2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编 - 导数及其应用

精编习题 2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编

导数及其应用（二）

55.已知函数f(x)?ax在x?1处取得极值2. 2x?b（1）求函数f(x)的表达式；

（2）当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m?1)上单调递增？ （3）若P(x0,y0)为f(x)?axaxlf(x)?图象上任意一点，直线与的图象切于点22x?bx?bP，求直线l的斜率k的取值范围。

axa(x2?b)?ax(2x)f(x)?解：（1）因f(x)? 而函数在x?1处取得极值2 222x?b(x?b)/?a(1?b)?2a?0?f/(1)?0?a?44x?所以 ? ? ?a ? ? 所以 f(x)? 为21?xb?1?2??f(1)?2??1?b所求

4(x2?1)?8x2?4(x?1)(x?1)（2）由（1）知f(x)? ?2222(x?1)(1?x)/可知，f(x)的单调增区间是[?1,1]

?1? ? 1正

负

?m??1?所以，?2m?1?1 ? ?1?m?0

?m?2m?1?f/(x)

f(x)负

所以当m?(?1,1]时，函数f(x)在区间(m,2m?1)上单调递增 （3）由条件知，过f(x)的图形上一点P的切线l的斜率k为：

/k?f(x0)?令t?4(1?x0)(1?x0)222?4??1?x0?2(1?x0)222 ?4[2(1?x0)22?11?x02]

11?x02，则t?(0,1], 此时 ，k?8(t?2111t)?8(t?)2? 242根据二次函数k?8(t?)?142111的图象性质知：当t?时，tmin?? 当t?1时，224tmax?4

1,4] 21256.已知定义在正实数集上的函数f(x)?x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0．设两

2所以，直线l的斜率k的取值范围是[?曲线y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．

（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：f(x)?g(x)（x?0）．

解：（Ⅰ）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．∵f?(x)?x?2a，

?122x?2ax?3alnx0?b，002?3a?2g?(x)?，由题意f(x0)?g(x0)，f?(x0)?g?(x0)．即?23ax?x0?2a?，?x0?

由

3a2x0?2a?x0得：

x0?a，或

x0??3a（舍去）．即有

b?125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna． 221522令h(t)?t?3tlnt(t?0)，则h?(t)?2t(1?3lnt)．于是当t(1?3lnt)?0，即0?t?e32时，h?(t)?0；

1???1?33??∞?为减当t(1?3lnt)?0，即t?e时，h(t)?0．故h(t)在?0，e?为增函数，在?e，????132?1?3?∞)的最大值为h?e3??e3． 函数，于是h(t)在(0，??2（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?12x?2ax?3a2lnx?b(x?0) 23a2(x?a)(x?3a)?(x?0)．故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，?∞)则F?(x)?x?2a?xx?∞)上的最小值是F(a)?F(x0)?f(x0)?g(x0)?0．故当为增函数，于是函数F(x)在(0，x?0时，有f(x)?g(x)?0，即当x?0时，f(x)?g(x)?0．

57.已知函数f(x)?kx?1（c?0且c?1，k?R）恰有一个极大值点和一个极小值点， x2?c其中一个是x??c．

（1）求函数f(x)的另一个极值点；

（2）求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M?m≥1时k的取值范围．

k(x2?c)?2x(kx?1)?kx2?2x?ck解：（Ⅰ）f?(x)?，由题意知f?(?c)?0， ?2222(x?c)(x?c)22即得ck?2c?ck?0，（*）?c?0，?k?0．由f?(x)?0得?kx?2x?ck?0，

由韦达定理知另一个极值点为x?1（或x?c?（Ⅱ）由（*）式得k?2）． k22，即c?1?．当c?1时，k?0；当0?c?1时，k??2． c?1k?c)和(1，??)内是减函数，在(?c，1)内是增函数． （i）当k?0时，f(x)在(??，k?1k?kc?1?k2?M?f(1)???0，m?f(?c)?2??0，

c?12c?c2(k?2)kk2由M?m??≥1及k?0，解得k≥2．

22(k?2)?c)和(1，??)内是增函数，在(?c，1)内是减函数． （ii）当k??2时，f(x)在(??，k?k2?M?f(?c)??0，m?f(1)??0

22(k?2)?k2k(k?1)2?1M?m???1?≥1恒成立．

2(k?2)2k?2综上可知，所求k的取值范围为(??，?2)?[2，??)． 58.设函数f(x)?x?ln(1?x) ．

1?x2（1）令N(x)?(1?x)?1?ln(判断并证明N(x)在（-1，+∞）上的单调性，求N(0)； 1?x)，（2）求f(x)在定义域上的最小值；

（3）是否存在实数m、n满足0?m?n，使得f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m,n]？ 解：（1）当x??1时，N?(x)?2x?2?1?0，所以N(x)在（-1，+∞）上是单调递增， 1?xN(0)?0。

（2）f(x)的定义域是（-1，+∞），f?(x)?1?1?n(l1?x)N(x)?，

(1?x)2(1?x)2当?1?x?0时，N(x)<0, ∴f?(x)?0，当x?0时，N(x)>0, ∴f?(x)?0， ∴在（-1，0）上f(x)单调递减，在（0,+∞）上，f(x)单调递增。∴ fmin?f(0)?0 （3）由（2）知f(x)在[0,??)上是单调增函数。若存在满足条件的实数m、n， 则必有f(m)?m，f(n)?n。也即方程f(x)?x在[0,??)上有两个不等的实数根m、 n，但方程f(x)?x即为

ln(1?x)?0只有一个实数根x?0，∴不存在满足条件的实数m、

1?x1x2e．(p是实数, e为自然对数的底数) xn。

59.设函数f(x)?p(x?)?2lnx,g(x)?（Ⅰ）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

（Ⅱ）若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p的值；

（Ⅲ）若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求p的取值范围．

px2?2x?p解：（Ⅰ）∵f(x)?， 要使f(x)为单调增函数，须f'(x)?0恒成立， 2x'2即px?2x?p?0恒成立，即p?2x?x2?121x?x恒成立，又

21x?x?1，

所以当p?1时，f(x)在(0,??)为单调增函数． 要使f(x)为单调减函数，须f(x)?0恒成立，

2即px?2x?p?0恒成立，即p?'2x?x2?121x?x恒成立，又

21x?x?0，

所以当p?0时，f(x)在(0,??)为单调减函数．

综上所述，f(x)在(0,??)为单调函数，p的取值范围为p?1或p?0．

'（Ⅱ）∵f(x)?p?p2?，∴f'(1)?2(p?1)．设直线l:y?2(p?1)(x?1), 2xx?y?2(p?1)(x?1)e?(p?1)(x?1)?∵l与g(x)图象相切, ∴? 得, 2exy??x?即(p?1)x2?(p?1)x?e?0， 当p?1时，方程无解； 当p?1时由 ??(p?1)2?4(p?1)(?e)?0， 得p?1?4e． 综上，p?1?4e （Ⅲ）因g(x)?2e在[1,e]上为减函数 ，所以g(x)?[2,2e] x① 当p?0时，由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]上递减?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意． ②当p?1时，由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]上递增，f(1)?2，又g(x)在[1,e]上为减函数， 故只需f(x)max?g(x)min，x?[1,e]，即：f(e)?p(e?)?2lne?2?p?1e4e． 2e?11?0，x?[1，e] x111所以f(x)?p(x?)?2lnx?(x?)?2lnx?e??2lne?2不合题意．

xxe4e,??)． 综上，p的取值范围为(2e?1③当0?p?1时，因x?60.已知函数f(x)?lnx?ax,其中a?0,g(x)?f(x)?f?(x).

（I）若当1?x?e时,函数f(x)的最大值为?4,求函数f(x)的表达式； （II）求a的取值范围,使函数g(x)在区间(0,??)上是单调函数。 解：（I）f?(x)?

所以x?111?a f(x)在(0,)单调递增,f(x)在(,??)单调递减， xaa1时f(x)取最大值 a1 （1）0??1即a?1时,f(x)max?f(1)??4, 解得a?4符合题意

a1113 （2）1??e即?a?1时,f(x)max?f()??4 解得a?e?1舍去

aea1151 （3）?e即0?a?时,f(x)max?f(e)??4. 解得a??舍去

aeee

综上f(x)?lnx?4x

（II）g(x)?lnx?ax?111111?a g?(x)??a?2??(?)2??a xxx24x

（1）a?1时,g?(x)?0,且只有x?2时g?(x)?0 所以f(x)在（上单调递减 0，??）4 （2）0?a?1111时,在?(0,??a),g?(x)?0, 4x24

11111111?(??a,??a),g?(x)?0 ?(??a,??),g?(x)?0, x2424x241f(x)在(0,??)上不单调， 综上a的取值范围为{,??)

461.已知函数f(x)?x(x?a)(x?b)，点As,f?s?,Bt,f?t?.

（Ⅰ）若a?0，b?3，函数f(x)在(t,t?3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的

取值范围； （Ⅱ）当a?0时，

????f(x)?1??lnx?1?0对任意的x??,???恒成立，求b的取值范围； x?2?（Ⅲ）若0?a?b，函数f(x)在x?s和x?t处取得极值，且a?b?23，O是坐标原

点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直.

解：（Ⅰ）当a?0,b?3时f(x)?x3-3x2,?f?(x)?3x2-6x，?f(x)在(2,??)和(??,0)上递增，在(0,2)上递减，所以f(x)在0和2处分别达到极大和极小，由已知有t?0且t?3?2，因而t的取值范围是(?1,0).

f(x)?lnx?1?0即x2?bx?lnx?1?0 xlnx11lnx1??b，记g(x)?x??(x?)， 可化为x?xxxx2（Ⅱ）当a?0时，

11?lnx1x2?lnx2?m(x)?2x???，则g?(x)?1?记则， m(x)?x?lnx，222xxxx221212?m(x)在(，)上递减，在(，??)上递增.?m(x)?m()??ln?0

222222从而g?(x)?0,?g(x)在[,??)上递增，因此g(x)min?g()?12125?2ln2?b，故2b?5?2ln2. 2（Ⅲ）假设OA⊥OB，即OA?OB=(s,f(s))?(t,f(t))?st?f(s)f(t)?0 故(s?a)(s?b)(t?a)(t?b)??1，[st?(s?t)a?a][st?(s?t)b?b]??1

22由s，t为f?(x)=0的两根可得，s?t?2ab(a?b),st?,(0?a?b)从而有ab(a?b)2?9 33(a?b)2?(a?b)2?4ab?9?4ab?236?12即 a?b≥23，这与a?b<23矛盾. ab故直线OA与直线OB不可能垂直.

62.已知定义在R上的函数f(x)?ax3?bx?c(a,b,c?R)，当x??1时，f(x)取得极大值3，f(0)?1.

（Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）已知实数t能使函数f(x)在区间(t,t?3)上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数g(x)?'2f(x)(x?M)的零点个数. x?f'(?1)?3a?b?0解：（1）由f(0)?1得c=1 ， f(x)?3ax?b,?，得a?1,b??3

?f(?1)??a?b?1?3∴f(x)?x3?3x?1

（2）f'(x)?3(x?1)(x?1)得x??1，x?1时取得极值.由?1?(t,t?3)，1?(t,t?3) 得

f(x)11?x2??3，g'(x)?2x?2，∴当x?Mxxx1'时，g(x)?0， ∴g(x)在M上递减. 又g(?2)?,g(?1)??3

2f(x),x?M的零点有且仅有1个 ∴函数g(x)?x?2?t??1.∴M?(?2,?1)，g(x)?63.已知函数f?x??ax?bx?c?a,b,c?R?的图象过点P??1,2?，且在点P处的切线与

32直线x?3y?0垂直.（Ⅰ）若c?0，试求函数f?x?的单调区间；

（Ⅱ）若a?0,b?0，且函数f?x?在???,m?,?n,???上单调递增，试求n?m的范围. 解：（Ⅰ）因为f?x?的图象过点P??1,2?，所以?a?b?c?2.

又f'?x??3ax2?2bx，且在点P处的切线与直线x?3y?0垂直.

2 所以3a?2b??3，且c?0，所以a?1,b?3.所以f?x??3x?6x. 令f'?x??0?x1?0,x2??2.显然当x??2或x?0时，f'?x??0；

'当?2?x?0时，f?x??0.则函数f?x?的单调增区间是???,?2?,?0,???，函数

f?x?的单调减区间是??2,0?.

（Ⅱ）令f'?x??3ax2?2bx?0，得x1?0,x2??3a.

2b'时，f?x??0， 3a2b 因为a?0,b?0，所以当x?0或x?? 即函数f?x?的单调增区间是???,???2b??2b?2b.所以 ,0,??n?m?0????????.

3a??3a?3a2b3a?31??1??1.所以n?m?1. 3a3aa

又由（Ⅰ）知： 3a?2b??3，所以n?m?64.已知函数f(x)?ln(1?x2)?ax.(a?0)

(1)若f(x)在x?0处取得极值，求ａ的值； (2)讨论f(x)的单调性；

11)...(1?2n)?e(n?N*,e为自然对数的底数） 8132x?a,?x?0使f?x?的一个极值点，则 解：（1）?f??x??21?x f??0??0,?a?0，验证知a=0符合条件…………………….3分

(3)证明：(1?)(1?192xax2?2x?a?a? （2）?f??x?? 221?x1?x 1）若a=0时，

?f(x)在?0,???单调递增，在???,0?单调递减；

?a?0 得，当a??1时，f??x??0对x?R恒成立，??0? ?f(x)在R上单调递减…………………………………6分

2 3）若?1?a?0时，由f??x??0得ax?2x?a?0

2）若??1?1?a2?1?1?a2 ? ?x?aa?1?1?a2?1?1?a2 再令f??x??0,可得x? 或x?aa?1?1?a2?1?1?a2 ?f(x)在( ,)上单调递增，aa?1?1?a2?1?1?a2 在(??,)和(,??)上单调递减

aa 综上所述，若a??1时，f(x)在(??,??)上单调递减，

?1?1?a2?1?1?a2若?1?a?0时， f(x)在(,)上单调递增，aa?1?1?a2?1?1?a2 (??,)和(,??)上单调递减。

aa???，若a?0时，f(x)在?0,???单调递增，在0?单调递减..................9分

(3)由（2）知，当a??1时，f(x)在???，???单调递减 当x??0,???时，由f(x)?f(0)?0

?ln(1?x2)?x111111?ln[(1?)(1?)...(1?2n)]?(1?)?ln(1?)?......?ln(1?2n)981981331?1?1??? 1111?13?3n?1???2?......n???1?n??1332?3?231?31111?(1?)(1?)...(1?2n)?e2?e,................................14分981365.已知函数f(x)?

4x,x?[0,2]。 23x?3（I）求f(x)的值域；

（II）设a?0，函数g(x)?ax3?a2x,x?[0,2]。若对任意x1?[0,2]，总存在x0?[0,2]，

13使f(x1)?g(x0)?0，求实数a的取值范围。

41?x2解：（I）f'(x)??2，令f'(x)?0,得x?1或x??1 23(x?1)

当x?(0,1)时,f'(x)?0,f(x)在(0,1)上单调递增;当x?(1,2)时,f'(x)?0,f(x)在(1,2)上单调递减,而f(0)?0,f(1)?

28?2?,f(2)? ∴当x?[0,2]时,f(x)的值域是?0,? 315?3?（II）设函数g(x)在[0，2]上的值域是A，

?2?∵若对任意x1?[0,2],总存在x0?[0,2],使f(x1)?g(x0)?0 ∴?0,??A

?3?

g'(x)?ax2?a2

①当x?(0,2),a?0时,g'(x)?0，∴函数g(x)在(0,2)上单调递减。

∵g(0)?0,g(2)?a?2a2?0

83?2?∴当x?[0,2]时,不满足?0,??A；

?3?②当x?(0,2),a?0时,g'(x)?a(x?a)(x?a)令g'(x)?0,得x?a或x??a（舍去） （i）当x?[0,2],0?a?2时，x,g'(x),g(x)的变化如下表： x g'(x) g(x) 0 0 (0,a) － a 0 (a,2) + 2 2?a2a 38a?2a2 3?g(0)?0,g(a)?0

?2?∵?0,??A ?3?821?g(2)?a?2a2?,解得?a?111分333（ii）当x?[0,2],a?2时,g'(x)?0 ∴函数g(x)在（0，2）上单调递减。

8∵g(0)?0,g(2)?a?2a2?03

2???当x?[0,2]时,不满足?0,??A13分3???1?综上可知，实数a的取值范围是?,1?

?3?66.已知函数f(x)?x?a，其中a为实数． lnx (1)当a?2时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； (2)是否存在实数a，使得对任意x?(0,1)?(1,??)，f(x)?说明理由，若存在，求出a的值并加以证明．

x恒成立?若不存在，请

x?2xlnx?x?21?f(2)?，f?(x)?，，

lnxln2xln2x1(x?2) 又f(2)?0 所以切线方程为y?ln2x?a?x?a?x?xlnx （2）1°当0?x?1时，lnx?0，则

lnx（1）a?2时，f(x)?令g(x)?x?xlnx，g?(x)?2x?2?lnx2x1x?1?x，

再令h(x)?2x?2?lnx，h?(x)?x?1?0 x当0?x?1时h?(x)?0，∴h(x)在(0,1)上递减，∴当0?x?1时，h(x)?h(1)?0， ∴g?(x)?h(x)2x?0，所以g(x)在(0,1)上递增，g(x)?g(1)?1， 所以a?1

x?a?x?a?x?xlnx?a?g(x) lnx2°x?1时，lnx?0，则

由1°知当x?1时h?(x)?0，h(x)在(1,??)上递增 当x?1时，h(x)?h(1)?0，g?(x)?h(x)2x?0

所以g(x)在(1,??)上递增，∴g(x)?g(1)?1 ∴a?1； 由1°及2°得：a?1 67.已知函数f(x)?(x?x?21ax)e(a?0) a （1）求曲线y?f(x)在点A(0,f(0)处的切线方程； （2）当a<0时，求函数f(x)的单调区间；

33?0对x?[?,??)恒成立，求a的取值范围。 aa1ax2axax解：f?(x)?(2x?1)e?(x?x?)?e?a?e(ax?2)(x?1)

a111（1）f(0)??,f?(0)??2 ∴曲线f(x)在点A(0,?)处的切线方程为y???2x

aaa1即2x?y??0

a2（2）令f?(x)?0,即(ax?2)(x?1)?0,解得x??,或x?1.

a222当a??2时,??1, 令f?(x)?0,得??x?1;令f?(x)?0,得x??,或x?1.

aaa22f(x)在(??,?),(1,??)上为减函数，在(?,1)上增函数。

aa2??(x)?e?2x(?2)(x?1)2?0在R上恒成立。f(x)在(??,?)上为当a??2时,??1,fa （3）当a>0时，若不等式f(x)?减函数。

222?1. 令f?(x)?0,得1?x??;令f?(x)?0,得x?1或x?? aaa22f(x)在(??,1),(?,??)上为减函数; 在(1,?)上为增函数。

aa2综上，当a??2时，f(x)的单调递增区间为(?,1),单调递减区间为

a2(??,?),(1,??)。

a当?2?a?0时,?当a??2时,f(x)单调递减区间为(??,??)

当?2?a?0时,f(x)的单调递增区间为(1,?). 单调递减区间为（??,1），（?2a2,??） a（3）a>0时，列表得：

x 32(?,?) aa?2 a2(?,1) a1 （1，+?） f?(x) + ↗ 0 极大值 － ↘ 0 极小值 + ↗ f(x) 又f(?)?9?2a?31ae?0,f(1)??e?0,

aa231a从而，当x??时,函数f(x)在x?1时取得最大值f(1)??e

aa33由题意，不等式f(x)??0对x?[?,??)恒成立，

aa1a3所以得?e??0,解得0?a?ln3 从而a的取值范围为(0,ln3]

aa68.已知函数f(x)?ex?2x2?3x.

（I）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）求证函数f(x)在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相

应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，e≈1.6，e0.3≈1.3）

（III）当x?3a15时,若关于x的不等式f(x)?x2?(a?3)x?1恒成立,试求实数a的取22值范围。

解：（Ⅰ）f??x??ex?4x?3,则f??1??e?1，

又f?1??e?1， ?曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程为

y?e?1??e?1??x?1?,即?e?1?x?y?2?0

（Ⅱ）?f??0??e?3??2?0,f??1??e?1?0，?f??0??f??1??0,

0令h?x??f??x??ex?4x?3，

则h??x??e?4x?0,?f??x?在?0,1?上单调递增，

x?f??x?在?0，1?上存在唯一零点，?f?x?在?0,1?上存在唯一的极值点

取区间?0,1?作为起始区间，用二分法逐次计算如下

区间中点坐标 中点对应导数值 取区间?an,bn? an?bn 1 ?0,1? 0?1f??xo??0.6?0 ?0.5 20?0.6f??x1???0.5?0 x1??0.3 2 0.3?0.6x2??0.45 2xo??0,0.6? ?0.3,0.6? 0.6 0.3 由上表可知区间?0.3,0.6?的长度为0.3，所以该区间的中点x2?0.45，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。

?函数y?f?x?取得极值时，相应x?0.45

525x??a?3?x?1得ex?2x2?3x?x2??a?3?x?1， 221ex?x2?1121x2即ax?e?x?1,?x?， ?a?， 22x11ex?x2?1ex?x?1??x2?122令g?x?? ,则g??x??2xx12xx令??x??e?x?1??x?1,则???x??xe?1

2（Ⅲ）由f?x????1?1??x?,????x??0,???x?在?，???2?2??1????x???????2?因

此

上单调递增，

?71e?0， 82???x0故,??在g?1???x?,上?2?单

调

递

增

，

则

g??121e??19?1?8g?x??g????2e?，

14?2?29?a的取值范围是a?2e?

469.某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x的乘积成正比；②当x?

2

ax3

??0,t?，其中t是常时，y=a；③

22(a?x)数，且t??0,2?

（1）设y=f(x)，求f(x)的表达式及定义域，其中定义域用a和t表示； （2）求出产品增加值y的最大值及相应的x的值。

a2aa33? ∴k=8 解：（1）设y=f(x)=k(a－x)x ∵当x?时，y=a，即a?k2422

∴f(x)=8(a－x)2x

2

∵0?x2at?t ∴函数的定义域是（0,】

2t?12(a?x)2a 3（2）f’(x)=－24x+16ax，令f’(x)=0，则x=0（舍），x=

2

当0

2a2a)上是增函数 时，f’(x)>0，∴f(x)在(0,33当x>

2a2a,??)上是减函数 时，f’(x)<0，∴f(x)在(332a为极大值点 3所以x=

当

2at2a2a323?a 时，即1≤t≤2，ymax?f()?2t?133272at2a2at32a3t2?当时，即0

2a323a 万元，最大增加值

3272at32a3t2 当0

②已知函数g(x)?f(x)?2(x?1)?alnx在区间(0,1)上单调，求a的取值范围； ③函数h(x)?ln(1?x)?221f(x)?k有几个零点。 2（1）由题设得F(x)?x?bsinx， ?F(x?5)?F(5?x)，则?F(?x)?F(x)，

22所以x?bsinx?x?bsinx 所以bsinx?0对于任意实数x恒成立 ?b?0.故f(x)?x2?2

（2）由g(x)?f(x)?2(x?1)?alnx?x?2x?alnx，求导数得

2g'(x)?2x?2?ax(x?0)，g(x)在(0,1)上恒单调，只需g'(x)?0或g'(x)?0在(0,1)上恒成立，即2x2?2x?a?0或2x2?2x?a?0恒成立，所以a??(2x2?2x)或a??(2x2?2x)在(0,1)上恒成立 记u(x)??(2x2?2x),0?x?1，可知：?4?u(x)?0，?a?0或a??4

（3）令y?ln1(?x2)?12f(x)，则y'?2x(x?1)x(x?1)1?x2?x??1?x2. 令y'?0，则x??1,0,1，列表如下.

x (??,?1) ?1 (?1,0) 0 (0,1) 1 (1,??) y' + 0 — 0 + 0 — 极大值极大值y 递增 ln2?1 递减 极小值1 递增 2ln2?1 递减 2?k?ln2?12时，无零点；k?1或k?ln2?12时，有两个零点；k?1时有三个零点；1?k?ln2?12时，有四个零点

71.设函数f(x)?x2?2tx(x?0,t?R) （1）判断并证明函数f(x)的奇偶性。 （2）若t?0，求函数的单调区间。

（3）求函数f(x)在区间?1,2?上的最小值与最大值。

解：（1）当t?0时，

f(x)?x2(x?0)，?对定义域内任一x都有f(?x)?f(x)，f(x)是偶函数。

当t?0时，由f(1)?1?2t ， f(?1)?1?2t知f(?1)??f(1) 且 f(?1)?f(1)。?此时f(x)为非奇非偶函数。.

?f'(x)?2x?2t2(x3?t)1（2）

x2?x2?当x?t3时 ，f'(x)?0 ， f(x)是单调递增。 11当x?0或0?x?t3时，f'(x)?0 ， f(x)是单调递减?f(x)的单调递增区间为(t3 ， ??)， 1单调递减区间为(?? ， 0),(0 ， t3)。 f'(x)?2(x3?t)（3）（1）若t?1时，x2对x?[1 ， 2]有f'(x)?0恒成立，?f(x)单调递增。此时，f(x)min?f(1)?2t?1 ， f(x)max?f(2)?t?4。

2]有f'(x)?0恒成立，?f(x)单调递减。此时，（2）若t?8时，f'(x)对x?[1 ，f(x)min?f(2)?t?4 ， f(x)max?f(1)?2t?1。

（3）若1?t?3时，2t?1?t?4，即f(1)?f(2)，且当1?x?t时，f'(x)?0，当

13t?x?2时，f'(x)?0，?当x?t时，f(x)min?3t，当x?2时，f(x)max?t?4。

（4）若3?t?8时，t?4?2t?1，即f(2)?f(1)，且当1?x?t时，f'(x)?0，当

13131323t?x?2时，f'(x)?0，?当x?t时，f(x)min?3t，当x?1时，f(x)max?2t?1。

131323?函数的最大值是

?2t?1 (t?3)f(x)max???t?4 (t?3)，函数的最小值是

?2t?1 (t?1)?2?f(x)min??3t3 (1?t?8)????12分?t?4 (t?8)??.

72.已知函数f(x)?lnx?a， x（1）当a?0时，判断f(x)在定义域上的单调性； （2）若f(x)在[1,e]上的最小值为

23，求a的值； 2 （3）若f(x)?x在(1,??)上恒成立，求a的取值范围 解：（1）由题意：f(x)的定义域为(0,??)，且f?(x)?1ax?a?2?2． xxx?a?0,?f?(x)?0，故f(x)在(0,??)上是单调递增函数．

（2）由（1）可知：f?(x)?x?a x2① 若a??1，则x?a?0，即f?(x)?0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，

33?[f(x)]min?f(1)??a?,?a??（舍去）．

22② 若a??e，则x?a?0，即f?(x)?0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，

?[f(x)]min?f(e)?1?

a3e??a??（舍去）． e22③ 若?e?a??1，令f?(x)?0得x??a，

当1?x??a时，f?(x)?0,?f(x)在(1,?a)上为减函数， 当?a?x?e时，f?(x)?0,?f(x)在(?a,e)上为增函数，

?[f(x)]min?f(?a)?ln(?a)?1?综上可知：a??e． （3）?f(x)?x,?lnx?323?a??e 2a?x2．又x?0,?a?xlnx?x2 x2

11?6x2令g(x)?xlnx?x,h(x)?g?(x)?1?lnx?3x,h?(x)??6x?，

xx?h(x)在[1,??)上是减函数，?h(x)?h(1)??2，即g?(x)?0， ?g(x)在[1,??)上也是减函数，?g(x)?g(1)??1．

令a??1得a?g(x)，∴当f(x)?x2在(1,??)恒成立时，a??1

22

73.已知函数f(x)?lnx?ax?ax(x?R). （1）当a?1时，证明：函数f(x)只有一个零点；

（2）若函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，求实数a的取值范围； 解：（Ⅰ）当

a=1

时，

f(x)?lnx?2x?，x其定义域是(0,??)，

112x2?x?12x2?x?1?f?(x)??2x?1???0，解得x??或 令f?(x)?0，即?2xxxx?1．?x?0，?x??1舍去． 2 当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0．

∴函数f(x)在区间（0，1）上单调递增，在区间(1,??)上单调递减

2 ∴当x=1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)?ln1?1?1?0．

当x?1时，f(x)?f(1)，即f(x)?0． ∴函数f(x)只有一个零点．

（Ⅱ）法一：因为f(x)?lnx?a2x2?ax其定义域为(0,??)，

1?2a2x2?ax?1?(2ax?1)(ax?1)2?所以f?(x)??2ax?a?

xxx1?0,?f(x)在区间(0,??)上为增函数，不合题意（8分） x1②当a>0时，f?(x)?0(x?0)等价于(2ax?1)(ax?1)?0(x?0)，即x?．

a①当a=0时，f?(x)??11??1,此时f(x)的单调递减区间为(,??)．依题意，得?a解之得a?1．

a??a?0.③当a<0时，f?(x)?0(x?0)等价于(2ax?1)(ax?1)?0(x?0)，即x??12 2a?1?111??,??)，?2a此时f(x)的单调递减区间为(?得a?? 2a2?a?0?综上，实数a的取值范围是(??,?]U[1,??)

12?2a2x2?ax?1法二：f(x)?lnx?ax?ax,x?(0,??) ?f?(x)?

x22 由f(x)在区间(1,??)上是减函数，可得g(x)??2ax?ax?1?0在区间(1,??)上恒成立．

① 当a?0时，1?0不合题意 ② 当a?0时，可得

221?1,即 4ag(1)?01a?或a?0, 4?2a2?a?1?0∴ 1a?或a?0,14?a?(??,?]U[1,??)

12a?1或a??2

x?m?x lnx74.已知函数f(x)?2x?lnx?2．（１）求f(x)的单调区间；（２）若不等式

学科网恒成立，求实数m的取值组成的集合．

学科网解：（１）由已知得x?0．因为f/(x)?11??xxx?1，x学科网所以当x?(0,1)?f/(x)?0,x?(1,??),?f/(x)?0．

学科网故区间(0,1)为f(x)的单调递减区间，区间(1,??)为f(x)的单调递增区间．（２）①当x?(0,1)时，

x?m?x?m?x?xlnx．lnx学科网令g(x)?x?xlnx，则g/(x)?1?lnx12x?lnx?2f(x)．???2xx2x2x学科网学科网由（１）知当x?(0,1)时，有f(x)?f(1)?0，所以g/(x)?0，

即得g(x)?x?xlnx在(0,1)上为增函数，所以g(x)?g(1)?1，所以m?1．②当x?(1,??)时，

x?m?x?m?x?xlnx．lnx学科网由①可知，当x?(1,??)时，g(x)?x?xlnx为增函数，所以g(x)?g(1)?1，所以m?1．

学科网学科网综合以上得m?1．故实数m的取值组成的集合为{1} 75.已知a?R,函数f(x)?xln(?x)?(a?1)x.

（Ⅰ）若f(x)在x??e处取得极值,求函数f(x)的单调区间；

2?1 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[?e,?e]的最大值g(a).

解：（Ⅰ）f?(x)?ln(?x)?a, 由f?(?e)?0得 a??1. ?f?(x)?ln(?x)?1,

当x?(??,?e)时，f?(x)?0,当x?(?e,0)时，f?(x)?0,

故函数f(x)的单调增区间为(??,?e)，单调减区间为(?e,0).

?a（Ⅱ）由（Ⅰ）f?(x)?ln(?x)?a, 由f?(x)?0得 x??e.

当x?(??,?e)时，f?(x)?0,当x?(?e,0)时，f?(x)?0,

?a?a?f(x)在x??e?a处取得极大值, f(x)极大?f(?e?a)?e?a?a

（1） 当a??2时，?e??e2,函数f(x)在区间为[?e2,?e?1]递减 ，

f(x)max?f(?e2)??(a?1)e2.

?2?a?1时， ?e（2） 当

?a?[?e2,?e?1]，f(x)max?f(?e?a)?e?a

（3） 当a?1时，?e?a??e?1,函数f(x)在区间为[?e2,?e?1]递增 ，

f(x)max?f(?e?1)?2?a. e???(a?1)e2,?e?a, g(a)???2?a?,e?a??2?2?a?1 a?176.已知函数f(x)?logax和g(x)?2loga(2x?4),(a?0,a?1).

（I）若函数y?f(x)与函数y?g(x)的图像在x?x0处的切线平行,求x0的值； （II）设F(x)?g(x)?f(x),当x?[1,4]时,F(x)?2恒成立,求实数a的取值范围 解：（I）?f?(x)?

14logae,g?(x)?logae x2x?4?函数f(x)和g(x)的图象在x?x0处的切线互相平行?f?(x0)?g?(x0)

?14logae?logae x02x0?4

?x0?2

(2x?4)2,x?[1,4] （II）?F(x)?g(x)?f(x)?2loga(2x?4)?logax?logax

(2x?4)216?4x??16,x?[1,4]令h(x)?xx ?h?(x)?4?164(x?2)(x?2)?,x?[1,4] 22xx

?当1?x?2时,h?(x)?0, 当2?x?4时,h?(x)?0. h(x)在[1,2)是单调减函数,在(2,4]是单调增函数。

?h(x)min?h(2)?32,?h(x)max?h(1)?h(4)?36?当0?a?1时,有F(x)min?loga36,

当a?1时,有F(x)min?loga32. ?当x?[1,4]时,F(x)?2恒成立， ?F(x)min?2

?满足条件的a的值满足下列不等式组

?0?a?1?a?1,; ①，或② ???loga36?2?loga32?2.不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1?a?42 综上所述，满足条件的a的取值范围是:1?a?42.

77.已知三次函数f(x)?x3?ax2?bx?c在(??,?1)，（2,??）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，当且仅当x?4时,f(x)?x2?4x?5. （I）求函数f(x)的解析式；

（II）若函数h(x)?f?(x)?(m?1)ln(x?m),求h(x)的单调区间和极值。

3(x?2)解 （1）?f(x)在(??,?1),(2,??)上单调递增，(?1,2)上单调递减，

?f?(x)?3x2?2ax?b?0有两根?1,2，

2a?3?1?2??,??a??,32??33???f(x)?x?x?6x?c. ??22??1?2?b,?b??6.??3?23 令H(x)?f(x)?x?4x?5?x?52x?2x?c?5，则H?(x)?3x2?5x?2， 2因为H?(x)在[4,??)上恒大于0，所以H(x)在[4,??)上单调递增，

3故H(4)?0， ?c??11， ?f(x)?x?32x?6x?11 . 22 （2）?f?(x)?3x?3x?6，?h(x)?x?1?(m?1)ln(x?m)(x??m且x?2)．

?h?(x)?1?m?1x?1? ． x?mx?m ①当m??2时，?m?2，定义域为(?m,??)， h?(x)?0恒成立，h(x)在(?m,??)上单调递增；

②当?2?m??1时，2??m?1，定义域：(?m,2)?(2,??)，

h?(x)?0恒成立，h(x)在(?m,2),(2,??)上单调递增；

③当m??1时，?m?1，定义域：(?m,2)?(2,??)，

由h?(x)?0得x?1，由h?(x)?0得x?1．

故在(1,2),(2,??)上单调递增；在(?m,1)上单调递减.

所以当m??2时，h(x)在(?m,??)上单调递增，故h(x)无极值； 当?2?m??1时，h(x)在(?m,2),(2,??)上单增；故h(x)无极值. 当m??1时，h(x)在(1,2),(2,??)上单调递增；在(?m,1)上单调递减. 故h(x)有极小值,且h(x)的极小值为h(1)?2?(m?1)ln(m?1).

78.已知函数f(x)?13(k?1)21x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 323（1）求实数k的取值范围；

（2）若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围． 解：（1）由题意f?(x)?x2?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，

∴f?(x)?x2?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立

即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1 ∴k的取值范围为k?1

x3(k?1)21?x?kx?， （2）设h(x)?f(x)?g(x)?323h?(x)?x2?(k?1)x?k?(x?k)(x?1) 令h?(x)?0得x?k或x?1

由（1）知k?1，

2①当k?1时，h?(x)?(x?1)?0，h(x)在R上递增，显然不合题意

②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情况如下表：

x (??,k) k (k,1)— 1 (1,??)h?(x) ? 0 0 ? h(x) ↗ 极大值↘ k3k21??? 623极小值 ↗ k?12 由于

k?1?0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)?0有三个不2同的实根，

?k?1k3k212???0，即(k?1)(k?2k?2)?0 ∴?2故需?， 623?k?2k?2?0解得k?1?3 综上，所求k的取值范围为k?1?3

x321079.已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数

5a3bx2g(x)?f(x)?2?3．

a（1）若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；

（2）若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b2?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围． 解：∵f?(x)?3322?x?x?3有x??a，即切点坐标为(a,a)，(?a,?a) ，∴由22aa∴切线方程为y?a?3(x?a)，或y?a?3(x?a) 整理得3x?y?2a?0或

3x?y?2a?0

∴

|?2a?2a|32?(?1)2?210，解得a??1，∴f(x)?x3， ∴g(x)?x3?3bx?3 52（1）∵g?(x)?3x?3b，g(x)在x?1处有极值，∴g?(1)?0，

23即3?1?3b?0，解得b?1，∴g(x)?x?3x?3

（2）∵函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，∴g?(x)?3x?3b?0在区间[?1,1]上恒成立， ∴b?0，又∵b?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上恒成立，∴b?mb?4?g(1)，

2即b?mb?4?4?3b，∴m?b?3在b?(??,0]上恒成立，∴m?3

222∴m的取值范围是?3,???

2x80.已知函数f(x)?(x?3x?3)?e定义域为??2,t?(t??2),设f(?2)?m,f(t)?n.

(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在??2,t?上为单调函数； (Ⅱ)求证:n?m；

f'(x0)22?(t?1)(Ⅲ)求证:对于任意的t??2,总存在x0?(?2,t),满足,并确定这样x0e3的x0的个数.

(Ⅰ)解:因为f?(x)?(x2?3x?3)?ex?(2x?3)?ex?x(x?1)?ex

由f?(x)?0?x?1或x?0；由f?(x)?0?0?x?1,所以f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减 欲f(x)在??2,t?上为单调函数,则?2?t?0

(Ⅱ)证:因为f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x?1处取得极小值e

13?e,所以f(x)在??2,???上的最小值为f(?2) 2e 从而当t??2时,f(?2)?f(t),即m?n

又f(?2)?f'(x0)f'(x0)22222x?x?(t?1)2, ?(t?1)?x?x(Ⅲ)证:因为,所以即为0000x0x03e3e222222 令g(x)?x?x?(t?1),从而问题转化为证明方程g(x)?x?x?(t?1)=0

33在(?2,t)上有解,并讨论解的个数

222122 因为g(?2)?6?(t?1)??(t?2)(t?4),g(t)?t(t?1)?(t?1)?(t?2)(t?1),

3333所以

①当t?4或?2?t?1时,g(?2)?g(t)?0,所以g(x)?0在(?2,t)上有解,且只有一解 ②当1?t?4时,g(?2)?0且g(t)?0,但由于g(0)??所以g(x)?0在(?2,t)上有解,且有两解

③当t?1时,g(x)?x2?x?0?x?0或x?1,所以g(x)?0在(?2,t)上有且只有一解；

当t?4时,g(x)?x2?x?6?0?x??2或x?3, 所以g(x)?0在(?2,4)上也有且只有一解

2(t?1)2?0, 3f'(x0)2?(t?1)2, 综上所述, 对于任意的t??2,总存在x0?(?2,t),满足x0e3且当t?4或?2?t?1时,有唯一的x0适合题意；当1?t?4时,有两个x0适合题意 81.若函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d是奇函数，且f(x)在x??3

2

233处取得极小值－．

93（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在[－1，m] ，(m＞－1)上的最大值； （3）若方程f(x)=

1m在[－1，m]，(m＞－1)上有且只有一个根，求m的取值范围。 2/

解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，

?f (－33)＝a＋c＝0

?a＝－1

∴f (x)＝3ax＋c，则?， 故f(x)＝－x＋x； ??

33a3c23?c＝1

?f(－3)＝－9－3＝－9

/

23

3333/

（2）∵f (x)＝－3x2＋1＝－3(x＋3)(x－3) ∴f(x)在(－∞，－3)，(3，＋∞)上是减函数，y 33

在[－3，3]上是增减函数，由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0， 如图所示， 当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0；

3

当0≤m＜3时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m， 3323

当m≥3时，f(x)max＝f(3)＝9．

0 (－1＜m＜0)

3

－m3＋m (0≤m＜3) 故f(x)max＝．

233

(m≥93)

－1 3－3 O 33 1 x ?????

（3）当m=0时显然不成立，当－1＜m＜?mm33时f(m)≤即?m?m?解得

223?m23333，当?＜m＜0时f(m)< 解得?当0?m?时?m???m?0；

223333mmm33323,即?m?m?解得0?m?，当，?m时f(m)＞故?m?2223332f(m)≥

所以所求m的取值范围是?22?m?0或0?m? 2282.函数f(x)?aex,g(x)?lnx?lna,其中a为常数，且函数y?f(x)和y?g(x)的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．

（1）求函数y?g(x)的解析式； （2）若关于x的不等式

x?m?x恒成立，求实数m的取值范围 g(x)1，y?f(x)的图像与坐标轴的交点为(0,a)，y?g(x)的图像x1//与坐标轴的交点为(a,0) 由题意得f(0)?g(a),即a?，又?a?0?a?1 ?g(x)?lnx

ax?m?x?m?x?xlnx （2）由题意g(x)?0?x?0,x?1 当x?(1,??)时，

lnx解：（1）f(x)?ae,g(x)?/x/令

?(x)?x?xlnx

??/(x)?2x?lnx?22x令

h(x)?2x?lnx?2,?h/(x)?11(1?) xx当x?(1,??)时，h/(x)?0?h(x)单调递增。?h(x)?h(1)?0 由m?x?xlnx在x?(1,??)上恒成立， 得m??(1)?1 当x?(0,1)时，

x?mh(x)?x?m?x?xlnx 可得?/(x)??0??(x)单调递增。 lnx2x由m?x?xlnx??(x)在x?(0,1)上恒成立，得m??(1)?1 综上，可知m?1 83.设a?0，函数f(x)?x2?a|lnx?1|.

(1) 当a?1时,求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程; (2) 当x?[1,??)时,求函数f(x)的最小值.

解（1）当a?1时，f(x)?x2?|lnx?1|，令x?1 得 f(1)?2,f?(1)?1,所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为：x?y?1?0。 （2）①当x?e时，f(x)?x2?alnx?a，f?(x)?2x?a (x?e) x ?a?0，?f(x)?0恒成立。 ?f(x)在[e,??)上增函数。故当x?e时，

ymin?f(e)?e2

2② 当1?x?e时，f(x)?x?alnx?1，f?(x)?2x?a2aa?(x?)(x?)xx22（1?x?e） （i）当

a?1,即0?a?2时，f?(x)在x?(1,e)时为正数，所以f(x)在区间[1,e)上为2增函数。故当x?1时，ymin?1?a，且此时f(1)?f(e) (ii)当1?aaa?e，即2?a?2e2时，f?(x)在x?(1,)时为负数，在间x?(,e) 时222aa)上为减函数，在(,e]上为增函数 22为正数。所以f(x)在区间[1,故当x?aa3aaa?ln，且此时f()?f(e) 时，ymin?22222(iii)当

a?e；即 a?2e2时，f?(x)在x?(1,e)时为负数，所以f(x)在区间[1,e]上为减2函数，故当x?e时，ymin?f(e)?e2。

综上所述，当a?2e2时，f(x)在x?e时和1?x?e时的最小值都是e2。

所以此时f(x)的最小值为f(e)?e2；当2?a?2e2时，f(x)在x?e时的最小值为

f(a3aaaa)??ln，而f()?f(e)， 22222所以此时f(x)的最小值为f(a3aaa)??ln。 2222当0?a?2时，在x?e时最小值为e2，在1?x?e时的最小值为f(1)?1?a， 而f(1)?f(e)，所以此时f(x)的最小值为f(1)?1?a

所以函数y?f(x)的最小值为ymin?1?a,0?a?2?3aaa???ln,2?a?2e2 ?22222e,a?2e?84.已知函数f(x)?ax2?bx，存在正数b，使得f(x)的定义域和值域相同．

b有零点，求b的最小值． xba（1）求非零实数a的值； （2）若函数g(x)?f(x)?解：（1）若a?0，对于正数b，f(x)的定义域为D?(??,?]?[0,??)，但f(x) 的值

域A?[0,??)，故D?A，不合要求．

若a?0，对于正数b，f(x)的定义域为D?[0,?]．由于此时

ba[f(x)]max?f(?bb)?， 2a2?abbb]．由题意，有??故函数的值域A?[0,，由于b?0，所以a??4．

a2?a2?a(2)由f(x)?得记bb?0,即?4x2?bx?xx4x4?bx3?b2?0.h(x)?4x4?bx3?b2,(0?x?b),4则 h/(x)?16x3?3bx2,易知?x?h(x)在(0,令h'(x)?0,x?3bb?(0,]-----------10分1643b3bb]上递减；在[,]上递增.161643b是h(x)的一个极小值点.------------------------12分16b3b又h()?b2?0,h(0)?b2?0,?由题意有：h()?0,----------14分4163b43b4即4()?b()3?b2?0,?b2?,331616()16

1283故bmin?.--------------------------------------16分985.已知f(x)?x2?ax?a(a?2,x?R)，g(x)?e?x，?(x)?f(x)?g(x). （1）当a?1时，求?(x)的单调区间；

（2）求g(x)在点(0,1)处的切线与直线x?1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积； （3）是否存在实数a，使?(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）当a?1时,?(x)?(x2?x?1)e?x,?'(x)?e?x(?x2?x).

当?'(x)?0时,0?x?1;当?'(x)?0时,x?1或x?0. ∴?(x)的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：(??,0)，(1,??).

积

为

（2）切线的斜率为k?g'(0)??e?x|x?0??1，∴ 切线方程为y??x?1.

所求封闭图形面

11111S??[e?x?(?x?1)]dx??(e?x?x?1)dx?(?e?x?x2?x)|1??. 00022e（3）?'(x)?(2x?a)e?x?e?x(x2?ax?a)?e?x[?x2?(2?a)x]?'x(得?)或x0?. x,?a?，令

列表如下： x (－∞，0) ?'(x) － ?(x) ↘ 由

表

可

知

0 0 极小 ，

（0，2－a） + ↗ 2－a 0 极大 (2－a，+ ∞) － ↘ .

设

?(x)极大??(2?a)?(4?a)ea?2?(a)?(4?a)ea?2,?'(a)?(3?a)ea?2?0，

∴?(a)在(??,2)上是增函数，∴ ?(a)??(2)?2?3，即(4?a)ea?2?3，

∴不存在实数a，使?(x)极大值为3.

86.已知函数f(x)?x?ax?x，a?R是常数，x?R． ⑴若y?2x?1是曲线y?f(x)的一条切线，求a的值；

32⑵?m?R，试证明? x?(m , m?1)，使f/(x)?f(m?1)?f(m)． 解：⑴f/(x)?3x2?2ax?1，解f/(x)?1得，x?0或x??当x?0时，f(0)?0，y?0?1?0，所以x?0不成立

2a 32a8a34a32a2a332?????1，得a?当x??时，由f(x)?y，即?

3279332⑵作函数F(x)?f/(x)?[f(m?1)?f(m)]

F(x)?3x2?2ax?(3m2?3m?2am?a?1)，函数y?F(x)在[m , m?1]上的图象

是一条连续不断的曲线，F(m)?F(m?1)??(3m?a?1)(3m?a?2)①若

(3m?a?1)(3m?a?2)?0，F(m)F(m?1)?0，? x?(m , m?1)，使F(x)?0，即

f/(x)?f(m?1)?f(m)

②若(3m?a?1)(3m?a?2)?0，?2?3m?a??1，F(m?1)?3m?a?2?0，

F(m)??(3m?a?1)?0，F(x)?3x2?2ax?(3m2?3m?2am?a?1)当x??2a时有3a23?2a21??3(m?)??0，且当最小值Fmin(x)??(3m?3m?2am?a?1)?364?2?3m?a??1时m?m?1a2???m??m?1， 333aa所以存在? x?(m , ?)（或? x?(? , m?1)）从而? x?(m , m?1)，使F(x)?0，

33/即f(x)?f(m?1)?f(m)

87.已知函数f(x)?(a?)x?lnx.（a?R）

（Ⅰ）当a?1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方，求a的取值范围．

122121x2?1解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?x??；对于x?[1，e]，有

2xxe2f?(x)?0，∴f(x)在区间[1，e]上为增函数， ∴fmax(x)?f(e)?1?，

2fmin(x)?f(1)?1. 2122（Ⅱ）令g(x)?f(x)?2ax?(a?)x?2ax?lnx，则g(x)的定义域为（0，+∞）. 在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于g(x)?0在区间（

1

，

+

∞

）

上

恒

成

立

.

∵

1(2a?1)x2?2ax?1(x?1)[(2a?1)x?1]g?(x)?(2a?1)x?2a???

xxx11，令g?(x)?0，得极值点x1?1，x2?， 22a?11当x2?x1?1，即?a?1时，在（x2，+∞)上有g?(x)?0，

2① 若a?此时g(x)在区间(x2，+∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2)，+∞)，不合题意； 当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，g(x)在区间(1，+∞)上，有g(x)∈(g(1)，+∞)，也不合题意；

1，则有2a?1?0，此时在区间(1，+∞)上恒有g?(x)?0，从而g(x)在区间(1，211+∞)上是减函数；要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足g(1)??a??0?a??，

2211由此求得a的范围是[?，].

2211综合①②可知，当a∈[?，]时，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方.

22② 若a?88.已知函数f(x)?aln(． 1?2x)?x2（a?0，x?(0,1]）

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若不等式1?n??nln(1?222)对一切正整数n恒成立，求实数?的取值范围． na?2ax2?2x?a?2x?解（Ⅰ）f?(x)?， 1?ax1?ax?1?2a2?1由?2ax?2x?a?0，得x?．

2a2?1?2a2?1?1?2a2?1?a?0，??0，?0．

2a2a?1?2a2?1?又?2aa2a?1?12?1．

2a2?1?12a2?1?1),递减区间为(,1)． ?函数f(x)的单调递增区间为(0,2a2a（Ⅱ）【法一】不等式令

1221???ln(1?)??ln(1?)?，即为．?????（※） 22nnnn1?x，当n?N?时，x?(0,1]．则不等式（※）即为??ln(1?2x)?x2． n令g(x)?ln(1?2x)?x2，x?(0,1]， ?在f(x)的表达式中，当a?2时，

?1?2a2?11f(x)?g(x)，又?a?2时，?，

2a211

?g(x)在(0,)单调递增，在(,1)单调递减．

22111g(x)在x?时，取得最大，最大值为g()?ln2?．

224121因此，对一切正整数n，当n?2时，ln(1?)?2取得最大值ln2?．

4nn1?实数?的取值范围是??ln2?．

41221【法二】不等式2???ln(1?)，即为??ln(1?)?2．（※）

nnnn22212?2x2?2x?4x?3?设g(x)?ln(1?)?2(x?1)，g?(x)?， 32x1?xxxx(x?2)?令g?(x)?0，得x??1或x?2．?当x?(1,2)时，g?(x)?0，当x?(2,??)时，

g?(x)?0．?当x?2时，g(x)取得最大值ln2?1． 因此，实数?的取值范围是4??ln2?． 89.已知函数f(x)?141?a?lnx,a?R. x （I）求f(x)的极值；

,求k的取值范围； （II）若lnx?kx?0在(0,??)上恒成立 （III）已知x1?0,x2?0,且x1?x2?e,求证:x1?x2?x1x2. 解：（Ⅰ）?f(x)?/a?lnx,令f/(x)?0得x?ea当x?(0,ea),f/(x)?0,f(x)为增函数；2xa/a?a当x?(e,??),f(x)?0,f(x)为减函数，可知f(x)有极大值为f(e)?e

（Ⅱ）欲使lnx?kx?0在(0,??)上恒成立，只需

lnx?k在(0,??)上恒成立， x设

g(x)?lnx11(x?0).由（Ⅰ）知，g(x)在x?e处取最大值，?k? xeelnx在(0,e)上单调递增， x（Ⅲ）?e?x1?x2?x1?0，由上可知f(x)??ln(x1?x2)lnx1x1ln(x1?x2)?即?lnx1 ①，

x1?x2x1x1?x2x2ln(x1?x2)?lnx2 ②

x1?x2 同理

两式相加得ln(x1?x2)?lnx1?lnx2?lnx1x2 ?x1?x2?x1x2 90.设函数f(x)?x?a(x?1)ln(x?1),(x??1,a?0) （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a?1时，若方程f(x)?t在[?1,1]上有两个实数解，求实数t的取值范围； 2（Ⅲ）证明：当m>n>0时，(1?m)n?(1?n)m. 解：22、（Ⅰ）f/(x)?1?aln(x?1)?a

①a?0时，f/(x)?0 ∴f(x)在（—1，+?）上市增函数 ②当a?0时，f(x)在(?1,e1?aa?1]上递增，在[e1?aa?1,??)单调递减

121111又f(0)?0,f(1)?1?ln4,f(?)???ln2 ∴f(1)?f(?)?0

222211∴当t?[?,?ln2,0)时，方程f(x)?t有两解

22（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减 （Ⅲ）要证：(1?m)?(1?n)只需证nln(1?m)?mln(1?n), 只需证

nmln(1?m)ln(1?n)ln(1?x)?,(x?0)， 设g(x)?mnxx?ln(1?x)x?ln(1?x)/1?x?则g(x)? 22xx(1?x)由（Ⅰ）知x?(1?x)ln(1?x)??在(0,??)单调递减

∴x?(1?x)ln(1?x)?0，即g(x)是减函数，而m>n ∴g(m)?g(n)，故原不等式成立。 91.

已

知

函

数

11f(x)?ax3?x2?cx?d(a,c,d?R)满足f(0)?0,f'(1)?0,且f'(x)?0在R上恒成

34立.

（1）求a,c,d的值； （2）若h(x)?32b1x?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0; 424 （3）是否存在实数m，使函数g(x)?f'(x)?mx在区间[m,m?2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

2解：（1）?f(0)?0,?d?0 ?f'(x)?ax? 立

11x?c及f'(1)?0,有a?c? 22111?f'(x)?0在R上恒成立,即ax2?x?c?0恒成立, 即ax2?x??a?0恒成

22211x??a是二次函数 222显然a?0时，上式不能恒成立 ?a?0,函数f?(x)?ax?由于对一切x?R,都有f?(x)?0,于是由二次函数的性质可得

?a?0,a?0,???1即?21,?121a?a??0(?)?4a(?a)?0.??216?2?2a?c?1 ． 4??a?0,12即?,(a?)?0?4?解得:a?1 4

1111.?f?(x)?x2?x?. 4424121132b1 ?由f?(x)?h(x)?0,即x?x??x?bx???0

4244241b12 即x?(b?)x??0,即(x?b)(x?)?0

22211111 当b?时,解集为(,b),当b?时,解集为(b,)，当b?时,解集为?．

2222211211 （3）?a?c?,?f?(x)?x?x?

4424111?g(x)?f?(x)?mx?x2?(?m)x?.

424 该函数图象开口向上，且对称轴为x?2m?1.

（2）?a?c?

假设存在实数m使函数g(x)?f?(x)?mx?最小值－5.

1211x?(?m)x?区间[m.m?2] 上有 424①当m??1时,2m?1?m,函数g(x)在区间[m,n?2]上是递增的.

111?g(m)??5,即m2?(?m)m???5.

424777解得m??3或m?.???1,?m?舍去

333②当?1?m?1时,m?2m?1?m?2,函数g(x)在区间[m,2m?1]上是递减的，而在 区间[2m?1,m?2]上是递增的， 即

?g(2m?1)??5.

111(2m?1)2?(?m)(2m?1)???5 424111121或m???21,均应舍去 解得m???2222③当m?1时，2m?1?m?2,函数g(x)在区间[m,m?2]上递减的

111?g(m?2)??5 即(m?2)2?(?m)(m?2)???5.

424解得m??1?22或m?1?22.其中m?1?22应舍去. 综上可得，当m??3或m??1?22时，

函数g(x)?f?(x)?mx在区间[m,m?2]上有最小值?5.

92.已知函数f(x)?ln1?2x?mx

（1）f(x)为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围 （2）当m??1时，求函数f(x)的最大值

4f(a)?f(b)??2m?11?a?b?0a?b（3）当时，且，证明：3 11(x??)f?(x)??mf(x)?ln1?2x?mx21?2x解：（1）， ∴

x??11?(0,??)2，有1?2x

f?(x)?11?m?0x??1?2x2恒成立 ，对

因为对

∴不存在实数m使

由

f?(x)?111??0?m?0m??1?2x1?2x1?2x， 而恒成立，∴，所以m?0

经检验，当m?0时，

f?(x)?11?m?0x??1?2x2恒成立。 对

∴当m?0时，f(x)为定义域上的单调增函数

（2）当m??1时，由

f?(x)?1?2x?1??01?2x1?2x，得x?0

1x?(?,0)2时，f?(x)?0，当x?(0,??)时，f?(x)?0 当

∴f(x)在x?0时取得最大值，∴此时函数f(x)的最大值为f(0)?0

（3）由（2）得，ln1?2x?x对

x??12恒成立，当且仅当x?0时取等号

当m?1时，f(x)?ln1?2x?x，∵1?a?b?0，a?b?0

f(b)?f(a)?ln∴

1?2b2(b?a)?(b?a)?ln1??(b?a)1?2a1?2a

?b?a(a?b)(2?2a)f(a)?f(b)2?2a?(b?a)???1?2a1?2aa?b1?2a ∴

f(a)?f(b)2?2a?a?b1?2a，1?a?b?0， 同理可得

2?2a142?2b1?1???1??21?2a1?2a3，1?2b1?2b 4f(a)?f(b)??2a?b∴3

1(?,??)法二：当m?1时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），f(x)在2上递增

411g(x)?f(x)?x?ln(1?2x)?x323 令

g?(x)?112(1?x)??1?2x33(1?2x)在?0,1?上总有g?(x)?0，即g(x)在?0,1?上递增

当0?b?a?1时，g(a)?g(b)

44f(a)?f(b)4f(a)?a?f(b)?b??33a?b3 即

h(x)?f(x)?2x?令

1ln(1?2x)?x2由（2）它在?0,1?上递减 ∴h(a)?h(b)

即f(a)?2a?f(b)?2b

f(a)?f(b)?2(a?b) ∵a?b?0

f(a)?f(b)4f(a)?f(b)?2??2a?ba?b∴，综上3成立，其中0?b?a?1。

93.如右图（1）所示，定义在区间D上的函数f(x)，如果满足：对?x?D，?常数A，都有f(x)?A成立，则称函数，其中A称为函数的下界. （提示：图．．f(x)在区间．．．D上有下界．．．．．．．．．(1)、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零） （Ⅰ）试判断函数f(x)?x?348在(0,??)上是否有下界？并说明理由； x（Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间D上有上界.

请你类比函数有下界的定义，给出函数f(x)在区间D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在(??,0)上是否有上界？并说明理由；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间D上既有上界又有下界，则称函数f(x)在区间D上有界，函数

f(x)叫做有界函数．试探究函数f(x)?ax3?b （a?0,b?0a,b是常数）是否是[m,n]x（m?0,n?0,m、n是常数）上的有界函数？ 解：24．（I）解法1：∵f?(x)?3x?248482?3x??0， f(x)?0，由得22xxx4?16, ∵x?(0,??)， ∴x?2，

∵当0?x?2时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（0，2）上是减函数； 当x?2时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（2，＋?）上是增函数；

∴x?2是函数的在区间（0，＋?）上的最小值点，f(x)min?f(2)?8?∴对?x?(0,??)，都有f(x)?32，

48?32 2即在区间（0，＋?）上存在常数A=32,使得对?x?(0,??)都有f(x)?A成立， ∴函数f(x)?x?348在（0，＋?）上有下界. x3[解法2：?x?0?f(x)?x?当且仅当x?348161616161616?x3????44x3????32 xxxxxxx16即x?2时“＝”成立 x∴对?x?(0,??)，都有f(x)?32，

即在区间（0，＋?）上存在常数A=32,使得对?x?(0,??)都有f(x)?A成立， ∴函数f(x)?x?348在（0，＋?）上有下界.] x（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对?x?D，?常数B，都有f(x)≤B成立，则称函数f(x)在D上有上界，其中B称为函数的上界. 设x?0,则?x?0，由（1）知，对?x?(0,??)，都有f(x)?32，

3∴f(?x)?32，∵函数f(x)?x?∴?f(x)?32，∴f(x)??32

48为奇函数，∴f(?x)??f(x) x即存在常数B=－32，对?x?(??,0)，都有f(x)?B,

48在（－?， 0）上有上界. xbb22（III）∵f?(x)?3ax?2，由f?(x)?0得3ax?2?0，∵a?0,b?0

xx∴函数f(x)?x?3∴x?4bb, ∵ [m,n]?(0,??)， ∴x?4， 3a3a4∵当0?x?bb时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（0，4）上是减函数； 3a3a当x?4bb时，f'(x)?0，∴函数f(x)在（4，＋?）上是增函数； 3a3a∴x?4b是函数的在区间（0，＋?）上的最小值点， 3a f(4bb3b4)?a(4)??43ab3 3a3a3b43a4①当m?b时，函数f(x)在[m,n]上是增函数；∴f(m)?f(x)?f(n) 3a∵m、n是常数，∴f(m)、f(n)都是常数,令f(m)?A,f(n)?B, ∴对?x?[m,n]，?常数A,B,都有A?f(x)?B 即函数f(x)?ax?3b在[m,n]上既有上界又有下界 x②当 n?4b 时函数f(x)在[m,n]上是减函数 3a∴对?x?[m,n]都有f(n)?f(x)?f(m) ∴函数f(x)?ax?3b在[m,n]上有界. x③当m?4b?n时，函数f(x)在[m,n]上有最小值 3abb3b4)?a(4)??43ab3 3a3a3b43af(x)min＝f(4令A?443ab3,令B=f(m)、f(n)中的最大者 3则对?x?[m,n]，?常数A,B,都有A?f(x)?B

b在[m,n]上有界. xb3综上可知函数f(x)?ax?是[m,n]上的有界函数

x∴函数f(x)?ax?3

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