专题31折叠问题

专题31：折叠问题

一、选择题

1.（山东日照4分）在平面直角坐标系中，已知直线y??x?3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是

A、（0，

343） 4B、（0，

4） C、（0，3） 3D、（0，4）

【答案】B。

【考点】一次函数综合题，翻折变换（折叠问题）的性质，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，角平分线的性质。

【分析】过C作CD⊥AB于D，交AO于B′，根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，在y??x?3中分别令x＝0和y＝0求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3）。从而得OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得AB＝5。再根据折叠对称的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝4，则DB＝5－4＝1，BC＝3－n。从而在Rt△BCD中，DC＋BD＝BC，即n＋1＝（3－n），解得n＝

2

2

2

2

2

2

3444，因此点C的坐标为（0，）。故选B。 332.（天津3分）如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为

(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 【答案】C。

【考点】折叠对称，正方形的性质。

【分析】根据折叠后，轴对称的性质，∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.5，∴∠EBF=45。故选C。 3.（重庆４分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是

A、1

B、2 C、3

D、4

0

0

【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】①正确：因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；

用心 爱心 专心

1

②正确：因为EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，由勾股定理得

?6?x?2?42??x?2?，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；

③正确；因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，

2∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；

④错误：过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，

FHEFFHEF226???，∴FH=3??。 ，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴GCEGGCEG55511618?3。故选C。 ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=?3?4??4??2255∴

4.（浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是

A、3

B、4

C、2?2

D、22 【答案】

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，切线的性质，勾股定理。 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长：在等腰直角三角形DEH中，DE=2， EH=DH=2=AE，所以AD=AE+DE=2?2。故选C。

5.（浙江省3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于

A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21 【答案】B。

【考点】折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据勾股定理可求出AB=10，由折叠对称的性质，知BD=AD=5。由相似三角形的判定

用心 爱心 专心 2

EDBD15ED5，即??，得ED=。在Rt△EBD和Rt△EBC中，由勾股定理，

BCAC4681522249722222222222

得BE=ED＋BD，BE=BC＋CE，即ED＋BD= BC＋CE，所以CE=（）＋5－6=，从而CE=。

441671511因此，S△BCE：S△BDE=·BC·CE：·BD·ED=6×：5×=14:25。故选B。

2244知△BDE∽△ACB，从而得

6.（吉林省3分）如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后 折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形，将纸片展开，得到的图形是

【答案】D。

【考点】折叠，轴对称。

【分析】根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要B，D两项中选择；从剪去的如“1”的图形方向看箭头朝外。故选D。 7.（江苏海南3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论 ①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是

A、①②都对 C、①对②错 【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，菱形的判定和性质。

【分析】∵平行四边形ABCD，∴∠B=∠D=∠AMN，∴MN∥BC。∵AM=DA，∴四边形AMND为菱形，∴MN=AM。故选A。

8.（山东菏泽3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为

B、①②都错 D、①错②对

用心 爱心 专心 3

A、6 B、3 C、23 D、3 【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，三角函数。

【分析】由已知易得∠ABC=60°，∠A=30°．根据折叠的性质∠CBE=∠D=30°．在△BCE和△DCE中用三角函数解直角三角形求解．∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∴sinA=根据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=

BC31∴∠A=30°，∠CBA=60°。??。

AB621∠CBA=30°。∴CE=BCtan30°=3∴DE=2CE=23。故选C。 29．（山东济宁3分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是

A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm 【答案】 A。 【考点】折叠的性质。

【分析】根据折叠的性质，AE=CE=4，AD=CD，∴AC=8。

∴△ABD的周长=AB＋BD＋AD=AB＋BD＋CD=AB＋BC=△ABC的周长=AC=30－8=22。故选A。 10.（山东泰安3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为

A、23

B、33 C、3 2D、6

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。

【分析】根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论：

∵△CED是△CEB翻折而成，∴BC＝CO，∠ACE＝∠BCE。 又∵O是矩形ABCD的中心，AC＝2BC＝2×3＝6。

BC1000

?。∴∠CAB＝30。∴∠ACB＝60，∠BCE＝30。 AC2BC3∴在Rt△CBE中，CE＝??23。故选A。

cos?BCE32∴在Rt△ABC中，sin∠CAB＝

用心 爱心 专心 4

11.（广东广州3分）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是

A、 B、 C、 D、

【答案】D。

【考点】轴对称的性质。

【分析】细观察图形特点，利用对称性与排除法求解：根据对称性可知，答案A，B都不是轴对称，可以排除；由第三个图可知，两个短边正对着对称轴AB，故排除C。故选D。

12．（河北省3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为

A、

B、2 C、3

D、4

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，∴∠EDA=∠EDA′=90°，AE=A′E，

∴△ACB∽△AED。 ∴

EDAE。 ?BCACED1?。∴ED=2。 63又∵A′为CE的中点，∴AE=A′E=A′C。∴故选B。

13.（四川宜宾3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】D。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理。 【分析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，

∵△AEF是△AEB翻折而成，

∴BE=EF=3，AB=AF，CE=8－3=5，△CEF是直角三角形。

BEFADC 用心 爱心 专心 5

在Rt△CEF中，CF= CE2?EF2? 52?32?4。

设AB=x，在Rt△ABC中，AC=AB+BC，即（x＋4）=x+8，解得x=6。故选D。

14.（四川泸州2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是

A、53 B、53?5

C、10?53 D、5?53 2

2

2

2

2

2

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质。

【分析】作ED⊥BC于D，设所求的EC为x，则CD=

∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10， ∴BC=AC×cosC=5，BD=BC－CD=5－

31x，ED =x，

221x。 23x。 2∵根据折叠对称的性质，∠CBE=∠C′BE =45°，∴BC= ED =∴5－

31x =x，解得x=53?5。故选B。

2215.（四川内江3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为

A、(?，) B、(?，) C、(?，) D、(?，) 【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，

∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，

根据折叠可知：CD=OA=1，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO， ∴△CDE≌△AOE（AAS）。∴OE=DE。 设OE=x，那么CE=3－x，DE=x，

41255213551132531255用心 爱心 专心 6

∴在Rt△DCE中，CE=DE+CD，∴（3－x）=x+1，∴x= 而AD=AB=3，∴AE=CE=3－

222222

4。 345= 。 33又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF。

54AEEOAO3?3?1。∴DF=12，AF=9。 ∴ ?，即 ?3DFAFADDFAF55∴OF=

94412－1=。∴D的坐标为（－， ）。故选A。 555516.（甘肃天水4分）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为

A、6

B、4 C、2

D、1

【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】由矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．根据矩形与折叠的性质，即可得在第三个图中：AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，即可得△ABF∽△ECF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF的长：

由四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，

根据题意得：BD=AB－AD=8－6=2，四边形BDEC是矩形。∴EC=BD=2。 ∴在第三个图中：AB=AD－BD=6－2=4，AD∥EC，BC=6，∴△ABF∽△ECF。∴设CF=x，则BF=6－x，∴

ABBF。 ?ECCF46?x，解得：x=2，即CF=2。故选C。 ?2x17.（云南昭通3分）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125，那么∠ABE的度数为

A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B。

【考点】矩形的性质，折叠对称的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理

【分析】∵ABCD是矩形，∴BE∥C′F，∴∠BEF＝180－∠EFC′＝180－125＝55。

用心 爱心 专心

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

由折叠对称的性质，用ASA可证得△ABE≌△C′BF，∴BE=BF。∴∠BFE＝∠BEF＝55。 ∴∠FEB＝70。∴∠ABE＝20。故选B。

18.（福建三明4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则

AENMD0

0

0

下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB=3CM；④△PMN是等边三角形．正确的有

A、1个

B、2个 C、3个

D、4个

B22

PF（第10题）C【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等边三角形的判定。 【分析】∵△BMN是由△BMC翻折得到的，∴BN=BC，

又∵点F为BC的中点，∴在Rt△BNF中，sin∠BNF?BFBF1??。 BNBC2∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，∴∠ABN=90°﹣∠FBN=30°，故②正确。 在Rt△BCM中，∠CBM=

2

2

CM31? ∠FBN=30°，∴tan∠CBM=tan30°?。 BC32∴BC=3CM，AB=3CM。故③正确。

又∵∠NPM=∠BPF=90°－∠MBC=60°，∠NMP=90°－∠MBN=60°， ∴△PMN是等边三角形，故④正确。 由题给条件，证不出CM=DM，故①错误。 故正确的有②③④，共3个。故选C。

19.（福建莆田4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为

A．

4334 B． C． D． 3545【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义。 【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5。

由折叠的性质得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°。 ∴∠DCF=∠AFE。

用心 爱心 专心 8

∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=CF2-CD2?52-42?3 ∴tan∠AFE=tan∠DCF=

DF3? 。故选C。 DC420.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

【答案】C。

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，锐角三角函数。

【分析】根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可：

① 由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，又AB=CB，∴tan∠ADB≠2，故本选项错误； ② 图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，△AOB≌△COB共4对， 故本选项正确；

③∵∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故本选项错误；

④易得∠BFD=∠BDF=67.5°，∴BD=BF，故本选项正确；

⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，∴S△AOF=S△COF。∵∠AEF=∠ACD=45°，∴EF∥CD，∴S△EFD=S△EFC。∴S四边形DFOE=S△COF。∴S四边形DFOE=S△AOF。故本选项正确。 所以正确的有3个：②④⑤。故选C。

21.（湖南岳阳3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD+AB；②△ABF≌△EDF；③

A、①②

2

2

DEEF；④AD=BD?cos45°．其中正确的一组是 =ABAFB、②③ C、①④

D、③④

【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值。

用心 爱心 专心 9

【分析】①∵△ABD为直角三角形，∴BD=AD+AB，故说法错误；②根据折叠可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法正确；③根据②可以得到△ABF∽△EDF，∴

222

DEEF，故说法=ABAF正确；④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD?cos45°，故说法错误．所以正确的是②③。故选B。 二、填空题

1．（重庆潼南4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则点D到斜边AB的距离是 ▲ cm． 【答案】5。

【考点】翻折变换（折叠问题）。

【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。因此可得出结论：

∵△BDE是△BDC翻折而成，∠C=90°，∴△BDE≌△BDC。∴DE⊥AB，DE=CD， ∵DC=5cm，∴DE=5cm。

2.（浙江绍兴5分）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的

宽和长

之比为 ▲

【答案】

：2。

【考点】剪纸问题，翻折变换（折叠问题）。

【分析】作OB⊥AD，根据已知可以画出图形，∵根据折叠方式可得：AB=AD，CD=CE，∠OAB=60°，AO等于正六边形的边长， ∴∠BOA=30°，∴2AB=AO，

BO =tan60°= AB，∴BO：AM= ：2。

3.（浙江台州5分）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE

用心 爱心 专心 10

沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若 ∠ADF＝80o，则∠CGE＝ ▲ ． 【答案】80°。

【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】由翻折可得∠B1=∠B=60°，∴∠A=∠B1=60°。

∵∠AFD=∠GFB1，∴△ADF∽△B1GF。∴∠ADF=∠B1GF， ∵∠CGE=∠FGB1，∴∠CGE=∠ADF=80°。

4.（广西贺州3分）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶 点D重合，折痕为EF．若BF＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是_ ▲ ． 【答案】60o。

【考点】折叠对称，锐角三角函数的应用，特殊角的三角函数，矩形的性质，平行的性质，平角定义，三角形内角和定理。

【分析】由折叠对称可知，DF＝BF＝4，∠BFE＝∠DFE。在Rt△CDF中，FC＝2, DF＝4，cos∠DFC＝

1， 2∴∠DFC＝60o。∴由平角定义得∠DFE＝60o。又由矩形得AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝60o。∴由三角形内角和定理可得∠DEF＝60o。

5.（广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部 分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的 面积等于_ ▲ cm． 【答案】183。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数。 【分析】如图，作BE⊥AD，DF⊥AB，垂足分别为点E、F，由于两长方形是等宽的，从而根据AAS知△ABE≌△ADF，得到AB＝AD＝6。由∠ABC＝60°，BE⊥AD，得∠ABE＝30°，因此BE＝AB·cos∠ABE＝33,从而四边形ABCD的面积等于AD ·BE＝183。 6.（湖北荆州4分）如图，双曲线y?

2

2

(x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C， x

∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折 后得△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是 ▲ .

用心 爱心 专心 11

【答案】2。

【考点】反比例函数综合题，翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a， ∵△ABC沿AC翻折后得△AB′C，

∴∠OB′C＝∠AB′C＝∠ABC＝90°= ∠ODC。

∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，∴CD=CB′。 又OC=OC，∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL）。 再由翻折的性质得，BC=B′C。 ∵双曲线y?∴S△OCD=

2

(x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C， x

11xy=1，∴S△OCB′=xy=1。 22∵AB∥x轴，∴点A（x－a，2y）。∴2y（x－a）=2。∴ay=1。 ∴S△ABC=

11ay= 。 2211+ =2。 22∴SOABC=S△OCB′+S△ABC+S△ABC=1+

7.（湖南衡阳3分）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ▲ ． 【答案】7。

【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理。

【分析】根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，从而求出△ABE的周长：

∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC=AC2?AB2?52?32?4。 ∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE，∴AE＋BE=BC=4。 ∴△ABE的周长=AB＋BC=3＋4=7。

8.（湖南怀化3分）如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC 与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B= ▲ 【答案】90°。

用心 爱心 专心 12

【考点】轴对称的性质，三角形内角和定理。

【分析】∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，

∴∠C=∠C′=60°，∵∠A=30°，∴∠B=180°－∠A－∠C=180°－30°－60°=90°。 9.（江苏南通3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在 BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1 重合，则AC＝ ▲ cm． 【答案】4。

【考点】矩形的性质，折叠对称的性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，30角直角三角形的性质。 【分析】由矩形性质知，∠B＝90，又由折叠知∠BAC＝∠EAC。根据等腰三角形等边对等角的性质， 由AE＝CE得∠EAC＝∠ECA。而根据直角三角形两锐角互余的性质，可以得到∠ECA＝30。因此根 据30角直角三角形中，30角所对直角边是斜边一半的性质有，Rt?ABC中AC＝2AB＝4。

10.（山东滨州4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′＝56°，则∠AED的大小是 ▲ ． 【答案】62°。

【考点】翻折变换（折叠问题），平角定义。

【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数：∵∠CED′＝56°，∴∠DED′＝180°－∠56°＝124°。 又∵∠AED＝∠AED′，∴∠AED＝

0

0

0

0

0

1∠DED′＝62°。 211.（内蒙古包头3分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），则点D的横坐标是 ▲ ． 【答案】－

3。 5【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行的判定和性质，折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质。 【分析】过点D作DF⊥OA于F，

∵四边形OABC是矩形，∴OC∥AB。∴∠ECA=∠CAB。 根据折叠对称的性质得：∠CAB=∠CAD，∠CDA=∠B=90°， ∴∠ECA=∠EAC，∴EC=EA。

用心 爱心 专心 13

∵B（1，2），∴AD=AB=2。 设OE=x，则AE=EC=OC－OE=2－x，

在Rt△AOE中，AE=OE＋OA，即（2－x）=x＋1， 解得：x=

2

2

2

2

2

335。∴OE=，AE=， 444∵DF⊥OA，OE⊥OA，∴OE∥DF，∴△AOE∽△AFD。

5AOAE455???。∴AF=。 ∴

AFAD288∴OF=AF－OA=

33。∴点D的横坐标为：－。 5512.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为 ▲ ． 【答案】3。

【考点】翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，平角定义，等边三角形的判定与性质。

【分析】根据题意：BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3。

由轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°， ∴DC=DC′=2，∠BDC′=60°。 故△BDC′为等边三角形，故BC′=3。

13.（四川广元5分）如图，M为矩形纸片ABCD的边AD的中点，将 纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处．若∠A1MD1 ＝40o，则∠BMC的度数为 ▲ ． 【答案】110°。

【考点】翻折变换（折叠问题）。

【分析】∵∠A1MD1=40°，∴∠A1MA+∠DMD1=180°﹣40°=140°。

根据折叠的性质，得∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC，∴∠BMC=140°×

14.（四川绵阳4分）如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于 ▲ cm． 【答案】25。

用心 爱心 专心

14

1+40°=110°。 2

【考点】折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理。 【分析】由折叠对称的性质，设DF=BE=x，AE=CF=CE=y，则 ??x?y?8?x?3，解得。 ?222y?5??x?4?y 过点F作FG⊥AB于点G，则FG=4，GE=5－3=2， ∴EF=42?22?25。

15.（四川成都4分）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为 ▲ （计算结果不取近似值）． 【答案】14?27。

【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理。

【分析】关键在于找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置。经实验不难发现，当点M与A重合时，AT取最大值是6；当点N与C重合时，此时AT取最小值，由勾股定理得，AT的最小值为8?82?62?8?27。所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：6?8?27?14?27。 16.（贵州安顺4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ▲ ． 【答案】6cm。

【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理。

【分析】由已知，根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣DC′）= DC′+4，解得DC′=3，然后根据三角形的面积公式计算，得 ∴△ADC′的面积=

2

2

2

2

12

×4×3=6（cm）。 217.（浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y?

k

．在x

x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经

用心 爱心 专心 15

轴对称变换后的像是O′B′．

（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 ▲ ；

（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 ▲ ． 【答案】（4，0），4≤t≤25或﹣25≤t≤4。

【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。

【分析】（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，

∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，

线段OB经轴对称变换后的像是O′B′。AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形。 ∵B（2，0），∴BO=BP′=2。∴点P的坐标是（4，0）。

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°。 ∴OM=

1t，OO′=t。 23311t，NO′=t。∴O′（t，t）。

2222过O′作O′N⊥x轴于N，∠OO′N=30°，∴ON=同法可求B′的坐标是（

t?2， , 3t?23）2设直线O′B′的解析式是y?kx?b，将O′、B′的坐标代入，得

??133k?t?23tk?b?t????222，解得：?。 ??b??3t2+33?t?2k?b?3t?23???242?∴y???3?3233。 t?23x?t+??2?42??∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=23， ∴A（2，23），代入反比例函数的解析式得：k=43， ∴y?4322

，代入上式整理得：（23t﹣83）x+（﹣3t+63t）x﹣43=0， x2

2

△ =（﹣3t+63t）﹣4（23t﹣83）?（﹣43）≥0，

用心 爱心 专心 16

解得：t≤25或t≥﹣25。

∵当点O′与点A重合时，点P的坐标是（4，0）。 ∴4≤t≤25或﹣25≤t≤4。

18.（重庆江津4分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 ▲ ． 【答案】（

2432，）。 55【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解方程。 【分析】连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB，垂足为F。

∵由折叠对称，知AB=AE，∠BAC=∠EAC， ∴△AEB是等腰三角形，AG是BE边上的高。 ∴EG=GB，EB=2EG， ∵△ABC∽△AGB，∴

CBAC。 ?BGAB∴BG=CB?AB4?85??5。

22AC84?8设E（x，y），则有：AF=x，BF=8－x，EF=y，BE=2

2

2

2

2

2

55，AE=8。 42

2

2

2

由勾股定理，得AE=AF＋EF，BE=BF＋EF，两式相减，得AE－BE= AF－BF即： 8－（2

24532222222

，代入AE=AF＋EF，可得y?。 5）=x－（8－x），解得，x?545三、解答题

1.（贵州遵义10分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与 点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG． （1）求证：△BHE≌△DGF；

（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长． 【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠C=90，AB=CD，∠ABD=∠CDB。

O

用心 爱心 专心 17

∵△BHE、△DGF分别是由△BHA、△DGC折叠所得 ∴BE=AB,DF=CD，∠HEB=∠A，∠GFD=∠C，∠HBE=

11∠ABD, ∠GDF=∠CDB。 22 ∴∠HBE=∠GDF，∠HEB=∠GFD，BE=DF。 ∴△BHE≌△DGF（ASA）。

(2)在Rt△BCD中，∵AB=CD=6，BC=8， ∴BD=BC2+CD2?82?62?10。

∴BF=BD－DF=BD－CD=4。

设FG=x，则BG=BC－CG=BC－FG=8－x。

则有：(8?x)2?x2?42， 解得x=3。

∴线段FG的长为3 cm。

【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理。

【分析】（1）根据矩形和折叠的性质，由ASA可得出△BEH≌△DFG。

（2）先根据勾股定理得出BD的长，从而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，

设FG=x，则BG=8－x，再利用勾股定理即可求出x的值。

2.（黑龙江大庆7分）如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．

(1)求∠DA1E的大小； (2)求△A1BE的面积．

【答案】解：（1）由翻折得Rt△ABE≌Rt△A1BE，

则在Rt△A1BE中，A1B=2，BC=1。 ∴由sin?BA1C?1得?BA1C?300。 2又?BA1E?900，∴?DA1E?600。 （2）设AE?x，则ED?1?x , A1E?x

在Rt△A1DE中，sin?DA1E?1?x3ED?，即 得x?4?23。 x2A1E在Rt△A1BE中，A1E?4?23, A1B?AB?2， ∴S?A1BE?1?2?(4?23)?4?23。 2【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，锐角三角函数，矩形的性质。

用心 爱心 专心

18

【分析】（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E的度数； （2）设AE?x，则ED?1?x , AE1?x，在Rt△A′DE中，利用sin?DA1E?值，在根据Rt△A′BE中，A1B=AB，利用三角形的面积公式即可求解。 3.（广东省7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90o，∠C=30o．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8． （1）求∠BDF的度数； （2）求AB的长．

【答案】解：（1）∵BF=CF，∠C=30o，∴∠CBF=∠C=30o。 又∵?BEF是?BCF经折叠后得到的， ∴?BEF≌?BCF。∴∠EBF=∠CBF=30o。

又∵∠DFB=∠CBF+∠C=60o，∴∠BDF=180—∠DFB—∠EBF=90o。 ∴∠BDF的度数是 90o。 （2）在Rt?BDF中，∠DBF=30o，BF=8， ∴BD?BF?cos?DBF?8cos300?8?0

0

ED可求出x的A1E3?43。 2 在Rt?ABD中，∠ABD=90—∠EBF—∠CBF=30o，BD?43， ∴AB?BD?cos?ABD?43cos300?43? ∴AB的长是6。

【考点】折叠对称的性质，三角形外角定理，三角形内角和定理，解直角三角形，特殊角三角函数值。 【分析】（1）要求∠BDF的度数，由三角形内角和定理只要求出∠DFB和∠DBF即可，而∠DFB和∠DBF都可以由已知的∠C和折叠对称以及三角形外角定理求得。 （2）由（1）的结论，解Rt?BDF和Rt?BD即可求得。 4.（广东深圳8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.

（1）求证：AG=C′G；

3?6。 2用心 爱心 专心 19

（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长. 【答案】解：（1）证明：由对折和图形的对称性可知， CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°。

在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝C′D，∠A＝∠C′。 在△ABG和△C’DG中，∵AB＝C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ， ∴△ABG≌△C′DG（AAS）。 ∴AG＝C′G。

（2）如图2，设EM＝x，AG＝y，则有： C′G＝y，DG＝8－y， DM=

1AD=4 。 2 在Rt△C’DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6， ∴C?G2?C?D2?DG2。

7725。∴C′G＝，DG＝。

4444xDMME7 又∵△DME∽△DC′G，∴， 即：?， 解得：x?。 ?67DC?C?G647 即：EM＝。

67 ∴所求的EM长为cm。

6 即：y2?62?(8?y)2。 解得： y?【考点】轴对称的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）要证AG=C′G，只要证明它们是全等三角形的对应边即可。由已知的矩形和轴对称性易证△ABG≌△C’DG。

（2）考虑Rt△DME和Rt△DC′G。△DC’G中DC′（=6）已知，DG=AD（=8）－AG， 而由（1）AG=C′G，从而应用勾股定理可求得C′G。而△DME中DM=DM=得到对应边的比相等可求EM的长。

5. （四川南充8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．

（1）求证：△ABE∽△DFE

（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值。 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=∠C=90°。

∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE=∠C=90°。∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°。 又∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DFE。∴△ABE∽△DFE。

1AD=4，从而由Rt△DME∽Rt△DC′G213用心 爱心 专心 20

（2）在Rt△DEF中，sin∠DFE=

DE1?， EF3∴设DE=a， EF=3a，则DF=EF2?DE2?∵△BCE沿BE折叠为△BFE，

?3a?2?a2?22a。

∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF， 又由（1）△ABE∽△DFE， ∴

FEDF22a2FE2????。∴tan∠EBF=。∴tan∠EBC=tan∠EBF=BFAB4a2BF2．

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】（1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABE∽△DFE。

（2）由sin∠DFE=，设DE=a，EF=3a，DF=EF2?DE2?22a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABE∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF=

13FE2?。 BF26.（江苏徐州6分）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图①); 沿GC折叠, 使点B落在EF上的点B' 处(如图②); 展平, 得折痕GC(如图③); 沿GH折叠, 使点C落在DH上的点C' 处(如图④); 沿GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕GC' 、GH(如图⑥)。 （1）求图②中∠BCB' 的大小;

（2）图⑥中的△GCC' 是正三角形吗?请说明理由.

AEDAGEB'DAGCBEDAGDAC'HC图④GA'BDAC'HC图⑤GB图⑥DC'HC

BF图①CBF图②FC图③B【答案】解：（1）延长GB′交CD于G′（图②）。

∵EF是AD、BC的中线，∴CD∥EF∥CD。∴GB′=G′′B。 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠B＝90。 ∵△B′CG是△BCG折叠所得，

0

用心 爱心 专心 21

∴∠BCG＝∠B′CG，∠CB′G＝∠CB′G′＝90。

又∵CB′＝CB′，∴△B′CG≌△B′C G′（SAS）。∴∠B′CG＝∠B′CG′。 ∴∠BCG＝∠B′CG＝∠B′CG′＝30。∴∠BCB'＝60。 （2）图⑥中的△GCC' 是正三角形。 由（1）可知，∠GCC′=60，CG=CG′。 ∴△GCC' 是正三角形。

【考点】矩形的性质，折叠对称的性质，平行的性质，全等三角形的性质和判定，正三角形的判定。 【分析】（1）要求∠BCB' 的大小，考虑到△B′CG是△BCG折叠所得，根据折叠对称的性质，有∠BCG＝∠B′CG，而 延长GB′交CD于G′得到?B′CG′。由SAS易证它与它们也全等。而∠BCD＝90，因此∠BCG＝ ∠B′CG＝∠B′CG′＝30，从而求出∠BCB' ＝60。更简单可根据锐角三角函数定义，由cos∠B′CF＝ FC：B′C＝FC：BC＝1：2得∠BCB' ＝60。

（2）要证△GCC' 是正三角形，由（1）知∠GCG' =60，CG=CG′，根据有一个角是60的等腰三角形是正方形的判定定理得证。

7.（山东莱芜9分）已知：矩形纸片ABCD，AB＝2， BC＝3。

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上。 探究：（1）如图①，若点B与A重合，你认为△EDA′和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；

（2）如图②，若点B与CD中点重合，求△FCB′与△B′DG的周长之比。 【答案】解：（1）全等。证明如下：

∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠A＝∠B ＝∠C ＝∠ADC＝ 90，AB＝CD。

由题意知：∠A＝∠A ′，∠B ＝∠A ′D F＝90，AB ＝CD， ∴∠A ′＝∠C＝ 90，A ' D ＝CD。

∵∠A ′DE＋∠EDF＝90， ∠CDF＋∠EDF＝90， ∴∠A ′DE＝∠CDF。∴△ED A '≌△FDC（ASA）。

( 2 ) ∵∠DGB′＋∠D B′G＝90， ∠D B′G＋∠C B′F＝90，

0

0

0

0

0

0

0

0

0

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0

0

用心 爱心 专心 22

∴∠DGB′＝∠C B′F。

又∵∠D∠C＝ 90，∴△ FC B′∽△B′ DG。 设FC＝x ，则B′F ＝3－x ，B′C ＝在Rt △B′CF中FC＋B′C＝F B′， ∴x＋l = ( 3－x) 。∴x?∵△ FC B′∽△B′ DG，∴

2

2

22

2

2

0

1DC＝1。 24。 3CFC B?FC4??。

CB? DGB? D3【考点】矩形的性质，折叠对称的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）由矩形和折叠对称的性质，经过等量代换即可证得。

（2）由证△ FC B′∽△B′ DG得△FCB′与△B′DG的周长之比等于对应边的比的关系，由勾股定理和等量代换表示出△FCB′与△B′DG的边FC与B′D即可。

7.（山东威海11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB 上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。

C D C D B K A

B

A

N 1 M

⑴若∠1=70°，求∠MKN的度数； ⑵△MNK的面积能否小于

1？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； 2C D C ⑶如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。D A

B A 备用图

B

【答案】解: ⑴ ∵四边形ABCD是矩形，∴AM∥DN。∴∠KNM＝∠1。 ∵∠KMN＝∠1，∴∠KNM＝∠KMN。

∵∠1＝70°，∴∠KNM＝∠KMN＝70°。∴∠MKN＝40°。

用心 爱心 专心

23

（2）不能。理由如下：过M 点作AE⊥DN，垂足为点E。 则ME＝AD＝1。

由⑴知，∠KNM＝∠KMN，∴MK＝NK。 又∵MK≥ME，ME＝AD＝1，∴MK≥1。

11NK?ME? 。 2211 即△MNK面积的最小值为，不可能小于。

22 又∵S△MNK＝ （3）分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合， 此时点K与点D也重合。设NK＝MK＝MD＝x，则AM＝5－x。 根据勾股定理，得1＋（5－x）＝x。 解之，得x＝2.6。

则MD＝NK＝2.6，S△MNK＝S△MND＝

2

2

2

1?2.6?1.3。 2 情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为AC。 设MK＝AK＝CK＝x，则DK＝5－x。 同理可得，MK＝AK＝CK＝2.6， S△MNK＝S△ACK＝

1?2.6?1.3。 2 因此，△MNK的面积的最大值为1.3。

【考点】矩形的性质，折叠的性质，平行的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，点与直线上点的关系，勾股定理。

【分析】⑴由矩形和平行的性质，折叠的性质可得∠KNM＝∠KMN＝70°，根据三角形内角和定理，可求得∠MKN的度数。

（2）考虑△MNK面积的最小值，即可证明。

（3）分两种情况讨论△MNK的面积的最大值的情况即可。

8.（湖北十堰8分）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。 （1）求证：DE是半圆的切线；

（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结

用心 爱心 专心

24

论。

【答案】解：（1）证明：如图，连接OD，则OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。

∵△AED由△ACD对折得到，∴∠CDA=∠EDA。 又∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°。 又∵D在半圆O上，∴DE是半圆的切线。 （2）四边形ODFA是菱形。理由如下：

11

如图，连接OF，OC=BC= OB= OD，

22∴在Rt△OCD中，cos∠DOC =

OC1?。∴∠DOC=60°。 OD2∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°。 ∴OD//AF，∠FAO=60°。

又∵OF=OA，∴△FAO是等边三角形。∴OA=AF。∴OD=AF。 ∴四边形ODFA是平行四边形。 又∵OA=OD，∴四边形ODFA是菱形。

【考点】等腰三角形的性质，切线的判定，菱形的判定，圆周角定理，翻折变换（折叠问题）的对称性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的判定和性质，等边三角形和判定和性质。 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论。

（2）连接OF，由垂径定理可得到OC=BC= 12OB= 12OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，从而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论。

9. （甘肃兰州12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC?AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：由折叠可知OA=OC，EF⊥AO，

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF（AAS）。

用心 爱心 专心

25

2

2

∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形。 ∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形。

（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm， 设AB=a，BF=b，

∵△ABF的面积为24cm，∴a+b=100，ab=48。∴（a+b）=196。 ∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去）。 ∴△ABF的周长为14+10=24cm。

（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点。证明如下： ∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP， ∴△AOE∽△AEP。∴∴AE=AO?AP，

∵四边形AECF是菱形，∴AO=∴AE=

22

2

2

2

2

AEAO。 ?APAE1AC。 212

AC?AP，∴2AE=AC?AP。 2【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明。

（2）由勾股定理得AB+FB=100，△ABF的面积为24cm可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，

即可解答。

（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明。

10.（辽宁抚顺14分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标(－1，0)，点B在y轴的正半轴上，BC＝OB.

(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；

(2)动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是(x,0)． ．．．．

①当点A1落在(1)中的抛物线上时，求S的值； ②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．

2

2

2

用心 爱心 专心 26

备用图

OB

【答案】解：(1)在△ABO中∠AOB＝90°，tanA＝＝2，

OA

∵点A坐标是(－1，0)，∴OB＝2。∴点B的坐标是(0，2)。 又∵BC∥AD，BC＝OB，∴点C的坐标是(2，2)。

由点B (0，2)在抛物线上，设抛物线表达式为y?ax2?bx?2。 ∵点A(－1，0)和点C(2，2)在抛物线上，

2?a????a?b?2?0?3∴? ，解得?。

44a?2b?2?2??b???3∴过点A、B、C的抛物线的解析式为y??x2?234x?2。 3(2)①当点A1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A1与点A关于对称轴对称。由沿

直线EF折叠，所以点E是BC中点，点E的坐标为(1，2)，点F的坐标为(1，0)，重合部分面积就是11

梯形ABEF的面积。面积为：S＝(BE＋AF)·EF＝(1＋2)·2＝3。

22

②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积，由题得AF＝x＋1，BE＝x， 1

S＝S梯形ABEF＝(BE＋AF)·BO＝2x＋1。

2

当1＜x≤2时，如图，设A1B1交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K，重合部分

面积就是五边形形A1NCEF的面积。

MA1NM

由△NMA1∽△DMN得，＝，

NMMD∵∠BAO＝∠MA1N，tan∠BAO＝2，

MN1

∴tan∠MA1N＝＝2。∴MA1＝MN，MD＝2MN。

A1M2

用心 爱心 专心 27

1

∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°，∴tan∠CDK＝。

2CK1

在△DCK中，∠CKD＝90°，CK＝OB＝2，tan∠CDK＝＝，

DK2∴DK＝4，OD＝6。

∵OF＝x，A1F＝x＋1，∴A1D＝OD－OF－A1F＝5－2x，FD＝6－x。 2

∴MN＝(5－2x)。

3

11

∴S＝S梯形DCEF－S△A1ND＝（EC＋FD）·CK －A1 D·MN

221421412

＝8－2x－(5－2x)＝－x＋x－.。

3333

?2x＋1?0＜x?1?? 综上所述，S与x的函数关系式为S＝?4。 1214?-x＋x??1＜x?2?33?3【考点】锐角三角函数，梯形的性质，待定系数法求抛物线表达式，点的坐标与方程的关系，对称的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由已知，应用锐角三角函数和梯形的性质可求出点A、B、C的坐标，然后根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由待定系数法可求抛物线表达式。

(2)分0＜x≤1和1＜x≤2分别讨论四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积。讨论时把有关线段用含x的表达式表示即能求出。

11.（黑龙江牡丹江10分）如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边OC上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD=

2

4．若线段OA的长是一元3二次方程x—7x一8=0的一个根，又2AB=3OA．请解答下列问题： (1)求点B、F的坐标： (2)求直线ED的解析式：

(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）解x—7x一8=0得xl=8，x2=－1(舍去)．∴OA=8 。

用心 爱心 专心

28

2

又∵2AB=3OA，∴AB=12。

∵∠EFD=90，∴∠DFB＋∠EFA=∠EFA+∠AEF=90。∴∠AEF=∠DFB。 ∵tan∠BFD=tan∠AEF=

0

0

AF4?， AE3∴设AF=4k，AE=3k，根据勾股定理得，EF=EO=5k。 又∵AE＋EO=AO，即3k+5k=8，∴k=1。 ∴AE=3，AF=4，EF=EO=5。

∴点B的坐标为(12，8)，点F的坐标为(4，8)。 (2) 过D作DH⊥AB，设FH=x， ∴

84 =tan∠BFD=，解得。x=6， x3∴OD=AH=AF＋FH= 10，∴D（10，0）。 设直线ED的解析式为y?kx?b，

∵直线ED经过E (0，5)，D (10，0)两点，

1??b?5?k??∴?，解得，?2。

10k?b?0???b?5∴直线ED的解析式为y??x?5。

12?668??348?（3）存在。M1?,??,M2?,?。

?55??55?【考点】一次函数综合题，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），解一元二次方程，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）根据题意解方程x—7x一8=0求出OA=8，再根据条件2 AB=30A求出AB=12，这样就得到B点坐标，然后证出∠AEF=∠DFB，从而得到tan∠AEF= 到AF，AE的长，从而得到F点坐标。

（2）首先根据tan∠BFD=

2

4，再根据折叠，利用勾股定理求出即可得34，求出D点坐标，再利用待定系数法，把E，D两点坐标代入函数3关系式，可得到直线ED的解析式。

（3）利用平行四边形对边平行且相等的性质即可得出：

设直线FD的解析式为y?mx?n，

用心 爱心 专心

29

∵直线FD经过F (4，8)，D (10，0)两点，

4?m????4m?n?8?3∴?，解得，?。

4010m?n?0??n??3?440∴直线ED的解析式为y??x?。

33∵直线ED的解析式可化为x=10－2y，∴设点M的坐标为（10－2y，y）。 ∴根据平行四边形对边平行的的性质，得点N的坐标为（

40?3y，y）。 4又∵DC=2，∴根据平行四边形对边相等的性质，得MN= DC=2，即

8840?3y40?3yy??或y?10－2y－=2或－（10－2y）=2，解之得。

5544当y??时，10－2y=

8566834；当y?时，10－2y=。 555?668??348?∴满足条件的点M的坐标为?,??和?,?。

?55??55?12.（湖南怀化10分）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y?于点E．

（1）求证：AE?AO=BF?BO；

（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；

（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，

∴根据反比例函数的性质得出，xy?k，∴AE?AO=BF?BO。 （2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为y?ax2?bx?c， ∵点E的坐标为（2，4），∴AE?AO=BF?BO=8。 ∵BO=6，∴BF=

k(k?0)的图象与AC边交x44，∴F（6，）， 33用心 爱心 专心

30

把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：

1?a????3?c?0??8?b?，解得：。 4a?2b?c?4??3??4?c?0?36a?6b?c?3???∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为y??x2?x。 （3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'， 连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G， 则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有： 设BC'=a，BF=b，则C'F=CF=4?b． ∴点的坐标F（6，b），E（1.5b，4）。 EC'=EC=6?1.5b，

∴在Rt△C'BF中，a2?b2?(4?b)2 ①。

∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（6?1.5b）：（4?b）=4：a=（6?1.5b?a）：b ②。

138310， 9275410∴F点的坐标为（6，）。∴OF= 。

99解得：a?，b?【考点】相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）的性质，勾股定理。 【分析】（1）根据反比例函数的性质得出xy?k，即可得出AE?AO=BF?BO。

（2）利用E点坐标首先求出BF=

834，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。 3（3）设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则

根据折叠性质、相似三角形、勾股定理得出即可。

13.（江苏苏州10分）已知二次函数y?ax2?6x?8?a?0?的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴 上，求实数a的值；

??用心 爱心 专心 31

(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右 侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线 段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边 形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过 程；

(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一 个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构 成平行四边形）？请说明理由．

【答案】解：（1）由y?ax2?6x?8， 令y?0，解得，x1?2, x2?4。 令x?0，解得，y?8a。

∴点A、B、C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0，8a）。 ∴该抛物线的对称轴为x?3。

如图①，设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点M，则由OA=2得AM=1。

由题意，得O'A=OA=2，∴O'A=2AM，∴∠O'AM=60。 ∴∠OAC=∠CAO'=60。∴OC=OA?3?23，即8a?23。∴a?0

0

??3。 4 （2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论仍然成立。 ①如图②，若点P是边EF上的任意一点（不与点E重合），

用心 爱心 专心 32

连接PM，

∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上， ∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB。

又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD。

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形。 ②设点P是边FG上的任意一点（不与点G重合），

∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FG=3，GB=10。∴3≤PB ＜10。 ∵PC≥4，∴PC＞PB。

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD。 ∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形。

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， 如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA=PB。 ∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。

∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，－a），点P的坐标是（3，t），

22，PD2?（t＋a）∴PC2?32＋（t－8a）

22?（t＋a）由PC=PD得PC=PD，∴32＋（t－8a），

2

2

t?t2?7整理得，7a?2ta?1?0，解得a?。

72t?t2?7显然a?满足题意。

7t?t2?7∴当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a?，

7使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。

【考点】二次函数综合题，图形的翻转，含30角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。

【分析】(1)先利用点在抛物线上，点的坐标满足方程和含30角的直角三角形中30角所对的直角边是 斜边一半的性质，求出点A、B、C的坐标，再求出a。

用心 爱心 专心

33

0

0

0

(2)分点P在边EF或边FG上两种情况比较四线段的长短来得出结论。

(3)因为点A、B是抛物线与X轴的交点，点P在抛物线对称轴上，所以PA=PB。要PA，PB，PC，

PD构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD,，从而推出a。 14.（广东珠海9分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过N 点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．

（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；

（2）记∠EPM＝?，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2． ① 求证：

B

F

C

A O M P

E D

S1tan12

＝ PA． ?8

2 ② 设AN＝x，y＝

S1?S2tan?2，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．

【答案】解：（1）四边形AMPE为菱形

（2）① 证明：∵四边形AMPE为菱形，∠ EPM＝?，

11

∴∠MAP＝? ， S1＝OA·OM。

22∵在Rt△OM中，tan?OM?＝，∴OM＝OA·tan。 2OA21

OA·OM2S11OA1211122

∴＝＝OA·OM··＝OA＝·(PA)＝PA。

OM2OM2228?tanOA2②过D作DH垂直于BC于H，交NP于点K，

则DK⊥PN，BH＝AB＝AD＝DH＝1，DK＝AN＝x。 ∵CH＝BC－BH＝2－1＝1，∴CH＝DH。 ∴∠NPD＝∠BCD＝45°。 ∴PK＝DK＝x。∴PN＝1＋x。

在Rt△ANP中，AP＝AN ＋PN ＝x＋(1＋x)＝2x＋2x＋1。

2

2

2

2

2

2

G

过E作PM的垂线EG（垂足为G），令△EGM的面积为S。

用心 爱心 专心 34

xSEG2

∵△EGM∽△AOM，∴＝()＝

S1AO144x24x2?2。则S＝2 S1。 APAP2AP2 ∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，∴2S1＝S2＋S。

4x24x2 ∴S1－S2＝S－S1＝ S1－S1＝(－1)S1．

AP2AP2S14x24x212

∴y＝＝(－1)×＝(－1)× PA228??APAPtantan22S1?S2112222

＝ (4x－AP)= [4x－(2x＋2x＋1)] 88

12111123 ∴y＝x－x－=（x－）－。

4484216?0

448168【考点】折叠对称，线段垂直平分线的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，三角函数，列二次函数关系式，相似三角形的判定和性质，二次函数值。 【分析】（1）∵根据折叠对称的性质，E，F是AP垂直平分线上的点， ∴AE=EP，AM=MP。∴∠EAP=∠EPA。 又∵PN∥BC∥AD，∴∠EAP= ∠APM。

∴ ∠EPA = ∠APM。∴ EP= MP，即 AE=EP=AM=MP。 ∴ 四边形AMPE为菱形。

（2）① 只要把等式左边用有关以线段表示，再经过等量代换即可证得。 ②把

S1?S2tan?2用x（＝AN）的代数式表示，然后由x的取值范围确定函数值y的取值范

围。

15.（湖北孝感14分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m , 0），其中m＞0. （1）求点E、F的坐标（用含的式子表示）；（5分）

用心 爱心 专心

35

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）

（3）如图（2），设抛物线y?a(x?m?6)2?h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.（5分）

yADyADEMCx图（1） 图（2） E【

答

OBFCx案】解：

OB（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°。

由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE

在Rt△ABF中，BF=AF2?Ab2=102?82=6，∴FC=4.。 设EF=x，则EC=8－x

在Rt△ECF中，4＋（8－x）=x2

2

2

解得x=5。∴CE=8－x=3。

∵B（m，0），∴E（m＋10，3），F（m＋6，0）。 （2）分三种情形讨论：

若AO=AF，∵AB⊥OF ∴OB=BF=6 ∴m=6 若OF=AF，则m+6=10 解得m=4

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO=OB＋AB=m＋64 ∴（m＋6）=m＋64 解得m=综上所述，m=6或4或

2

2

2

2

2

2

7。 37 。 3（3）由（1）知A（m，8），E（m＋10，3）

21???a??a?m?m?6??h?8 依题意?得?4 。 2??a?m?10?m?6??h?3??h??1∴M（m+6，－1） 设对称轴交AD于G，

∴G（m＋6，8）。∴AG=6，GM=8－（－1）=9。

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，∴∠OAB=∠MAG。

用心 爱心 专心 36

又∵∠ABO=∠MGA=90°，∴△AOB∽△AMG。 ∴

OBABm8，即? 。∴m=12 ?MGAG96【考点】二次函数综合题，矩形的性质，折叠对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，从而求出BF的长， 即可得出E，F点的坐标。

（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可。

（3）由E（m＋10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，

求出m的值即可。

16. （陕西省12分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个 三角形 （2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？

图① 图② 图③ 图④

【答案】解：（1）等腰。

（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接

EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．

∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，

∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A。 ∴四边形ABFE为正方形。∴BF=AB=2。∴F（2，0）。

（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下： ①当F在边BC上时，如图②所示， S△BEF≤

1S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4。 2用心 爱心 专心

37

②当F在边CD上时，如图③所示， 过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K， ∵S△EKF=S△BKF=

111KF?AH≤HF?AH=S矩形AHFD， 222111KF?BH≤HF?BH=S矩形BCFH， 2221S矩形ABCD=4。 2∴S△BEF≤

即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4。 下面求面积最大时，点E的坐标。 ①当F与点C重合时，如图④所示。 由折叠可知CE=CB=4，

在Rt△CDE中，ED=CD2?CE2?42?22?23。 ∴AE=4－23。∴E（4－23，2）。

②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．

此时E（0，2）．

综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4－23，2）。

【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。

【分析】（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答。

（2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，

求得F点坐标。

（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4。

①当F在边CD上时，S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；

②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可

求解。

再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，从而求出E点坐标。

17.（宁夏自治区10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P． （1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？

用心 爱心 专心

38

（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

【答案】解：（1）连接AP，交MN于O，

∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P， ∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM。 ∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN。 ∴

MNAO1??。 BCAP2∵BC=6，∴MN=3。

∴当MN=3时，点P恰好落在BC上。 （2）当AO≤

1AD时，过点A作AD⊥BC于D，交MN于O， 2∵MN∥BC，∴AO⊥MN，∴△AMN∽△ABC。 ∴

MNAO。 ?BCAD∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，BD=∴

1BC=3，∴AD=52?32?4。 2xAO211212

。∴AO=x。∴S△AMN=MN?AO=?x?x=x， ?2264333根据题意得：S△PMN=S△AMN，

∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN， ∴y=x（0＜x≤3）。

∵对于y=x（0＜x≤3），当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴当AO=当AO＞

132

132

11AD时，即x=BC=3时，y最大，最大值为3。 221AD时，连接AP交MN于O，交BC于D，MP与2BC的交点为E，NP与BC的交点为F。

则AO⊥MN。 ∵MN∥BC，

∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN。

用心 爱心 专心 39

∴

AOMNAOxEFPDEFPD，，即：。 ???，?ADBC46xAOMNPO22?x?4EFEF2AO?AD2?3∴AO=x，，∴，∴EF=2x－6。 ?2xxAO3x3∴OD=AD－AO=4－

2x， 3122

×（2x－6＋x）×（4－x）=－x＋8 x－12。 232

∴S梯形MNFE=（EF+MN）?OD=

2

∴y=－x＋8 x－12（3＜x＜6） ∵y=－x＋8 x－12=－（x－4）＋4， ∴当x=4时，y有最大值，最大值为4。

2

?12?x（0＜x?3）综上所述：y与x的函数关系式为y=?3，

?－x2＋8x－12（3＜x＜6）?且当x=4时，y的值最大，最大值是4。

【考点】翻折变换（折叠问题），二次函数的最值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）首先连接AP，交MN于O，由MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得△AMN∽△ABC，

MNAO1??，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上。 BCAP211（2）分为AO≤AD和AO＞AD两种情况分析，由△AMN∽△ABC，求得各线段的长，然后求△MNP

22与等腰△ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案。

18.（辽宁辽阳14分）如图，已知Rt△ABO，∠BAO＝90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO＝3，∠AOB＝30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．

(1)求D点坐标；

(2)若抛物线y＝ax＋bx＋3(a≠0)经过B、D两点，求此抛物线的表达式； (3)若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M.是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有

2

用心 爱心 专心 40

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