2007年高考备考复习第一轮第二章第三单元不等式的解法(1)

上海市晋元高级中学2007年高考数学备考复习（一轮复习） 赵建华

2007年高考备考复习（一轮复习）

第二章 不等式

1）

1．一元一次不等式ax＋b>0(a≠0)的解法,关键是在用a除以不等式的两边时，不等号的方向改变与否，当a>0时, 不等号不变，当a<0时，不等号变向；

222．一元二次不等式ax＋bx＋c>0与ax＋bx＋c<0(a≠0)的解法，关键是利用二次函数

y＝ ax2＋bx＋c的图象来判断求解。一般情况下，若a>0且二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个

22解x1<x2时，ax＋bx＋c>0的解是x>x2或x<x1; ax＋bx＋c<0的解是x1<x<x2;

3．简单的高次不等式f (x)>0或f (x)<0的解法关键是把函数式y＝f (x)进行因式分解，依次得到方程f (x)＝0的若干个解，用数轴标根法求解；

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4．分式不等式的解法关键是不能象分式方程那样去分母，而是采用移项、通分整理，变成标准型f(x)f(x)>0或<0, 再利用符号法则来解。 g(x)g(x)

【问题举例】

例题：已知m∈R，解关于x的不等式：mx2＋(2m－1)x－2>0.

解：

若m＝0, 则原不等式为x＋2<0, 解得x<－2;

若m≠0, 由原不等式得(mx－1)(x＋2)>0, 方程mx2＋(2m－1)x－2＝0的两根为x1＝1, m

11>－2, ∴ 不等式的解集是{x| x>或x<－2}; mm

111 当－<m<0时, <－2, ∴ 不等式的解集是{x| <x<－2}; 2mm

1 当m＝－时, 不等式的解集是 ; 2

111 当m<－时, －2<, ∴不等式的解集是{x| －2<x<};

2mmx2＝－2, 当m>0时,

并能用来解决一些简单实际问题；掌握简单的分式不等式

(A组)

1. 一元一次不等式ax＋b>0(a≠0)的解法

例1：解不等式：a2(x－1)≤a(x－1).

解：原不等式等价于(a2－a)x≤1－a,

当a>1时, 得x≤－111; 当0<a<1时, 得x≥－; 当a<0时, 得x≤－; aaa

当a＝1时, 得x∈R, 当a＝0时, x∈R.

2. 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解法

例2：已知不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(α,β) (0<α<β), 求不等式cx2＋bx＋a<0的解集。

解：∵不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(α,β) (0<α<β)， ∴ α,β是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且α＋β＝－bc, αβ＝, 且a<0, aa

11a1b1 ∴ c<0, 得－＝－＝＝＋, ＝·, c c c

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1111, 分别是方程cx2＋bx＋a＝0的两根，且>,

11 ∴ 不等式cx2＋bx＋a<0的解集是x>或x<. ∴

3.简单的一元高次不等式的解法：

标根法：其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

例3．解不等式(x 1)(x 2)2 0。（答：{x|x 1或x 2}）；

例4．

不等式(x 0的解集是____（答：{x|x 3或x 1}）； 例5.设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x) 0的解集为{x|1 x 2}，

； g(x) 0的解集为 ，则不等式f(x) g(x) 0的解集为______（答：( ,1) [2, )）

例6.要使满足关于x的不等式2x 9x a 0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x 4x 3 0和x 6x 8 0中的一个，则实数a的取值范围是______. （答：[7,

22281)） 8

4.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并5 x 1（答：( 1,1) (2,3)）； x2 2x 3

2x 1 1 【作业】(新基本要求P)解不等式 例327x 3

答案：( , 3) (4, ) 例7.（1）解不等式

（2）关于x的不等式ax b 0的解集为(1, )，则关于x的不等式

解集为____________（答：( , 1) (2, )）.

ax b 0的x 2

★1.(2002上海春,1)函数y；的定义域为

【答案】（-3,,1）

22【解析】3-2x-x>0∴x+2x-3<0∴-3<x<1.

★2. (2002上海,20)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售；同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券：

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根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获

得双重优惠.例如,购买标价为 400元的商品,

则消费金额为320元,获得的优惠额为：

400×O.2+30=110(元).设购买商品得到的优惠率

=购买商品获得的优惠额,试问： 商品的标价 (1)若购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?

(2)对于标价在[500,800](元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得 到不小

1于 的优惠率? 3

【解析】（I）1000 0.2 130 33%. 1000

（II）设商品标价为x元,则500≤x≤800,消费额：400≤0.8x≤640.由已知得 0.2x 601 0.2x 601 ① x或② 33 x 400 0.8x 500 500 0.8x 640

不等式组①无解.不等式组②的解为

625≤x≤750．

因此,当顾客购买标准在[625,750]元内的商品时,可得到不少于1的优惠率 3

依次类推,20元,但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75％销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少?

【解析】设某单位需购买x台影碟机,甲、乙两商场的购货款的差价为y,则∵去甲商场购买共花费(800-20x)x,据题意,80-20x≥440,

∴1≤x≤18

* 去乙商场购买共花费600x,x∈N,

∴y= (800 20x)x 600x, 1 x 18

440x 600x, 18<x(x N)*

200x 20x2,1 x 18*= (x∈N)

160x　　　18<x

y 0,1 x 10　　(x N*) 得 y 0,x 10

y 0,x 10　　(x N*)

若买少于10台,去乙商场花费较少；若买10台,去甲、乙商场花费一样；若买超过10台,去甲商场花费较少．

★4. (2004上海重点中学)不等式ax2 bx c 0的解集为{x| 1 x 2},那么不等式

a(x2 1) b(x 1) c 2ax解集为( )

A. x|0 x 3

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B. x|x 0或x 3

C. x| 2 x 1

D.{x|x 2或x 1}

答案：(A)

a 0

解析：由已知得 b ( 1 2) 1

a

c

a ( 1) 2 2

则a(x2 1) b(x 1) c 2ax可化为：

(x2 1) ( 1)(x 1) ( 2) 2x

即x2 3x 0,得0 x 3,故选(A)

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