的一致收敛性我们可以求出函数的和函数.因此,本论文中全面讨论函数项级数一致收敛的条件.

1.函数项级数定义

定义 设?un?x??是定义在数集E上的一个函数列表达式:

u1?x??u2?x??...?un?x??... x?E (1)

称为定义在E上的函数项级数,简称为函数级数.记作为?un(x)或?un(x).

n?1?Sn(x)??uk(x)称为函数项级数(1)的部分和函数列.

k?1n若x0?E函数项级数: u1?x0??u2?x0??...?un?x0??... (2) 收敛,即部分和Sn(x0)??uk(x0),当n??时,极限存在,则称级数(1)在点x0收敛,x0称为

k?1n收敛点.

级数(1)在D上的每一点x与其所对应的数项级数(2)的和S(x)构成一个定义在D上的函数称为级数（1）的和函数，即limSn(x)?S(x).

n??

1

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BACHELOR ’S THESIS 2.函数项级数一致收敛的几种判别法

判别法1 (函数项级数一致收敛的定义) 设函数级数

?u?x?nn?1?在区间D收敛于和函数S?x?，若有: x??D????0,N??N,n??N?,S?x??Sn?x??Rn?x??? 则称函数级数?un?x?在区间D上一致

n?1收敛或一致收于和函数S?x?.

例1 证明函数项级数?xn在区间 ??1??,1???(其中0???1)一致收敛.

n?0?1?xn证明 ?x??0,1?有Sn(x)??x?.

1?xk?0nk?S(x)?limSn(x)?n??1. 1?xnx11?xnxn?S(x)?Sn(x)?Rn(x)????.

1?x1?x1?x1?x?对?x???1??,1???n,对???0要使不等式

x(1??)nS(x)?Sn(x)?Rn(x)????成立.

1?x?从而要不等式

(1??)n???解得n??ln???ln??.取N??.于是???0,?ln(1??)?ln(1??)?n?N?存在

?ln????N???N??ln(1??)?,?x???1??,1???有:

S?x??Sn?x??Rn?x???成立.

2

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BACHELOR ’S THESIS 所以函数项级数?xn在区间??1??,1???(其中0???1)一致收敛.

n?0?非一致收敛的定义 设函数项级数

?u?x?在区间I非一致收敛于和函数S?x?，若??nn?1?o?0，

?N?N?,?n0?N,?xo?I有：S(x0)?Sn(x0)??0成立.

则称函数项级数

?u?x?在区间I上非一致收敛或非一致收敛于S?x?.

nn?1?n?0?例2 证明函数项级数?xn在区间 ??1,1?非一致收敛. 证明 ??0?1，?N?N?，?x0?1?1???1,1?有： n0(1?S(x0)?Sn(x0)?Rn(x)?1n0)n01?n0(1?)n0?1 1n0n0??1n11n0??)?所以?n0?N，使n0(1?)?1?. ??lim(1n??n0en0??即函数项级数?xn在??1,1?非一致收敛.

n?0?

函数项级数一致收敛的几何意义 函数项级数

??u?x?在区间I一致收敛于S?x?的几何意义是,不论给定的

nn?1以曲线S?x???与S?x???为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数N(通用的

N),?n?N,任意一个部分和Sn(x)的图像都位于这个带形区间内(如图1).

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BACHELOR ’S THESIS 若函数项级数在某个区间不存在通用的N,就是非一致收敛.

yS(x)+εS(x)Sn(x)S(x)-εO

判别法2 (确界判别法) 函数项级数

I图（1）x

?u?x?在数集D上一致收敛于S?x?的充要条件：

nn?1n??x?D?limsupRn(x)?limsupS(x)?Sn(x)?0.

n??x?D证明 (?) 已知函数项级数

?u?x?在区间D一致收敛于S?x?.

nn?1?即???0,?N?N?,?n?N,?x?D有: S?x??Sn?x???.

S(x)?Sn(x)?0. 从而supS?x??Sn?x???,即limsupn??x?Dx?DsupSx()?Snx()?0(?)已知lim,即???0,?N?N?,?n?N,?x?Dn??x?D有supS?x??Sn?x???.

x?D 4

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BACHELOR ’S THESIS 从而?x?D有S?x??Sn?x???.即函数项级数?un?x?在区间D

n?1?上一致收敛于S?x?.

例3 证明 函数项级数

n1在?0,???内一致收敛. ?n?1?x?n??x?n?1??n1?1?1证明 Sn?x????????

x?k?1?k?1?x?kk?1?x?k??x?k?1?1??11?1??11??1?1??????...????????????x?1x?2??x?2x?3??x?n?1x?n??x?nx?n?1? ?11; x??0,???. ?x?1x?n?1?S?x??limSn?x??limn??n??111. ??x?1x?n?1x?11?0.

x?n?1x?D?limsupS(x)?Sn(x)?limsupn??x?Dn??所以函数级数

1在?0,???内一致收敛. ?n?1?x?n??x?n?1??判别法3 (柯西一致收敛准则) 函数级数

?u?x?在区间I一致收敛

nn?1?????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I有： un?1?x??un?2?x??...?un?p?x???.

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BACHELOR ’S THESIS 证明 必要性???已知函数级数

?u?x?在区间I一致收敛.

nn?1?设其和函数是S?x?，即???0,?N?N?n??,S?x??Sn?x???也有S?x??Sn?p?x???.于是

un?1?x??un?2?x????un?p(x)?Sn?p?x??Sn?x? ?Sn?p?x??S?x??S?x??Sn?x?

?S?x??Sn?p?x??S?x??Sn?x??????2?.

N?,?p?N?,?x有I充分性???：已知???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有:

un?1?x??un?2?x??L?un?p(x)?Sn?p?x??Sn?x???

所以当P???时上述不等式有:

S?x??Sn?x??Rn?x???

即函数项级数?un?x?在区间I一致收敛.

n?1??xnxn?1?例4 讨论函数项级数????在区间??1,1?的一致收敛性.

n?1?n?1?n?解 应用柯西一致收敛准则

Q?x???1,1?即x?1,???0，要使不等式

?xn?1xn?2??xn?2xn?3?Sn?p?x??Sn?x?????????

?n?1n?2??n?2n?3??xn?pxn?p?1??L????

?n?pn?p?1?xxxn?1xn?p?1???? n?1n?2n?1n?2

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n?1n?p?1 学 士 学 位 论 文

BACHELOR ’S THESIS ?112???? n?1n?p?1n?1成立，从不等式

?2??N???1?,???22?2???解得n??1取N???1?于是n?1???????0, ?n?N,?p?N?,?x???1,1?，有

?Sn????p?x?xnxn?1?S?n??x，即函数级数????一致收?在区间??1,1nn?1n?1??敛.

在这个例子中我们用确界判别法来也可以判断它的收敛性

xkxk?1?x2x2x3xnxn?1?方法2 Sn(x)??(?)??(x?)?(?)?...?(?)?

kk?1223nn?1k?1??nxn?1?x?.

n?1 ?limSn(x)?S(x)?x

n??xn?11故limsupS(x)?Sn(x)?limsup?lim?0. n??x???1,1?n??x???1,1?n?1n??n?1?xnxn?1?所以函数级数????在区间??1,1?一致收敛.

n?1?n?1?n?判别法4 (M判别法)

有函数项级数?un?x?，I是区间，若存在收敛的正项级数?an,?n?N?,

n?1n?1???x?I，有un?x??an，则函数级数?un?x?在区间I一致收敛.

n?1? 7

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BACHELOR ’S THESIS 证明 正项级数

?an?1?n收敛根据柯西一致收敛准则，即

???0,N??N?,n? ?N?,p?N?，有 an?1?an?2??an?p??

由已知条件，?x?I，有

un?1?x??un?2?x????un?p?x? ?un?1?x??un?2?x????un?p?x?

?an?1?an?2???an?p??

即函数级数?un?x?在区间I一致收敛.

n?1?xn例5 判断函数项级数?在x???r,r?上是否一致收敛.

n?1(n?1)!?xnrn解 ??x???r,r?,有. ?(n?1)!(n?1)!an?1rnrn?1(n?1)!r令an?,则lim?lim?n?lim?0.

n??an??n!n??n(n?1)!rn?rnxn所以?是收敛.由M判别法函数项级数?在x???r,r?上一

(n?1)!n?1(n?1)!致收敛.

例6 证明?x在R一致收敛. 42n?11?nx24222?x?0所以2n2x?1?n4x2，即证：??x?R，有1?2nx?nx??1?n??2n2x12n2x11?1??1.故已知优级级数收敛，根据??????424242221?nx1?nx1?nx2n2nn?1?2n?2M判别法.

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BACHELOR ’S THESIS 函数级数?x在R中一致收敛. 421?nxn?1?注 M判别法是判别函数项级数一致收敛的很简使得判别法.但是这个方法有很大的局限性,凡能用M判别法函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,那么就不能使用M判别法.

判别法5 (狄利克雷判别法)

若级数?an?x?bn?x?满足如下条件：

n?1?(1)函数列?an?x??对每个x?I是单调的且在区间I一致收敛于0.

(2)函数级数?bn?x?的部分和函数列?Bn?x??在区间I一致有界，则函数级

n?1?数?an?x?bn?x?在I一致收敛.

n?1?证明 已知函数列?an?x??一致收敛于0即???0,?N?N?，?n?N，

?x?I有an?1??.

又已知函数级数?bn?x?的部分和函数列?Bn?x??在区间I一致有界。

n?1?即?M?0,?n?N?,?x?I，有Bn?x??M，从而有

bn?1(x)?bn?2(x)?...?bn?p(x)?Bn?1?x??Bn?x??Bn?p?x??Bn?x??2M

根据阿贝尔变换，?x?I有

an?1?x?bn?1?x??an?2?x?bn?2?x??L?an?p?x?bn?p?x??2Man?1?x?

于是 ???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有

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BACHELOR ’S THESIS an?1?x?bn?1?x??an?2?x?bn?2?x??L?an?p?x?bn?p?x??2M?

即函数级数?an?x?bn?x?在区间I一致收敛.

n?1?例7 证明 函数级数?cosnx在区间??,2?????0?????一致收敛. nn?1?证 ?x???,2????,?n?N?

Q?coskx?k?1n12sinx2?2coskxsink?1nx 2???1??1??sink?x?sin?k???x? ??x?22????2sink?1??2315311?? (sinx?sinx)?(sinx?sin)?...(sin(n?)x?sin(?n)x?x?222222?2sin?2sin11??x?sin?n??x1122?????M

1x12sinsinxsin?222?1n?1??1?即函数级数?cosnx的部分和函数列在??,2????一致有界，而数列??单

?n?n?1调减少趋近于0。(当然在??,2????也是一致收敛于0) 根据狄利克雷判别法，函数级数?sinnx在区间??,2????一致收敛. nn?1? 10

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BACHELOR ’S THESIS 判别法6

若级数?an?x?bn?x?满足下面两个条件：

n?1?(1)函数列?an?x??对每个x?I是单调的且在区间I一致有界.

(2)函数项级数?bn?x?在区间I一致收敛，则函数级数?an?x?bn?x?在区

n?1n?1??间I一致收敛.

证明 不妨设函数列?an?x??在区间I单调减少，已知它在区间I一致有界，即?M?0,?n?N?,?x?I，有an?x??M，有

M?a1?x??a2?x??L?an?x??L??M 从而?x?I，有

a1?x??M?a2?x??M?L?an?x??M?L?0 又已知函数级数?bn?x?在区间I一致收敛.

n?1?即 ???0,?N?N?,?n?N,?x?I，有

bn?1?x??bn?2?x??L?bn?p?x???

由阿贝尔变换，有

??an?1?x??M??bn?1?x????an?2?x??M??bn?2?x??L???an?p?x??M??bn?p?x? ???an?1?x??M????2M?

即函数项级数 ?0,r?在区间I一致收敛.

已知函数项级数?Mbn?x?在区间I一致收敛两个函数级数在区间都一致

n?1?收敛.

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BACHELOR ’S THESIS 因此，函数级数?an?x?bn?x?????an?x?bn?x??Mbn?x??Mbn?x???

n?1n?1??=???an?x??M??bn?x???Mbn?x?

n?1n?1??在区间I一致收敛.

例8 证明若函数级数?anxn（an是常数）.

n?1?在x?r(?0)收敛.则它在区间?0,r?一致收敛. 证明 将函数项级数?n?0??x?anx改写为?anx??anr??

?r?n?0n?0n?n?nn已知级数?n?0?r???x???从而它在区间?0,r?也是一致收敛.且函数列????anr收敛，

??r????n?x?在?0,r?单调减少又一致有界,即存在M?1，?x??0,r?，?x??0,r?有???1 根

?r?据阿贝尔判别法，函数项级数?anxn在区间?0,r?一致收敛.

n?0?n判别法7

?

?若函数项级数?un?x?在区间I一致收敛，则?un?x?在I也一致收敛.

n?1n?1证明 已知?un?x?在I一致收敛，由柯西一致收敛准则

n?1????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有:

un?1?x??un?2?x????un?p?x???

于是 un?1?x??un?2?x????un?p?x??un?1?x??un?2?x????un?p?x???

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BACHELOR ’S THESIS 再根据柯西一致收敛准则，函数级数?un?x?在I一致收敛.

n?1?例9 判断函数项级数?(?1)(1?x)xn在x??0,1?上的一致收敛性.

n?1?解

223nn?1n?1? ??(?1)(1?x)x??xk?xk?1??(x?x)?(x?x)?...?(x?x)?x?x??nk?1k?1nn?x??0,?1 ? S(x)?limSn(x)?x

n???limsupS(x)?Sn(x)?limxn?0 x??0,1?

n??x??0,1??n????(?1)(1?x)xn在区间?0,1?上一致收敛.

n?1所以由判别法7,函数项级数?(?1)(1?x)xn在?0,1?一致收敛.

n?1?判别法8

若函数项级数?un?x?在?a,b?一致收敛且??x?在?a,b?有界，则

n?1??u?x???x?在?a,b?一致收敛.

nn?1?证明 ?已知函数项级数?un?x?在?a,b?上一致收敛

n?1?由柯西收敛准则，???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x??a,b?，有:

un?1?x??un?2?x????un?p?x???

?函数??x?在?a,b?有界，即?M?0,?x??a,b?，有??x??M，对函数级

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BACHELOR ’S THESIS 数?un?x???x?，???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x??a,b?，有

n?1?un?1?x???x??un?2?x???x????un?p?x???x? ?un?1?x??un?2?x????un?p?x???x??M?

即函数级数?un?x???x?在?a,b?上一致收敛.

n?1?(?1)n?1x2例10 判断函数项级数?2在x??0,???上的一致收敛性. 2(n?x)n?1?解 令?(x)?(?1)n?1x2 un(x)?1.

(n2?x2)则对?(x)?(?1)n?1x2 任意x??0,??? ?M?x2?0.即?(x)?M?x2 故?(x)?(?1)n?1x2在x??0,???上一致有界. 对?1 x??0,??? 有: 22(n?x)n?1??111 数项级数在x??0,???上收敛. un(x)?2???222n?xnn?1n故函数项级数??1在x??0,???上一致收敛.根据判别法8,函数项级22(n?x)n?1?(?1)n?1x2数?2在x??0,???上一致收敛. 2(n?x)n?1判别法9 若函数项级数

?u?x?nn?1?、

???x?nn?1?都在区间I一致收敛，则

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BACHELOR ’S THESIS ???au?x??b??x???在I一致收敛（a、b为常数）.

nnn?1?证明 由已知级数?un?x?与??n?x?在区间I都一致收敛.由柯西一致收

n?1n?1??敛准则.对???0,?N1?N?,?n?N1,?p?N?,?x?I，有:

un?1?x??un?2?x????un?p?x???

同样的 对???0,?N2?N?,?n?N,?p?N?,?x?I，有:

?n?1?x???n?2?x?????n?p?x???

取N?max?N1,N2?，???0,?N?N?,?n?N2,?p?N?,?x?I，有

un?1?x??un?2?x????un?p?x??? ?aun?1?x??aun?2?x????aun?p?x?

?aun?1?x??un?2?x????un?p?x??a? (1)

?n?1?x???n?2?x?????n?p?x???

?b?n?1?x??b?n?2?x????b?n?p?x?

?b?n?1?x???n?2?x?????n?p?x??b? (2)

由(1)和(2)相加得:

?au?x??b??x????au?x??b??x??????au?x??b??x??

n?1n?1n?2n?2n?pn?p?aun?1?x??un?2?x????un?p?x?

?b?n?1?x???n?2?x?????n?p?x???a?b??

即函数级数???aun?x??b?n?x???在I上一致收敛.

n?1? 15

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BACHELOR ’S THESIS 判别法10

若函数?an与?bn都绝对收敛，则函数级数??ancosnx?bnsinnx?在Rn?1n?1n?1???一致收敛.

证明 ??an?1?n与?bn收敛.

n?1????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,，有:

an?1?an?2???an?p?? bn?1?bn?2???bn?p??

???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,?x?R，有:

an?1cos?n?1?x?bn?1sin?n?1?x???an?pcos?n?p?x?bn?psin?n?p?x

?an?1?cos?n?1?x?bn?1?sin?n?1?x ???an?p?cos?n?p?x?bn?p?sin?n?p?x

?an?1???an?p?bn?1???bn?p?2?

????由柯西一致收敛准则，函数级数??ancosnx?bnsinnx?在R上一致收敛.

n?1?判别法11

若?n?N?，函数un?x?在?a,b?单调且?un?a?与?un?b?都绝对收敛，则

n?1n?1???u?x?在?a,b?一致收敛.

nn?1?证明 不妨设un?x?在?a,b?单调增，所以un?a??un?x??un?b?,x??a,b?，

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BACHELOR ’S THESIS 于是有 0?un?x??un?a??un?b??un?a?,n?N，而?un?a?与?un?b?收敛.

?n?1n?1??可知???un?b??un?a???收敛

n?1?根据M判别法，???un?b??un?a???在?a,b?上一致收敛.

n?1?最后得?un?x?在?a,b?上一致收敛.

n?1?同法可证：若un?x?在?a,b?单调减少，即un(a)?un(b).则任意x??a,b?有

un(a)?un(b)?un(x)?un(b)?0,因为?un?a?与?un?b?都收敛.

n?1n?1??所以

????u?a??u?b???也一致收敛,根据Mnnn?1?判别法可知函数项级数

?u?x?在?a,b?也一致收敛.

nn?1判别法12

设un?x??0，在?a,b?上连续，n?1,2,?，又?un?x?在?a,b?上收敛于连

n?1?续函数f?x?，则?un?x?在?a,b?上一致收敛于f?x?.

n?1?证 (用反证法) 若?un?x?在?a,b?上不一致收敛于f?x?，Sn?x?为级数部

n?1??n?分和，则??0?0，及n1?n2?n3??k?和xnk??a,b?使得fxnk?Snkxnk??0.

????对xnk??a,b?，应用聚点定理，?xnk得子列收敛于x0??a,b?不妨设此子

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????

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BACHELOR ’S THESIS 列即为xnk.

固定m，当nk?m时，f?xk??Smxnk??0

令k??，由于f?x??Sm?x?的连续性.因此，f?x0??Sm?x0???0 这与?un?x0?收敛于f?x0?矛盾.故原命题成立.

n?1?????判别法13

d2f设函数项级数?un?x?定义在数集D上，若存在一个函数f?x?，2在

dxn?1?x?0处存在且f?0??f??0??0.

?1?且对一切x?D有un?x??f??,n?1,2,?

?n?则函数项级数?un?x?在D上一致收敛.

n?1?d2f证明 对于函数f?x?，有在x?0处存在且f?0??f??0??0令2dx0?t?1，

f?x?f??x?1则 lim1?t?lim?x?0xx?0?1?t?xt1?tf???0??limx1?t?0 1?tx?0x?f??x??f??0?1?tlimx 0x?0?1?f??n即 lim?1??? 0tn???1???n?? 18

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BACHELOR ’S THESIS 又因为对级数?分???11fx?，有在?1,???是非负递减函数且非正常积??1?t1?txnn?1?1??11?1?dx是收敛的.故是收敛的，因而由比较原则知是收敛f????1?t1?tx?n?n?1nn?1?的则根据判别法2，函数级数?un?x?在D上一致收敛.

n?1例11 讨论级数?cosnx在区间?0,1?上的收敛性. 2nn?1?分析 对于此级数我们可以用M判别法进行证明，即找到收敛的正项级数

?nn?1?12使得

cosnx1，同时也可以应用判别法13； ?22nn证明 考虑函数f?x??x2，f?x?在x?0处二阶导数存在且f?0??f??0??0，又有

sinnx?1??f?? n2?n?故级数在区间?0,1?上一致收敛. 例12 证明级数?xcosx在?1,???上一致收敛. 421?nxn?1?分析 对此级数我们考虑函数f?x??x2.

证明 对于函数f?x??x2，f?x?在x?0处有二阶导数且f?0??f??0??0，又有

xcosxxcosx1?1????f??

1?n4x2n2xn2?n?xcosx在?1,???上一致收敛. 42n?11?nx?故由判别法13可知级数? 19

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BACHELOR ’S THESIS 判别法14 (导数判别法)

设函数列?un(x)?在区间?a,b?上连续，可微，且存在一点x0??a,b?使得

'在点收敛；xuu(x)?n(x)在?a,b?上一致收敛；则函数项级数?a,b?上一?n0n?1n?1??致收敛.

证明 已知

?u(x)在点x??a,b?收敛，?un??'n0即(x)在?a,b?上一致收敛，

n?1n?1???0,?Ni(?),使得n?Ni(?)时对?p?N?,有

k?n?1n?p?u(x)??;对x??a,b?有

k0n?pk?n?1?u'k(x0)??

根据拉格朗日中值定理?n?N?,?p?N?,,x??a,b?有

k?n?1?u(x)??u(x)??ui0k0k?n?1k?n?1n?pn?pn?pn?pn?p'k(x)(x?x0)??(b?a) (?介于x与x0之

间）

于是

n?pk?n?1?u(x)??u(x)??u(x)??u(x)

k0kk0k0k?n?1k?n?1k?n?1n?pn?pkk0k0k?n?1n?pk?n?1n?pn?pn?p?k?n?1n?p?u(x)??u(x)??u(x) ?u(x)??u(x)??u(x)

kk0k0k?n?1k?n?1?k?n?1??(b?a)????(b?a?1）

故

?u(x)在?a,b?上一致收敛.

nn?1? 20

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BACHELOR ’S THESIS 判别法15 (比试式判别法)

定理1 设un(x)为定义在数集D上正的函数列，记qn(x)?un?1(x)，存在un(x)正整数q,M，使得：qn(x)?q?1,un(x)?M对任意n?N,,x?D成立，则函数项级数

?u(x)在D上一致收敛.

nn?1?证明 易见

un(x)?un(x)un?1(x)uN?1(x)?...?uN(x)

un?1(x)un?2(x)u(x)=qn?1(x)?qn?2(x)???qN(x)?uN(x)?qn?N?1M

而等比级数

n?N?q?n从而由函数项级数一致?Mqn?N当公比?1?q?1时收敛，

?收敛型的优级判别法，

?u(x)在D上一致收敛.

nn?1定理 设?un(x)?为定义在数集D上正的函数列，记qn(x)?un?1`(x)，若：un(x)lim(x)qn(x)?q(x)n??0?q?1，且un(x)在D上一致有界，则函数项级数

?u(x)在D上一致收敛.

nn?1?判别法16 (根式判别法)

设un(x)为定义在数集D上的函数列，若存在在整数N使得

nun(x)?q(0?q?1)使得?n?N,x?D成立，则函数项级数?un(x)在Dn?1?上一致收敛.

21

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BACHELOR ’S THESIS 证明 由定理条件，un(x)?qn对?n?N，x?D成立，而几何级数收敛，由优级数判别法知，函数项级数判别法17

?qn?u(x)在D上一致收敛.

nn?1? 设?un(x)?定义在D上的正函数列若limnun(x)?q(x0?1),则函数项

n??级数?un?x?在D上一致收敛.

n?1?判别法18

设un(x)为定义在数集D上的函数列，若lim么：

（1） 若对p(x)?x?D,p(x)?p?1，则函数项级数在D上一致收敛.

（2） 若对p(x)?x?D,p(x)?p?1，则函数项级数在D上不一致收敛.

证明 由定理条件知，对???0,?N，使得对?n?N，有

?lnun(x)?p(x)存在，那

x??lnn?u(x)nn?1??u(x)nn?1?p(x)????lnun(x)11?p(x)??，即p(x)???un(x)?p(x)??，则当

lnnnn1. pnp(x)?p?1，对?x?D成立时，有un(x)?判别法19

若un?x??n?1,2,??是区间?a,b?上的连续函数，且函数列?un?x??在区间

22

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致谢

我在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高和锻炼。

在老师的热心帮助和耐心地指导下我的毕业论文已经顺利通过，他帮我批阅了很多次，并且提供了这方面的多种资料和很好的意见，我也学会了写作毕业论文的三个步聚：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。

我非常感谢指导教师的热心和细心的帮助也非常感谢我系的帮助过我的各位尊敬的老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的成就，为以后的工作和生存打下了良好的基础。

此致

敬礼:

艾斯凯尔·海力麦提 2011年4月30日

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