江西理工大学2010-2011学年线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题（2011年1月用）

(附答案)

一、 填空题（每空3分，共15分）

a1a1. 设矩阵A 2 a3

b1b2b3

c1 a1

c2,B a2

c3 a3

2

2

b1b2b3

d1

d2且A 4,B 1则A B d3

2

2. 二次型f(x1,x2,x3) x1 x2 tx2x3 4x3是正定的，则t的取值范围是

4 t 4

12

3. A为3阶方阵，且A ，则(3A) 1 2A*

1627

4. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 1 n, 2 n 0 5. 设A为n阶方阵， 1, 2, n为A的n个列向量，若方程组AX 0只有零解，则向量组( 1, 2, n)的秩为

二、选择题（每题3分，共15分）

2ab bx1 ax2

2cx2 3bx3 bc，则下列结论正确的是（A） 6. 设线性方程组 cx ax3 01

(A)当a,b,c取任意实数时，方程组均有解 (B)当a＝0时，方程组无解 (C) 当b＝0时，方程组无解 (D)当c＝0时，方程组无解 7. A.B同为n阶方阵，则（C）成立

(A) A B A B (B) AB BA

(C) AB BA (D) (A B) 1 A 1 B 1

a11

8. 设A a21

a31

a12a22a32

a13 a21

a11a23，B

a33 a11 a31

a22a12a12 a32

a23a13a13 a33

0

,P1 1 0

100

0

0, 1

1 P2 0

1

010

0

0则（C）成立 1

(A)AP1P2 (B) AP2P1 (C) P1P2A (D) P2P1A 9. A,B均为n阶可逆方阵，则AB的伴随矩阵(AB)* （D） (A) A*B* (B) ABA 1B 1 (C) B 1A 1 (D)B*A* 10. 设A为n n矩阵，r(A) r＜n，那么A的n个列向量中（B） （A）任意r个列向量线性无关 (B) 必有某r个列向量线性无关

(C) 任意r个列向量均构成极大线性无关组

(D) 任意1个列向量均可由其余n－1个列向量线性表示

三、计算题（每题7分，共21分）

3 A 11. 设 1

0

040

0

0 。求(A 2E) 1 3 1

1 1x 1 1

1x 111

x 1 1 1 1

1

1 2 0

0120

0 0 1

12. 计算行列式

11x 1

(x4)

2

13. 已知矩阵A 2

3

0a1

0 1 2 与B 0

01

020

0

0 相似，求a和b的值 b

(a 0,b 2)

四、计算题（每题7分，共14分）

2

14. 设方阵A 1

1

121

1 1 1

1 的逆矩阵A的特征向量为 k ，求k的值

1 2

(k 2或k 0)

1 0 1 1

15. 设 1 , 2 1 , 3 1 , 1 （1）问 为何值时， 1, 2, 3线性无

1 1 1

关（2）当 1, 2, 3线性无关时，将 表示成它们的线性组合 ((1) 1(2)

12

1

12

( 1) 2

12

3)

五、证明题（每题7分，共14分）

x1 2x2 2x3 0

16. 设3阶方阵B 0，B的每一列都是方程组 2x1 x2 x3 0的解

3x x x 0

23 1

（1）求 的值（2）证明：B 0 ( (1) 1(2)略 ) 17. 已知 1, 2, 3, 4为n维线性无关向量，设

1 2 3 4

1 1 , 2 0 , 3 1 , 4 0 ，证明：向量 1, 2, 3, 4

线性无关

六、 解答题（10分）

(1 )x1 x2 x3 0

18．方程组 x1 (1 )x2 x3 3，满足什么条件时，方程组

x x (1 )x

23 1

（1） 有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解 ( (1) 3且 0;(2) 0;(3) 3,解略)

七、解答题（11分）

19. 已知二次型f(x1,x2,x3) x1 2x2 3x3 4x1x2 4x2x3，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次型为标准型。 ( 1,2,5,其余略)

2

2

2

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