2019届高考数学二轮复习 第一部分 专题七 概率与统计 1.7.2 概率、随机变量及其分布列限时规范训练 理

2019届高考数学二轮复习 第一部分 专题七 概率与统计 1.7.2 概率、

随机变量及其分布列限时规范训练 理

一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

1A. 32C. 3

1B. 23D. 4

解析：选B.如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20201分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.

402

2．(2017·山东济南模拟)4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )

1A. 23C. 4

2B. 34D. 5

解析：选B.记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．

由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9，所以P(B|A)＝

nA∩B62

＝＝. nA93

3．(2017·江西七校联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x＋2ax－b＋π有零点的概率为( )

7

A. 81C. 2

解析：选B.∵函数f(x)有零点．

∴Δ＝4a－4(π－b)≥0，即a＋b≥π，

设事件A表示“函数f(x)＝x＋2ax－b＋π有零点”．

如图所示，试验的全部结果构成的区域是矩形ABCD及其内部，事件A发生的区域是图中阴

2

2

2

2

2

2

2

2

3B. 41D. 4

影部分，且S阴影＝4π－π＝3π，

222

3π3

∴P(A)＝2＝. 4π4

4．(2017·河南洛阳模拟)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( )

A.C.16 625624 625

2

2

96B. 625D.4 625

解析：选B.由题意得任取两球有C6种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，62

(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为2＝，故4人

C653963?2?中有3人中奖的概率为C4??×＝.故选B. ?5?5625

5．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为( )

A．0.9 C．1.2

解析：选A.由题意得X＝0,1,2，

则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，

所以E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.

6．小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考

B．0.8 D．1.1

3

3

试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考42

试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是

3( )

1A. 32C. 3

3B. 83D. 4

解析：选B.设“小明本次电工考试中共参加3次考试”为事件A，“小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过”为事件B，“小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过，第二次操作考试通过”为事件C，“小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过，第二次操作考试没通过”为事件

D，则P(A)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)，而P(B)＝?1－?××＝，P(C)＝×?1－?×

13?2??2?11113

＝，P(D)＝×?1－?×?1－?＝，所以P(A)＝＋＋＝，故选B. 64?3??3?1286128

二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

7．在区间[0,1]上随机取两个数x、y，则事件“y≤x”发生的概率为________．

4

?

?

3?4?

324318

3?4?2?23?3

解析：在区间[0,1]上随机取两个数x、y，则(x，y)组成的平面区域的面积为1.事件“y≤x”15?114

发生，则(x，y)组成的平面区域的面积为?1xdx＝x?＝，所以所求概率为. 5?055?

0

1

4

1

答案： 5

8．在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为________．

解析：分析题意可知，抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所C4·C39

求概率P＝5＝. C828

9

答案：

28

9．(2017·湖北武汉模拟)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的，设男子身高X服从正态分布N(170,7)(单位：cm)，参考以下概率P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 5，则车门的高度(单位：cm) 至少应设计为________．

解析：因为公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的，所以利用

2

2

2

P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，男子身高X服从正态分布N(单位：cm)，可得车门的高度(单

位：cm)至少应设计为170＋2×7＝184 cm.

答案：184 cm

三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)

10．(2017·北京丰台区二模)张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家到公司上班的路上有L1，L2两条路线(如图所示)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均133为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，. 245

(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L2路线，求遇到红灯的次数X的数学期望；

(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

1?1?1?1?01

解：(1)设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A，则P(A)＝C3×??＋C3××??＝.

2?2?2?2?1

所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.

2(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.

3

2

P(X＝0)＝?1－?×?1－?＝，

45

??

3??

??

3??

110

P(X＝1)＝×?1－?＋?1－?×＝，

54P(X＝2)＝×＝.

故随机变量X的分布列为

33

45

920

3?4?

3?

???

3?39?520

X P E(X)＝×0＋×1＋×2＝. 110

920

920

2720

0 1 101 9 202 9 20?1?所以E(Y)

(3)设选择L1路线遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B?3，?，

?2?

13

＝3×＝.因为E(X)＜E(Y)，所以选择L2路线上班最好．

22

11．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A，B，C，D，E五所高校中，任选2所高校参加自主

招生考试(并且只能选2所高校)，但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B，C，D，E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．

(1)求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率．

(2)记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．

1

解：(1)由题意知：甲同学选中E高校的概率为p甲＝，

4

C42

乙、丙两同学选中E高校的概率为p乙＝p丙＝2＝，所以甲同学未选中E高校且乙、丙都选

C55中E高校的概率为：

1

P(1－p甲)·p乙·p丙＝?1－?··＝.

4

??

1??

2235525

(2)由题意知：X所有可能的取值为0,1,2,3， 1?2?1

P(X＝0)＝p甲·p乙·p丙＝×??＝，

4?5?25

2

P(X＝1)＝(1－p甲)·p乙·p丙＋p甲·(1－p乙)·p丙＋p甲·p乙·(1－p丙)

?1?221?2?212?2?6＝?1－?··＋·?1－?·＋··?1－?＝， ?4?554?5?545?5?25

P(X＝2)＝(1－p甲)·(1－p乙)·p丙＋(1－p甲)·p乙·(1－p丙)＋p甲·(1－p乙)·(1－p丙)

?1??2?2?1?2?2?1?2??2?9＝?1－?·?1－?·＋?1－?··?1－?＋·?1－?·?1－?＝， ?4??5?5?4?5?5?4?5??5?20

P(X＝3)＝(1－p甲)·(1－p乙)·(1－p丙)＝?1－?·?1－?·?1－?＝

455

??

1?

???

2 9 202??

??

2??

27， 100

所以X的分布列为：

X P 0 1 251 6 253 27 1001692739所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

25252010020

12．(2017·广州五校联考)某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标 芯片甲 芯片乙 [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100) 8 6 (1)试分别估计芯片甲、芯片乙为合格品的概率； (2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，

①记X为生产一件芯片甲和一件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．

40＋32＋8440＋29＋63

解：(1)芯片甲为合格品的概率约为＝，芯片乙为合格品的概率为＝. 10051004(2)①随机变量X的所有可能取值为90,45,30，－15.

P(X＝90)＝×＝；P(X＝45)＝×＝； P(X＝30)＝×＝；P(X＝－15)＝×＝.

所以随机变量X的分布列为

41

54

15

1115420

4354351533420

X P 90 3 545 3 2030 1 5－15 1 203311则X的数学期望E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66.

520520②设生产的5件芯片乙中合格品有n件，则次品有(5－n)件． 19

依题意，设50n－10(5－n)≥140，解得n≥.

6所以n＝4或n＝5.

设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A， 1?3?814?3?则P(A)＝C5??×＋??＝. ?4?4?4?128

4

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nwlh.html